Bảng xét dấu phương trình bậc 4

Phần tham khảo mở rộng

Dạng 1: Xét dấu các hệ số của hàm bậc bốn trùng phương, phân tích đồ thị hàm số.

Xét đồ thị hàm số $y=ax^{4}+bx^{2}+c$ [$a\neq 0$].

1. Xác định dấu của a

Từ đồ thị, ta tìm được giới hạn $L=\lim_{x\rightarrow +\infty }y$. Ta có:

• $L = +\infty\Leftrightarrow a> 0$.
• $L = -\infty\Leftrightarrow a< 0$.

2. Xác định dấu của b

• Đồ thị có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow ab< 0$.
• Đồ thị có một điểm cực trị $\Leftrightarrow ab\geq  0$.

3. Xác định dấu của c

Ta có M[0; c] là giao điểm của đồ thị với trục tung, suy ra:

• Nếu M nằm phía trên trục hoành $\Leftrightarrow c> 0$.
• Nếu M nằm phía dưới trục hoành $\Leftrightarrow c 0$.

  Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên a.b < 0. Mà a > 0 do đó b < 0.

  Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm nằm bên dưới trục hoành, do đó c < 0.

  Vậy a > 0; b < 0; c < 0.

  Bài tập 2: Đồ thị hàm số $y=a^{4}+bx^{2}+c$ [$a\neq 0$] có dạng sau:

  Xác định dấu của a, b, c.

  Bài giải:

  Ta có:

  Hàm số là hàm trùng phương, có $L=\lim_{x\rightarrow +\infty }y= +\infty\Leftrightarrow a> 0$.

  Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên a.b < 0. Mà a > 0 do đó b < 0.

  Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm thuộc trục hoành, do đó c = 0.

  Vậy a > 0; b < 0; c = 0.

  
  
  Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm toán 12 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

  Website Luyện thi online miễn phí,hệ thống luyện thi trắc nghiệm trực tuyến miễn phí,trắc nghiệm online, Luyện thi thử thptqg miễn phí //hanvietfoundation.org/uploads/thi-online.png
  

  Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương
  

  Cách khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

  I- SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 4 trùng phương

  1. Tập xác định của hàm số

  2. Sự biến thiên của hàm số

  2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số

  + Tính đạo hàm y’

  + Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định

  + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

  Bạn đang xem: Cách xét dấu phương trình bậc 4

  2.2 Tìm cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương

  2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực [x→±∞x→±∞], các giới hạn có kết quả là vô cực và tìm tiệm cận nếu có.

  2.4 Lập bảng biến thiên.

  Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

  3. Đồ thị của hàm số

  - TìmGiao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= ? => [0;?]

  - Tìm Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 f[x] = 0 x = ? => [?;0 ]

  - Tìm Các điểm CĐ; CT nếu có.

  [Chú ý:nếu nghiệm bấm máy tính được thì bấm, nghiệm lẻ giải tay được thì phải giải ra- chẳng hạn phương trình bậc 2, còn nghiệm lẽ mà không giải được thì ghi ra giấy nháp cho biết giá trị để khi vẽ cho chính xác- không ghi trong bài- chẳng hạn hàm bậc 3]

  - Lấy thêm một số điểm [nếu cần]- [điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.]

  - Nhận xét về đặc trưng của đồ thị.Điều này sẽ cụ thể hơn khi đi vẽ từng đồ thị hàm số.

  II- SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: y = ax4+ bx2+ c [a ≠0]

  1. Tập xác định. D=R

  2. Sự biến thiên của hàm số bậc 4 trùng phương

  2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số bậc 4 trùng phương

  + Tính đạo hàm:

  + [ Bấm máy tính nếu nghiệm chẵn, giải nếu nghiệm lẻ- không được ghi nghiệm gần đúng]

  + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

  2.2 Tìm cực trị

  2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực [x→±∞x→±∞]

  [Hàm bậc ba và các hàm đa thức không có TCĐ và TCN.]

  2.4 Lập bảng biếnKết luận sau bảng biến thiên gồm: Tìm khoảng biến thiên, kết luận về cựcđại và cực tiểu của hàm só

  Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

  3. Đồ thị

  - Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => [0; d]

  - Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 ax4+ bx2+ c = 0 x = ?

  - Các điểm CĐ; CT nếu có.

  [Chú ý:nếu nghiệm bấm máy tính được 3 nghiệm thì ta bấm máy tính, còn nếu được 1 nghiệm nguyên thì phải đưa về tích của một hàm bậc nhất và một hàm bậc hai để giải nghiệm. Trường hợp cả ba nghiệm đều lẻ thì chỉ ghi ra ở giấy nháp để phục vụ cho việc vẽ đồ thị]

  - Lấy thêm một số điểm [nếu cần]- [điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.

  Xem thêm: Giải Toán Hình Lớp 7 Bài 1 Trang 82 Sgk Toán 7 Tập 1, Hai Góc Đối Đỉnh

  ]

  - Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Hàm bậc 4 trùng phương nhận trục tung làm trục đối xứng.

  Ở bài viết trước, THPT Sóc Trăng đã giới thiệu đến thầy cô cùng các bạn học sinh các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba. Tiếp nối mạch kiến thức đó, hôm nay chúng tôi sẽ hướng dẫn các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương. Chia sẻ để nắm chắc hơn chuyên đề Đại số quan trọng này nhé !

  I. LÝ THUYẾT CHUNG

  1. Cực trị của hàm bậc 4 là gì?

  Bạn đang xem: Hướng dẫn các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

  Cho hàm số bậc 4 : y=f[x]=ax4+bx3+cx2+dx+e với a≠0

  Đạo hàm y′=4ax3+3bx2+2cx+d

  Hàm số y=f[x] có thể có một hoặc ba cực trị .

  Điểm cực trị là điểm mà qua đó thì đạo hàm y′ đổi dấu

  2. Số điểm cực trị của hàm bậc 4

  Xét đạo hàm y′=4ax3+3bx2+3cx+d

  • Nếu y′=0 có đúng 1 nghiệm thì hàm số y=f[x] có đúng 1 cực trị [có thể là cực đại hoặc cực tiểu].
  • Nếu y′=0 có 2 nghiệm [gồm 1 nghiệm đơn , 1 nghiệm kép] thì hàm số y=f[x] có đúng 1 cực trị [có thể là cực đại hoặc cực tiểu].
  • Nếu y′=0 có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số y=f[x] có 3 cực trị [gồm cả cực đại và cực tiểu].

  3. Hàm số trùng phương là gì ?

  Hàm số trùng phương là hàm số bậc 4 có dạng:

  y=f[x]=ax4+bx2+c

  Như vậy có thể coi đây là một hàm số bậc 2 với ẩn là x2

  4. Điều kiện cực trị của hàm bậc 4 trùng phương

  II. CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG

  1. Cách khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

  Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương ta thực hiện các bước sau đây:

  Bước 1: Tìm tập xác định. D=R

  Bước 2: Xét sự biến thiên

  • Xét chiều biến thiên của hàm số

  + Tính đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx

  + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

  • Tìm cực trị
  • Tìm các giới hạn tại vô cực [ x →± ∞]. [Hàm trùng phương không có TCĐ và TCN.]
  • Lập bảng biến thiên

  Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên

  Bước 3: Vẽ đồ thị

  – Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= c => [0;c]

  – Giao của đồ thị với trục Ox:

  – Các điểm CĐ; CT nếu có.

  [Chú ý: giải phương trình trùng phương- các bạn bấm máy tính như giải pt bậc 2 nhưng chỉ lấy nghiệm không âm, sau đó giải để tìm ra x]

  – Lấy thêm một số điểm [nếu cần]- [điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.]

  – Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Ta có:  Nên đồ thị hàm số đã cho là hàm số chẵn. Đồ thị của nó nhận Oy làm trục đối xứng..

  2. Các trường hợp biến thiên của đồ thị hàm số bậc 4

  Trường hợp 1. a>0, b≥0

  Hàm số đồng biến trên khoảng [0;+∞] và nghịch biến trên  [−∞;0].

  Trường hợp này đồ thị hàm trùng phương có dạng gần giống đồ thị hàm số bậc 2.

  Trường hợp 2. a0, b