Bài tập phương trình bậc nhất đối với sin và cos

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là một trong những dạng Phương trình lượng giác thường gặp.

1. Phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$

Dạng tổng quát: $a\sin x+b\cos x=c$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$

Cách giải: Chia hai vế cho $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

Chú ý. Điều kiện nghiệm của phương trình là ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

1. $\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$
2. $\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2}$
3. $3\sin x+4\cos x-5=0$
4. $2\sin x-3\cos x=5$

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

1. $\sin x-\cos x=\sqrt{3}$
2. $\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}$
3. $\sin x+2\cos x=\sqrt{5}$
4. $\cos 7x-\sqrt{3}\sin 7x+\sqrt{2}=0$

Chú ý. Nhiều phương trình chưa có dạng đang xét thì cần sử dụng công thức lượng giác hoặc đặt ẩn phụ để đưa về dạng đang xét

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

1. ${{\cos }^{2}}x+\sqrt{12}\sin x\cos x=1+{{\sin }^{2}}x$
2. $\sqrt{3}\sin x+\cos x=3+\frac{1}{\sqrt{3}\sin x+\cos x+1}$

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

1. $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}$
2. $4\sin x+3\cos x+\frac{6}{4\sin x+3\cos x+1}=6$

Chú ý. Cách làm trên cũng được áp dụng khi giải các phương trình có dạng:

• $a\sin u+b\cos u=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\sin v$
• $a\sin u+b\cos u=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\cos v$
• $a\sin u+b\cos u=\pm a\sin v\pm b\cos v$

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:

1. $\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\cos 5x$
2. $2\sin x+3\cos x=2\cos 3x-2\sin 3x$
3. $\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=2\sin 3x$
4. $\sin x-2\cos x=\cos 3x-2\sin 3x$
5. $\frac{\cos x-2\sin x.\cos x}{2{{\cos }^{2}}x+\sin x-1}=\sqrt{3}$

Chú ý. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất với $\sin x$ và $\cos x$ cũng được dùng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số lượng giác bằng phương pháp sử dụng định nghĩa tập giá trị.

Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:

1. $y=2+3\sin x+4\cos x$
2. $y=\frac{2+\cos x}{\sin x+\cos x-2}$
3. $y=\sin x+\sqrt{3}\cos x+2$
4. $y=f[x]=\frac{\sin x+2\cos x+1}{\sin x+\cos x+2}$
5. $y=f[x]=3\sin 2x+4{{\cos }^{2}}x$

2. Phương trình thuần nhất bậc cao với sin x và cos x

Phương trình thuần nhất bậc hai với sin x và cos x

Dạng tổng quát: $$a{{\sin }^{2}}x+b\sin x\cos x+c{{\cos }^{2}}x=d$$

Cách giải 1: Chia hai vế cho ${{\cos }^{2}}x$ để đưa về phương trình bậc hai đối với $\tan x$

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

1. ${{\sin }^{2}}x+3\sin x\cos x+2{{\cos }^{2}}x=0$
2. $4\sin x+3\sqrt{3}\sin x.\cos x-2{{\cos }^{2}}x=4$

Chú ý. Nếu chia hai vế cho ${{\sin }^{2}}x$ thì được phương trình bậc hai đối với $\cot x$

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

1. $3{{\sin }^{2}}x-\sqrt{3}\sin x\cos x+2{{\cos }^{2}}x=2$
2. $\sin x+[1-\sqrt{3}]\sin x\cos x-\sqrt{3}{{\cos }^{2}}x=0$
3. ${{\sin }^{2}}x-3\sin x\cos x=1$

Chú ý. Trong nhiều trường hợp, phương trình chưa có dạng đang xét thì sử dụng công thức lượng giác biến đổi về dạng đang xét

Ví dụ 3. Giải phương trình:

1. $3{{\sin }^{2}}x-4\sin 2x-2\cos 2x+5{{\cos }^{2}}x=0$
2. \sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}$

Cách giải 2: Sử dụng công thức hạ bậc hoặc công thức nhân đôi thấy có dạng bậc nhất với sinx và cosx

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

1. ${{\sin }^{2}}x+3\sin x\cos x+2{{\cos }^{2}}x=0$
2. $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}$
3. $3{{\sin }^{2}}x-4\sin 2x-2\cos 2x+5{{\cos }^{2}}x=0$
4. ${{\cos }^{2}}x-3\sin x\cos x-2{{\sin }^{2}}x-1=0$

2. Phương trình thuần nhất bậc cao [bậc 3] với sin x và cos x

Cách giải hoàn toàn tương tự như trên nhưng không sử dụng công thức hạ bậc mà chia hai vế cho $\sin x$ hoặc $\cos x$ với số mũ cao nhất.

Ví dụ. Giải các phương trình:

1. $4{{\cos }^{3}}x+2{{\sin }^{3}}x-3\sin x=0$
2. ${{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x=\sin x-\cos x$
3. ${{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x=\sin x+\cos x$
4. $4{{\sin }^{3}}x+3{{\cos }^{3}}x-3\sin x-{{\sin }^{2}}x\cos x=0$
5. ${{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x=1$

LUYỆN TẬP

Giải các phương trình:

1. $\cos 7x.\cos 5x-\sqrt{3}\sin 2x=1-\sin 7x.\sin 5x$
2. $4{{\sin }^{3}}x-1=3\sin x-\sqrt{3}\cos 3x$
3. $4[{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x]+\sqrt{3}\sin 4x=2$
4. $\sqrt{2+\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x}=\sin x+\sqrt{3}\cos x$
5. ${{\sin }^{2}}x-3\sin x\cos x+1=0$
6. $4\sin x+6\cos x=\frac{1}{\cos x}$
7. ${{\cos }^{3}}x-4{{\sin }^{3}}x-3\cos x.{{\sin }^{2}}x+\sin x=0$
8. $2{{\cos }^{3}}x=\sin 3x$

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x. Phương pháp. Cách 1. Chia hai vế phương trình cho ta được: Đặt xin – cosa phương trình trở thành: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: Cách 2 Xét x = 1 + k2n. k có là nghiệm hay không? ta được phương trình bậc hai theo t: Giải [3], với mỗi nghiệm t, ta có phương trình: tan = t. Ghi chú: Cách 2 thường dùng để giải và biện luận. Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 + b > c. Bất đẳng thức BCS: y = a.sinx + b.cosx = a + b. sin x + cos2x. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1. Giải phương trình a] Ta thấy a + b = 5 phương trình đã cho vô nghiệm. b] Chia hai vế của [1] cho v + b = 2. Vậy nghiệm của phương trình [1]. Chia hai vế của [1] cho v + b = 34. Ví dụ 2. Tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của phương trình [*] là x. Ví dụ 3. Giải phương trình sin2x + 1 = 6sinx + cos2x. Định hướng: Chuyển cos2x sang vế trái, dùng công thức nhân đôi 1 – cos2x = 2sinx. Lúc đó phương trình đưa về phương trình tích với sự xuất hiện của nhân tử chung là sinx. Vậy nghiệm của phương trình là x = k. Ví dụ 4. Giải phương trình. Định hướng: Chuyển toàn bộ vế phải của phương trình sang vế trái, sử dụng công thức. Chú ý rằng: nếu f[x] là nghiệm của phương trình f[x] = 0. Vậy nghiệm của phương trinh là: x = 4k2. Ví dụ 5. Giải phương trình. Định hướng: Khai triển cả hai vế phương trình ta thấy vế trái xuất hiện 2sin2x và vế phải xuất hiện 2 cos2x, như vậy nếu đặt 2 ra ngoài ta sẽ được công thức nhân hai. Chuyển vế, phương trình đã cho trở thành.

Ví dụ 6. Giải phương trình. Ở cả hai vế phương trình đều xuất hiện 7x, 5x. Chuyển về ta được. Chia hai vế của phương trình [1]. Vậy nghiệm của phương trình [*] là x = kq, x = -4 + k. Ví dụ 7. Xác định m để phương trình có nghiệm: Phương trình a sin x + bcosx = c có nghiệm khi phương trình đã cho có nghiệm. Ví dụ 8. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m Nếu m > 0 thì có nghiệm t = 1 – 2m hoặc t = 1 + 2m >[1] có nghiệm là x. Nếu m 0 thì [1] có nghiệm là x. Chia hai vế của phương trình [1] cho [1] có dạng a sinx + bcosx = c với a = 2m, b = 2m. Bài tập trắc nghiệm. Câu 1: Gọi E là tập nghiệm của phương trình cos 2x – sin 2x = 1. Khẳng định nào sau đây là đúng.