Bài tập về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn năm 2024

Ví dụ: Các phương trình 2x - y = 1; 3x + 4y = 0; 0x + 2y = 4; x + 0y = 5 là những phương trình bậc nhất hai ẩn

2. Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong phương trình (1) nếu giá trị của vế trái tại $x=x_0;y=y_0$ bằng vế phải thì cặp số $(x_0;y_0)$ được gọi là một nghiệm của phương trình (1)

Ví dụ: Cặp số (3; 4) là một nghiệm của phương trình 2x - y = 2 vì 2.3 - 4 =2

Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình (1) được biểu diễn bởi 1 điểm. Nghiệm $(x_0;y_0)$ được biểu diễn bởi điểm có tọa độ $(x_0;y_0)$

3. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c ( $a\neq0$ hoặc $b\neq0$ ) luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, kí hiệu là (d)

- Nếu $a\neq0$ và $b\neq0$ thì đường thẳng (d) chính là đồ thị của hàm số bậc nhất $y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$

- Nếu $a\neq0$ và b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay $x=\frac{c}{a}$ và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung.

- Nếu a = 0 và $b\neq0$ thì phương trình trở thành by = c hay $y=\frac{c}{b}$ và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành

Ví dụ: Phương trình 3x + y = 5 luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của phương trình này là $S=\left\{(x;5-3x)/ x\in R\right\}$

Phương trình 2x + 0y = 8 nghiệm đúng với mọi y và x = 4 nên nghiệm tổng quát của phương trình là $\begin{cases}x=4\\y\in R\end{cases}$

Phương trình 0x + 4y = 8 nghiệm đúng với mọi x và y = 2 nên nghiệm tổng quát của phương trình là $\begin{cases}x\in R\\y=2\end{cases}$

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Khái niệm

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\,\,\,(I)\,\,\,(a^2+b^2\neq0;a’^2+b’^2\neq0)$

Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung $(x_0;y_0)$ thì $(x_0;y_0)$ được gọi là một nghiệm của hệ (I)

Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm.

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.

Ví dụ: $\begin{cases}x+y =6\\2x-y=3\end{cases}$ là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta thấy cặp số (3; 3) là một nghiệm của phương trình trên vì $\begin{cases}3+3 =6\\2.3-3=3\end{cases}$

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hệ phương trình $\begin{cases}ax+by=c\,\,\,(d)\\a’x+b’y=c’\,\,\,(d’)\end{cases}\,\,\,(I)\,\,\,(a^2+b^2\neq0;a’^2+b’^2\neq0)$

Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn là kiến thức tương đối quan trọng trong chương trình toán lớp 9. Các dạng bài về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn cũng thường xuyên xuất hiện trong các đề thi và thường là các câu hỏi có tính vận dụng cao, câu hỏi điểm 9, điểm 10. Chính vì vậy, HOCMAI sẽ tổng hợp cho các em học sinh toàn bộ lý thuyết của chuyên đề này và các dạng bài thường gặp để các em nắm được.

1. Định nghĩa hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

Hệ phương trình 2 ẩn là hệ thống các phương trình bậc nhất 2 ẩn có cùng điều kiện, tập nghiệm xảy ra đồng thời.

Tham khảo thêm: Phương trình bậc nhất 2 ẩn

Phương trình bậc nhất 2 ẩn có dạng:

Trong đó:

• a, a’, b, b’ là các số thực cho trước thỏa mãn điều kiện (a² + b² ≠ 0 và a’² + b’² ≠ 0)
• x và y là ẩn

Nghiệm chung của 2 phương trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn.

2. Tính chất của hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

3. Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

Để giải được hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, các em học sinh có thể áp dụng một số phương pháp sau:

1. Phương pháp thế

– Sử dụng quy tắc thế để biến đổi hệ phương trình đã cho trở thành một phương trình mới có dạng phương trình chỉ có 1 ẩn

– Giải phương trình mới đã biến đổi để tìm các nghiệm của hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn mà đề bài đã cho

2. Phương pháp cộng đại số

– Để làm được phương pháp này, các em học sinh sẽ nhân mối phương trình của hệ với một thừa số phụ sao cho giá trị tuyệt đối của hệ số của một trong 2 ẩn của các phương trình trong hệ bằng nhau.

– Sử dụng quy tắc cộng đại số thông thường để tạo thành một hệ mới trong đó có một phương trình là phương trình 1 ẩn.

– Tìm nghiệm của phương trình 1 ẩn và sử dụng phương pháp thế để tìm ra tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất 1 ẩn mà đề bài đã cho.

B. Một số bài tập minh họa giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải:

Ta nhân phương trình (2) với 5. Sau đó sử dụng phương pháp cộng đại số để triệt tiêu ẩn y, ta ra được phương trình mới chỉ có 1 ẩn x rồi tiến hành giải phương trình để tìm ra đáp án.

Tiến hành giải phương trình chỉ có nghiệm x là:

13x = – 39

suy ra x = -39/13 = -3.

Thế x = – 3 vào phương trình (1) ta có phương trình sau

3.(-3) + 5y = 1

⇒ 5y = 10 ⇒ y = 2.

Vậy nghiệm của hệ phương trình bậc nhất 1 ẩn là (x, y) = (-3, 2).

Đáp án: (-3, 2)

Bài tập 2: Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải:

Ta thấy hệ phương trình trên, hệ số của x của cả 2 phương trình đều bằng 4. Ta tiến hành trừ 2 phương trình với nhau ra một phương trình mới chỉ có ẩn y. Sau đó tính toán để tìm nghiệm của hệ phương trình đã có

Ta có phương trình mới như sau:

10y = 40

⇒ y = 40/10 = 4

Dùng phương pháp thế y = 4 vào phương trình (1) 4x + 7y = 16 ta có)

4x + 7.4 = 16

⇒ 4x = 16 – 28

⇒ 4x = – 12

⇒ x = -12/4 = -3.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x, y) = (-3, 4).

Đáp án: (-3, 4)

Hệ thống bài tập tự luyện:

Trên đây là toàn bộ kiến thức cần nhớ về Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn. Hy vọng bài viết sẽ giúp các em có thêm kiến thức trong quá trình học tập, ôn thi học kỳ và ôn thi vào 10 môn Toán.