Bài tập rút gọn lũy thừa lớp 12

Với cách giải các dạng toán về Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải bài tập môn Toán lớp 12 Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải bài tập lớp 12. Mời các bạn đón xem:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải bài tập - Toán lớp 12

9. LÝ THUYẾT

1. Lũy thừa

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

an=a.a....a,(n thừa số)

Ở đây n∈ℤ+, n>1. Quy ước a1=a

a≠0:a0=1,a−n=1an với n∈ℤ+

+ Số căn bậc n

Với n lẻ và b∈ℝ: Có một căn bậc n của b là bn.

Với n chẵn

b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.

b > 0: Có hai bậc n của b là ±bn.

+ Tính chất căn bậc n

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

+ Lũy thừa số mũ hữu tỷ:

amn=amn,a>0

+ Lũy thừa số thực

aα=limn→∞arn( α là số vô tỉ, rn là số hữu tỉ và lim rn = α)

+ Tính chất

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

2. Logarit

+ Định nghĩa:

+ Các công thức:

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biểu thức

1. Phương pháp

Cách 1. Sử dụng định nghĩa và tính chất của lũy thừa và lôgarit

* Rút gọn biểu thức và tính biểu thức của lũy thừa.

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

+ Số căn bậc n

Với n lẻ và b∈ℝ: Có một căn bậc n của b là bn.

Với n chẵn

b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.

b > 0: Có hai bậc n của b là ±bn

+ Tính chất căn bậc n

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

+ Lũy thừa số mũ hữu tỷ

amn=amn,a>0

+ Lũy thừa số thực

aα=limn→∞arn ( α là số vô tỉ, là số hữu tỉ và limrn=α).

+ Tính chất

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

* Rút gọn biểu thức và tính biểu thức của logarit.

+ Định nghĩa:

+ Các công thức:

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay.

2. Ví dụ minh họa

Câu 1. Cho là số thực dương. Giá trị của biểu thức P = a23a bằng

1. a56

2. a5

3. a23

4. a76 .

Lời giải

Chọn D

Với a >0, ta có:

P = a23a = a23 a12 = a76 .

Câu 2. Rút gọn biểu thức P=a3−13+1a4−5.a5−2.

1. P=2

2. P=a2

3. P=1

4. P=a .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

P=a3−13+1a4−5.a5−2=a3−13+1a4−5+5−2=a2a2=1

Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay

Nhập vào máy tính:

Sau đó bấm CALC thay một giá trị bất kì thỏa mãn a >0 và a≠1 và các đáp án phải khác nhau. Ta chọn A=3. Khi đó ta có kết quả.

Với Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải môn Toán lớp 12 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

9. LÝ THUYẾT

1. Lũy thừa

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

an = a.a....a, (n thừa số)

Ở đây n ∈ Z+, n > 1. Quy ước a1 = a .

(a ≠ 0): a0 = 1, a-n =

với n ∈ Z+

+ Số căn bậc n

Với n lẻ và b ∈ R : Có một căn bậc n của b là n√b .

Với n chẵn

b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.

b > 0: Có hai bậc n của b là ± n√b .

+ Tính chất căn bậc n

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

+ Lũy thừa số mũ hữu tỷ

+ Lũy thừa số thực

(α là số vô tỉ, rn là số hữu tỉ và lim rn = α )

+ Tính chất

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Nếu a > 1 thì aα > aβ khi và chỉ khi α > β

Nếu a < 1 thì aα > aβ khi và chỉ khi α < β

2. Logarit

+ Định nghĩa:

Cho 0 < a ≠ 1, b > 0.

Ta có: α = logab ⇔ aα > b

- Lôgarit thập phân: log10b = log b = lg b .

- Lôgarit tự nhiên: logeb = ln b .

+ Các công thức:

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

logaa = 1, loga1 = 0

alogab = b, loga(aα) = α

loga(b1.b2) = logab1 + logab2

Đặc biệt : với a,b > 0, a ≠ 1

logabα = αlogab

Đặc biệt: logan√b =

Đặc biệt:

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biểu thức

1. Phương pháp

Cách 1. Sử dụng định nghĩa và tính chất của lũy thừa và lôgarit

* Rút gọn biểu thức và tính biểu thức của lũy thừa.

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

an = a.a....a, (n thừa số)

Ở đây n ∈ Z+, n > 1. Quy ước a1 = a .

(a ≠ 0): a0 = 1, a-n =

với n ∈ Z+

+ Số căn bậc n

Với n lẻ và b ∈ R : Có một căn bậc n của b là n√b .

Với n chẵn

b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.

b > 0: Có hai bậc n của b là ± n√b .

+ Tính chất căn bậc n

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

+ Lũy thừa số mũ hữu tỷ

+ Lũy thừa số thực

(α là số vô tỉ, rn là số hữu tỉ và lim rn = α )

+ Tính chất

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

* Rút gọn biểu thức và tính biểu thức của logarit.

+ Định nghĩa:

Cho 0 < a ≠ 1, b > 0.

Ta có: α = logab ⇔ aα > b

- Lôgarit thập phân: log10b = log b = lg b .

- Lôgarit tự nhiên: logeb = ln b .

+ Các công thức:

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

logaa = 1, loga1 = 0

alogab = b, loga(aα) = α

loga(b1.b2) = logab1 + logab2

Đặc biệt : với a,b > 0, a ≠ 1

logabα = αlogab

Đặc biệt: logan√b =

Đặc biệt:

Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay.

2. Ví dụ minh họa

Câu 1. Cho là số thực dương. Giá trị của biểu thức

bằng

Lời giải

Chọn D

Với a > 0, ta có

Câu 2. Rút gọn biểu thức

1. P = 2 . B. P = a2 . C. P = 1 . D. P = a .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay

Nhập vào máy tính:

Sau đó bấm CALC thay một giá trị bất kì thỏa mãn a > 0 và a ≠ 1 và các đáp án phải khác nhau. Ta chọn A = 3. Khi đó ta có kết quả.

Câu 3. Với α là một số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai?

Lời giải

Chọn D

+) Có

với mọi α, nên A đúng.

+) Có (10α)2 = (100)αvới mọi α , nên B đúng.

+) Có √10α = (√10)α với mọi α , nên C đúng.

+) Ta có (10α)2 = 102α ≠

. Do đó D sai.

Câu 4. Biểu thức

(x > 0) viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là

Lời giải

Chọn A

Ta có:

Câu 5. Tính giá trị biểu thức

1. 14.

2. 12.

3. 11.

4. 10.

Lời giải

Chọn B

Ta có

Câu 6. Cho a là số thực dương và a ≠ 1. Giá trị của biểu thức

bằng

Lời giải

Chọn D

Ta có:

Câu 7. Cho a > 0, a ≠ 1 biểu thức

có giá trị bằng bao nhiêu?

Lời giải

Chọn C

Ta có:

Câu 8. Với a và b là hai số thực dương, a ≠ 1. Giá trị của

bằng

Lời giải

Chọn D

Áp dụng công thức: alogab \= b

Ta có:

Câu 9. Tính giá trị của

với a > 0, a ≠ 1.

1. 16. B. 8 . C. 4 . D. 2 .

Lời giải

Chọn A

Ta có:

Câu 10. Cho a là số thực dương khác 4. Tính

Lời giải

Chọn C

Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

1. ln(2e2) \= 2 + ln2.

2. ln
   \= ln 2 - 1.

3. ln √4e = 1 + ln 2 .

4. ln(e) = 1 .

Lời giải

Chọn C

ln √4e = ln√4 + ln √e = ln 2 +

Câu 12. Tính giá trị của biểu thức:

1. √3 . B. 1 . C. √2 . D. 2 .

Lời giải

Chọn B

Ta có:

Dạng 2. So sánh các lũy thừa, logarit

1. Phương pháp giải.

Cách 1. Sử dụng tính chất của lũy thừa, lôgarit

1. So sánh các lũy thừa

Nếu a > 1 thì aα > aβ khi và chỉ khi α > β

Nếu a < 1 thì aα > aβ khi và chỉ khi α < β

2. So sánh các logarit

Cách 2. Sử dụng máy tính casio

2. Ví dụ minh họa

Câu 1. Cho a > 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Lời giải

Chọn B

Vì cơ số a > 1 nên ta có am > an ⇔ m > n.

Xét phương án A:

\=> phương án A sai.

Xét phương án B:

\=> hay phương án B đúng.

Xét phương án C:

\=> phương án C sai.

Xét phương án C: 2016 < 2017 ⇔ a2016 < a2017 ⇔

\=> phương án D sai.

Vậy phương án đúng là phương án B

Câu 2. Cho πα > πβ với α,β ∈ R. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

1. α > β. B.α < β . C. α = β . D. α ≤ β .

Lời giải

Chọn A

Do π > 1 nên πα > πβ ⇔ α > β .

Câu 3. Cho số thực a thỏa mãn a3 > aπ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

1. 0 < a < 1 . B. a < 0 . C. a > 1 . D. a = 1 .

Lời giải

Chọn A

Ta có a3 > aπ mà 3 < π nên 0 < a < 1.

Câu 4. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Lời giải

Chọn C

Vì cơ số là

Do đó 5 < 6 nên

là mệnh đề đúng.

Câu 5. Nếu

thì

1. 0 < a < 1, 0 < b < 1 B. 0 < a < 1, b > 1

3. a > 1, b > 1 D. a > 1, 0 < b < 1

Lời giải

Chọn B

Ta có

khi 0 < a < 1

Ta lại có

khi b > 1

Vậy 0 < a < 1, b > 1

Câu 6. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Lời giải

Chọn C

Ta có log x ≥ 0 ⇔ x ≤ 100 nên x ≤ 1 là khẳng định đúng.

log3x ≤ 0 ⇔ 0 < x ≤ 30 nên 0 < x ≤ 1 là khẳng định đúng.

⇔ b > a > 0 nên khẳng định C sai.

D đúng do tính đơn điệu của hàm số

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Tính giá trị biểu thức

1. 15. B. 28. C. -11. D. 10.

Câu 2. Cho biểu thức

. Khi đó giá trị của f(2,7) bằng:

1. 0,027 . B. 27 . C. 2,7 . D. 0,27 .

Câu 3. Tính giá trị của biểu thức

Câu 4. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa?

Câu 5. Với các số thực bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 6. Cho số thực x và số thực y ≠ 0 tuỳ ý. Mệnh đề nào dưới đây sai?

1. 3x.3y = 3x+y.

2. (5x)y \= (5y)x .

4. (2.7)x = 2x.7x .

Câu 7. Cho a là số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

1. A = √7 . B. A = 1 . C. A = 2 . D.

Câu 8. Cho a > 0 ; b > 0. Viết biểu thức

về dạng am và biểu thức về dạng bn. Ta có m - n = ?

C. 1 . D. -1 .

Câu 9. Cho số thực a dương và m,n ∈ R. Mệnh đề nào sau đây đúng?

1. am+n \= (am)n .

2. am+n \=
   .

3. am+n \= am.an

4. am+n = am + n

Câu 10. Cho số dương a và m,n ∈ R. Mệnh đề nào sau đây đúng?

1. am.an \= am-n.

2. am.an \=(am)n

3. am.an \= am+n.

4. am.an \= am.n.

Câu 11. Cho a là số dương tuỳ ý, 4√a3 bằng

Câu 12. Tính giá trị của biểu thức 2log2a + loga(ab) (a > 0, a ≠ 1).

1. P \= a - b B. P = 2a + b . C. P = a + b . D. P = 2a + b .

Câu 13. Cho a là số thực dương khác 1. Tính P = loga√a .

1. P =
   . B. P = -2 . C. P = 2 . D. P = 0 .

Câu 14. Cho a,b > 0. Nếu lnx = 5lna + 2ln√b thì x bằng

1. a5 + b . B. a5b . C. 10a√b. D.
   .

Câu 15. Với a là số thực dương tùy ý, log(8a) - log(3a) bằng

1. . B. log38 . C. log
   . D. log(5a) .

Câu 16. Cho (√2 - 1)m < (√2 - 1)n. Khi đó:

1. m > n. B. m < n. . C. m = n. . D. m ≤ n. .

Câu 17. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

1. log35 > 0 .

2. log 2+ x2 2016 < log 2+ x2 2017.

3. log0,30,8 < 0 .

Câu 18. Mệnh đề nào dưới đây sai?

1. logx < 1 ⇔ 0 < x < 10.

2. lnx ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.

Đáp án:

1. B

2. C

3. D

4. B

5. A

6. C

7. B

8. C

9. C

10. C

11. C

12. C

13. A

14. B

15. C

16. A

17. C

18. C

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit
• Phương trình mũ
• Phương trình lôgarit
• Bất phương trình mũ
• Bất phương trình lôgarit

Săn SALE shopee tháng 12:

• Đồ dùng học tập giá rẻ
• Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official