Các công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
|
Phương pháp chung: Show
Dạng 1: Hình chóp đều.
 Giải: Gọi O là tâm của tam giác ABC, suy ra $SO=\frac{a \sqrt{3}}{3}$. Tam giác SOA vuông tại O nên $SO=\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a}{2}$. Áp dụng công thức $R=\frac{7a}{12}$. Bài tập áp dụng Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho. => Hướng dẫn giải Dạng 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Giải: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: $r=AG=\frac{2}{3} AM= \frac{a \sqrt{3}}{3}$, h=SA=a. Áp dụng công thức, ta có $R=\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a \sqrt{3}}{3})^{2}}=\frac{a \sqrt{21} }{6} $. Bài tập áp dụng Câu 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a, OB=2a, OC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB=a và $\widehat{BAC}=120^{0}$. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy (ABC). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Câu 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên. => Hướng dẫn giải Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Giải: Giao tuyến của (SAB) với (ABCD) là AB. Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R_{d}=AO=\frac{a \sqrt{2}}{2}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên $R=SG=\frac{a \sqrt{3}}{3}$. Áp dụng công thức $R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}=\frac{a \sqrt{21}}{6}$. Bài tập áp dụng: Câu 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=$a \sqrt{2}$. Cạnh bên $SA=a \sqrt{2}$, hình chiếu vuông góc với mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Câu 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA=SB=2a, $\widehat{ASB}=120^{0}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. => Hướng dẫn giải Page 2
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, suy ra $SO \perp (ABCD)$. $AO= \frac{AC}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}$ Xét tam giác SAO vuông tại O ta có $SO= \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a \sqrt{34}}{2}.$ Áp dụng công thức $R=\frac{SA^{2}}{2. SO}=\frac{9a \sqrt{34}}{34}$. 1. Lý thuyết về mặt cầu ngoại tiếp hình nónMột mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón . Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó. Lý thuyết:Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác nội tiếp đường tròn Bài toán:Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính đáy và chiều cao hình nón 2. Ví dụ bài tập mặt cầu ngoại tiếp hình nónBài 1. Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó. a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất. b) Một hình nón có chiều caohvà bán kính đáy bằngr. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó. c) Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kínhR. Nếu hình nón đó có chiều cao bằnghthì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. Lời giải: a) Hình nón(N)có đỉnhSvà đường tròn đáy là(O;r). Lấy điểmMtrên(O;r)thìΔSOMvuông tạiO. SOlà trục của đường tròn(O;r)nênIlà tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khiIthuộcSOvà cách đều hai điểmS,M. VậyIlà giao điểm củaSOvới mặt phẳng trung trực củaSM. Mặt cầu tâmIbán kínhR=ISlà mặt cầu ngoại tiếp duy nhất. b) Kẻ đường kínhSS′của mặt cầu ngoại tiếp hình nón(SS′>h)
ΔMSS′vuông tạiMcó đường caoMO=r. Ta có: Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là c) Nếu hình nón có chiều caoh, bán kính đáy làrnội tiếp mặt cầu bán kínhRthì theo câu b) ta có hệ thức Bài 2: Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 6, chiều cao bằng 8. Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Tìm bán kính của mặt cầu đó A. 4 B. 2 C. 6 D. 3 Lời giải Hình nón ngoại tiếp hình cầu⇒ Chọn D. Bài 3: Cho khối cầu tâm O, bán kính R =2. Mặt phẳng (P) cách O một khoảng x cắt khối cầu theo một hình tròn (C). Một khối nón (N) có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn (C). Biết khối nón (N) có thể tích lớn nhất, khi đó giá trị của x bằng bao nhiêu ? Lời giải Bài 4: Cho hình nón tròn xoay (N) có đỉnh là S, có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. Đường cao SO = h. Tính chiều cao x của hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp hình nón đã cho ? Lời giải
Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp
Trong đó Rd là bán kính ngoại tiếp đáy; h là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=3a,BC=4a,SA=12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122 Công thức 2: Khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)Công thức 3: Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)Trong đó Rd là bán kính ngoại tiếp đáy; h là độ dài cạnh bên. Ví dụ 1.Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124 Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó. Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng |
