BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
- Giới hạn đặc biệt: ; [c: hằng số]
- Định lí: a] Nếu và thì: [nếu M 0] b] Nếu f[x] 0 và thì L 0 và c] Nếu thì
- Giới hạn một bên:
- Giới hạn đặc biệt: ; ; ;
- Định lí: Nếu 0 và thì:
- Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , , – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định. B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp:
- Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.
- Nếu là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng
- Nếu cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn [Giới hạn trái bằng giới hạn phải].
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 3 2 1 5 2 1 lim 2 1 x x x x là: A. 2. B. 1 2 . C. 1 2. D. 2. Câu 2. 3 2 2 4 1 lim 3 2 x x x x bằng: A . . B. 11 . 4 . C. 11 . 4. D. . Câu 3. Tìm giới hạn hàm số 1 1 lim 2 x x x bằng định nghĩa. A. B. C. 2 D. 1 Câu 4. Tìm giới hạn hàm số
3 2 lim 1 x x bằng định nghĩa. A. B. C. 9 D. 1 Câu 5. Tìm giới hạn hàm số 1 3 2 lim 1 x x x bằng định nghĩa. A. B. C. 2 D. 1 4 Câu 6. Tìm giới hạn hàm số 3 lim 2 x x x bằng định nghĩa. A. B. C. 2 D. 1 Câu 7. Tìm giới hạn hàm số 2 2 1 lim 2 x x x x bằng định nghĩa. A. B. C. 2 D. 1 Câu 8. Tìm giới hạn hàm số 1 3 2 lim 2 1 x x x bằng định nghĩa. A. B. C. 5 D. 1 Câu 9. Cho hàm số
2 3 4 3 [ ] 2 1 2 x x f x x x . Chọn kết quả đúng của 2 lim [ ] x f x : A. 5 9. B. 5 3. C. 5 9. D. 2 9. Câu 10. Tìm giới hạn hàm số 0 4 2 lim 2 x x x bằng định nghĩa. A. B. 1 8 C. 2 D. 1 Câu 11. Tìm giới hạn hàm số 1 4 3 lim 1 x x x bằng định nghĩa. A. B. C. 2 D. 1 Câu 12. Tìm giới hạn hàm số 2 3 1 lim 2 x x x bằng định nghĩa. A. B. C. 2 D. 1
- B. C. 3 3 9 4 2 D. 1 Câu 25. Tìm giới hạn hàm số 2 1 2 2 1 2 3 lim 3 2 x x x x C x bằng định nghĩa. A. B. C. 3 3 9 4 2 D. 2 35 Câu 26. Tìm giới hạn hàm số 13 3 1 2 lim 3 1 2 x x D x bằng định nghĩa. A. B. C. 1 6 D. 0 Câu 27. Cho hàm số
#######
2 3 khi 2 1 khi 2 x x f x x x . Chọn kết quả đúng của
#######
2 lim x f x : A. 1. B. 0. C. 1. D. Không tồn tại. Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x 2 2 2 1 khi 2 [ ] 2 1 khi 2 x ax x f x x x x . A. B. C. 1 2 D. 1 Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x 0 2 2 5 3 2 1 0 [ ] 1 2 0 ax x a khi x f x x x x khi x . A. B. C. 2 2 D. 1 Câu 30. Tìm a để hàm số. 2 2 5 3 2 1 0 [ ] 1 2 0 ax x a khi x f x x x x khi x có giới hạn tại x 0 A. B. C. 2 2 D. 1 Câu 31. Tìm a để hàm số. 2 2 1 khi 1 [ ] 2 3 khi 1 x ax x f x x x a x có giới hạn khi x 1. A. B. C. 1 6 D. 1 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 0
- L = 0 [ ] lim x x [ ] P x Q x với P[x], Q[x] là các đa thức và P[x 0 ] = Q[x 0 ] = 0 Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. Chú ý:
- Nếu tam thức bậc hai ax 2 b x+c có hai nghiệm 1 2 x ,x thì ta luôn có sự phân tích 2 ax bx c a x[ x 1 ][ x x 2 ].
- a n b n [ a b ][ a n 1 a n 2 b ... abn 2 bn 1 ]
- L = 0 [ ] lim x x [ ] P x Q x với P[x 0 ] = Q[x 0 ] = 0 và P[x], Q[x] là các biểu thức chứa căn cùng bậc Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. Các lượng liên hợp:
- [ a b ][ a b ] a b
- 3 3 3 2 3 3 2 [ a b ][ a ab b ] a b
- [ n a nb ][ n a n 1 n a n 2 b ... nb n 1 ]a b
- L = 0 [ ] lim x x [ ] P x Q x với P[x 0 ] = Q[x 0 ] = 0 và P[x] là biêu thức chứa căn không đồng bậc Giả sử: P[x] = 0 0 m u x[ ] n v x[ ] vôùi m u x[ ] nv x[ ]a . Ta phân tích P[x] =
. Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: n u x[ ] m v x[ ] [ n u x[ ] m x[ ]] [ mv x[ ] m x[ ]] , trong đó m x[ ] c . Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 2 1 3 2 1 lim 2 2 x x x x là: A. . B. 0. C. 1 2. D. . Câu 2. Tìm giới hạn 3 2 1 2 3 2 lim 4 3 x x x A x x : A. B. C. 3 2 D. 1 Câu 3. Tìm giới hạn 4 2 2 3 5 4 lim 8 x x x B x : A. B. C. 1 6 D. 1 Câu 4. Tìm giới hạn 3 4 0 [1 3 ] [1 4 ] lim x x x C x : A. B. C. 1 6 D. 25 Câu 5. Cho hàm số 2 3 9 x f x x . Giá trị đúng của
#######
3 lim x f x là: A. . . B. 0. . C. 6.. D. . Câu 6. Tìm giới hạn 0 [1 ][1 2 ][1 3 ] 1 lim x x x x D x :
Câu 15. Tìm giới hạn 0
[2 1][3 1][4 1] 1
lim
x
x x x
F
x :
A. B. C.
9
2 D. 1
Câu 16. Tìm giới hạn
3
0 2
1 4 1 6
lim
x
x x
M
x :
A. B. C.
1
3 D. 0
Câu 17. Tìm giới hạn 0
1 1
lim
m n
x
ax bx
N
x :
A. B. C.
a b
m n D.
a b
m n
Câu 18. Tìm giới hạn 0
1 1 1
lim
m n
x
ax bx
G
x :
A. B. C.
a b
m n D.
a b
m n
Câu 19. Tìm giới hạn
0 2
1 1
lim
n m
x
mx nx
V
x :
A. B. C.
2
mn n m
D.
2
mn n m
Câu 20. Tìm giới hạn
3
1 1
1 1 ... 1
lim
1
n
x n
x x x
K
x
:
A. B. C.
1
n! D. 0
Câu 21. Tìm giới hạn
2 2
0
1 1
lim
n n
x
x x x x
L
x :
A. B. C. 2 n D. 0
Câu 22. Tìm giới hạn
2
2 3
2 5 2
lim
8
x
x x
A
x :
A. B. C.
1
4 D. 0
Câu 23. Tìm giới hạn
4 2
1 3
3 2
lim
2 3
x
x x
B
x x :
A. B. C.
2
5
D. 0
Câu 24. Tìm giới hạn
3 2
2 3 3
lim
4 3
x
x
C
x x :
A. B. C.
1
6 D. 0
Câu 25. Tìm giới hạn 3 0 1 1 lim 2 1 1 x x D x : A. B. C. 1 3 D. 0 Câu 26. Tìm giới hạn 0 [2 1][3 1][4 1] 1 lim n x x x x F x : A. B. C. 9 n D. 0 Câu 27. Tìm giới hạn 3 0 1 4 1 6 lim 1 cos 3 x x x M x : A. B. C. 4 9 D. 0 Câu 28. Tìm giới hạn 0 1 1 lim 1 1 m n x ax bx N x : A. B. C. 2 an bm mn D. 0 Câu 29. Tìm giới hạn
#######
0 3 1 1 lim 1 2 1 3 n m x mx nx V x x : A. B. C. 2 an bm
####### mn D. mn n m
Câu 30. Tìm giới hạn
3 1 2 1 1 1 ... 1 lim 1 n x n x x x K x : A. B. C. 1 n! D. 0 Câu 31. Tìm giới hạn 3 0 4 1 2 1 lim x x x A x : A. B. C. 4 3 D. 0 Câu 32. Tìm giới hạn 13 4 5 3 lim 5 3 2 x x B x : A. B. C. 4 3 D. 2 5 Câu 33. Tìm giới hạn 4 3 1 2 3 2 3 lim 2 1 x x x C x : A. B. C. 4 3 D. 3
DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH Phương pháp: L = [ ] lim x [ ] P x Q x trong đó P x[ ], Q x[ ] , dạng này ta còn gọi là dạng vô định . với P[x], Q[x] là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
- Nếu P[x], Q[x] là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
- Nếu P[x], Q[x] có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp. Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn:
- 2 [ ] lim k x x x ; 2 1 [ ] lim [ ] k x x x .
- [ ] lim 0 [ 0; 0] n x x k n k x .
- 0 0 lim [ ] [ ] lim 0 [ 0] [ ] x x x x k f x k f x . Câu 1. 5 lim x 3 x 2 bằng: A. 0. B. 1. C. 5
- D. . Câu 2. Giá trị đúng của 4 4 7 lim 1 x x x là: A. 1. B. 1. . C. 7. . D. . Câu 3. Tìm giới hạn 2 2 2 3 2 lim 5 1 x x x C x x : A. B. C. 2 3 6 D. 0 Câu 4. 2 2 2 1 lim 3 x x x bằng: A. 2. B. 1 3 . C. 1
- D. 2. Câu 5. Cho hàm số 2 4 2 1 [ ] 2 3 x f x x x . Chọn kết quả đúng của lim [ ] x f x : A. 1
- B. 2
- C. 0. D. . Câu 6. 2 1 3 lim 2 3 x x x bằng: A. 3 2 2 . B. 2
- C. 3 2
- D. 2 2 .
Câu 7. Tìm giới hạn 3 4 6 3 4 1 lim 1 x x x D x x : A. B. C. 4 3 D. 1 Câu 8. Cho hàm số
####### 4
1 2 1 x f x x
####### x x . Chọn kết quả đúng của
lim x f x : A. 0. B. 1 2. C. 1. D. Không tồn tại. Câu 9. 2 1 3 lim 2 1 x x x x bằng: A. 3. B. 1 2. C. 1. D. . Câu 10. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 4 3 2 8 lim 2 2 x x x x x x là: A. 21 5 . B. 21 5. C. 24 5 . D. 24 5. Câu 12. Tìm giới hạn 2 lim [ x 1 ] x E x x : A. B. C. 1 2 D. 0 Câu 13. Tìm giới hạn lim [ 4 2 1 ] x F x x x : A. B. C. 4 3 D. 0 Câu 14. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
5 3 lim 4 3 1 x x x x là: A. . B.. C.. D.. Câu 15. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là: A.. B.. C.. D.. Câu 16. Tìm giới hạn : A. B. C. D. 0 Câu 17. Tìm giới hạn : A. B. C. D. Đáp án khác Câu 18. Tìm giới hạn :
Câu 28. Tìm giới hạn : A. B. C. D. Câu 29. Tìm giới hạn : A. B. C. D. 0 Câu 30ìm giới hạn : A. B. C. D. 0 Câu 31. Tìm giới hạn : A. B. C. D. 0 Câu 32. Tìm giới hạn : A. B. C. D. 0 Câu 33ìm giới hạn : A. B. C. D. 0 Câu 34. Tìm giới hạn : A. B. C. D. Đáp án khác Câu 35. Tìm giới hạn : A. B. C. D. 4 Câu 36. Tìm giới hạn : A. B. C. 3 2 D. 0 Câu 37. Tìm giới hạn 2 3 3 1 2 1 lim 2 1 x x x x D x x x : A. B. C. 4 3 D. 0
Câu 38. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 2 0 2 lim cos x x nx là: A. Không tồn tại. B. 0. C. 1. D. .
- B. C. 1 2 D. 0 Câu 10. Tìm giới hạn 2 lim [ 4 1 ] x B x x x : A. B. C. 1 4 D. 0 Câu 11. Tìm giới hạn lim [ 2 1 2 1] x C x x x x : A. B. C. 1 4 D. Đáp án khác Câu 12. Tìm giới hạn lim [ 3 8x 3 2x 2x] x D : A. B. C. 1 4 D. 0 Câu 13. Tìm giới hạn 4 4 2 lim [ 16 3 1 4 2] x E x x x : A. B. C. 1 4 D. 0 Câu 14. Tìm giới hạn lim [ 3 1 3 ] x F x x : A. B. C. 1 4 D. 0
DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau: 0 0 sin lim lim 1 sin x x x x x x , từ đây suy ra 0 0 tan lim lim 1 tan x x x x x x . Nếu 0 0 sin [ ] lim [ ] 0 lim 1 [ ] x x x x u x u x u x và 0 tan [ ] lim 1 [ ] x x u x u x . Câu 1. Tìm giới hạn 0 2 1 cos lim x ax A x : A. B. C. 2 a D. 0 Câu 2. Tìm giới hạn 0 1 sin cos lim 1 sin cos x mx mx A nx nx : A. B. C. m n D. 0 Câu 3. Tìm giới hạn 0 2 1 cos .cos 2 .cos 3 lim x x x x B x : A. B. C. 3 D. 0 Câu 4ìm giới hạn 0 1 cos 2 lim 3 2sin 2 x x A x : A. B. C. 1 D. 0 Câu 5. Tìm giới hạn 0 cos 2 cos 3 lim [sin 3 sin 4 ] x x x B x x x : A. B. C. 5 2 D. 0 Câu 6. Tìm giới hạn 2 0 3 tan 2 lim 1 cos 2 x x C x : A. B. C. 6 D. 0 Câu 7. Tìm giới hạn 2 0 lim 1 sin 3 cos 2 x x D x x x : A. B. C. 7 2 D. 0 Câu 8ìm giới hạn 1 sin[ ] lim. sin[ ] m x n x A x : A. B. C. n m D. 0 Câu 9. Tìm giới hạn 2 lim[ ] tan 2 x B x x :
- B. C. 2 a n D. 0 Câu 20ìm giới hạn 0 cos 3 cos 4 lim cos 5 cos 6 x x x A x x : A. B. C. 7 11 D. 0 Câu 21ìm giới hạn 3 0 1 1 2sin 2 lim sin 3 x x B x : A. B. C. 4 9 D. 0 Câu 22. Tìm giới hạn 2 03 4 sin 2 lim cos cos x x C x x : A. B. C. 96 D. 0 Câu 23. Tìm giới hạn 4 0 4 sin 2 lim sin 3 x x D x : A. B. C. 16 81 D. 0 Câu 24. Tìm giới hạn 0 1 sin[ cos ] lim 2 sin[tan ] x x E x : A. B. C. 1 D. 0 Câu 25ìm giới hạn 3sin 2 cos lim 1 x x x F x x : A. B. C. 5 2 D. 0 Câu 26. Tìm giới hạn 0 2 cos cos lim sin m m x ax bx H x : A. B. C. 2 2 b a n m D. 0 Câu 27. Tìm giới hạn 3 0 1 3 1 2 lim 1 cos 2 x x x M x : A. B. C. 1 4 D. 0 Câu 28. 2 2 3 5sin 2 cos lim 2 x x x x x bằng: A. . B. 0. C. 3. D. .
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
- Giới hạn đặc biệt: 0 xlim x x x 0 ; 0 lim x x c c [c: hằng số]
- Định lí: a] Nếu 0 lim [ ] x x f x L và 0 lim [ ] x x g x M thì:
0 lim [ ] [ ] x x f x g x L M
0 lim [ ] [ ] x x f x g x L M
0 lim [ ]. [ ]. x x f x g x L M 0 [ ] lim x x [ ] f x L g x M [nếu M 0] b] Nếu f[x] 0 và 0 lim [ ] x x f x L thì L 0 và 0 lim [ ] x x f x L c] Nếu 0 lim [ ] x x f x L thì 0 lim [ ] x x f x L 3. Giới hạn một bên: 0 lim [ ] x x f x L 0 0 lim [ ] lim [ ] x x x x f x f x L 0 0 lim [ ] lim [ ] x x x x f x f x L