Các công thức toán ôn thi thpt quốc gia năm 2024

SACHHOC

MỤC LỤCHàm số ..................................................................................................................................... 02Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit .................................................................. 19Nguyên hàm, tích phân .......................................................................................................... 29Số phức .................................................................................................................................... 46Khối đa diện ............................................................................................................................ 50Các khối tròn xoay ................................................................................................................. 57Phương pháp tọa độ trong không gian ................................................................................. 65Cuốn sổ tay gồm 80 trang, tổng hợp lại đầy đủ các dạng bài và công thức quan trọngcủa môn Toán lớp 12.

Đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng L

####### Cho    

3 2 y  f x m ;  ax  bx  cx  d a 0.

#######  

2 y '  f ' x m;  3 ax  2 bx  c có

2   ' b  3 ac.

Bước 1: Tính y '.

Tìm điều kiện để hàm số có

khoảng đồng biến và nghịch

biến:  

0 1 ' 0

 a    

.

Bước 2: Biến đổi x 1  x 2 L

  

2

1 2

2 1 2 41 2

x x L

x x x x L

  

   

Vậy  

2 2 S  4 P  L 2.

Bước 3: Sử dụng định lí Vi-ét

đưa (2) về phương trình theo

m.

Giải phương trình, so sánh với

điều kiện (1) và kết luận.

Mở rộng hướng giải

####### Giả sử    

2 y '  f ' x m;  Ax  Bx  C A 0.

x 1  x 2  Lvới 1 , 2 2 2

B B x x A A

       .

1 2

2

2 2 2

B B x x A A A A

            .

Vậy

2 x 1 x 2 L 2 L A A

      .

Lưu ý không lấy

dấu bằng

Riêng đối với hàm

ax b y cx d

  

Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức

ax b y cx d

  

là

 

2

'

ad bc y

cx d

 



Đồng biến hoặc nghịch biến

trên các khoảng xác định

ad  bc 0 hoặc

ad  bc 0

Phương pháp chung:

• Tính y '. Để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên  a b ;  thìy '  0  x  a b;  (y '  0  x  a b; ) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
• Cô lập m , đưa về dạng:    

 

 

;

; max a b

####### m  g x  x a b  m  g x ,    

 

#######  

;

; min a b

m  g x  x a b  m  g x

• Lập BBT hàm số g  x trên  a b ; và kết luận.

ad  bc 0 hoặc

ad  bc 0

+  ; 

d

c

    (tức là hoặc

d

c

   hoặc

d

c

  )

Đơn điệu trên  a b ; 

Đồng biến hoặc nghịch biến

####### trên các khoảng    ; 

CỰC TRỊ

Phương pháp

tìm cực trị

1 Tìm tập xác định cùa hàm số

2

Tính y ', giải phương trình y '  0 và xác định các điểm mà y 'không xác định

3 Lập bảng xét dấu y 'và xác định các điểm cực trị là điểm mà qua đó y 'đổi dấu

Note: Chỉ cần y 'đổi

dấu, không cần y '  0

CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC

HÀM ĐA THỨC BẬC BA

 

3 2 y  ax  bx  cx  d a 0

1. Đạo hàm:

2 y '  3 ax  2 bx  c.

1. Điều kiện để hàm số có cực trị:

2 b  3 ac  0.

1. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:

2

3 3 9

b bc y c x d a a

           

   

HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG  

4 2 y  ax  bx  c a 0

1. Đạo hàm:

3 y '  4 ax  2 bx.

1. Điều kiện để hàm số có 3 cực trị: ab  0 , có 1 cực trị: ab  0.
2. Hàm số có 1 cực tiểu + 2 cực đại: a  0, b 0.
3. Hàm số có 2 cực tiểu + 1 cực đại: a  0, b 0
4. Hàm số chỉ có 1 cực trị là cực đại: a  0, b 0.
5. Hàm số chỉ có 1 cực trị là cực tiểu: a  0, b 0.

Điều kiện cần và đủ để x 0 là điểm cực đại

của hàm số y  f  x:  

0

0

' 0

'' 0

f x

f x

 



  

Điều kiện cần và đủ đểx 0 là điểm cực

tiểu của hàm số y  f  x:  

0

0

' 0

'' 0

f x

f x

 

   

Tìm số điểm cực trị thông qua đạo hàm đã cho

Nếu thoả mãn pt f '  x  0 thì là nghiệm bội lẻ

####### '    1   2 

m n f x  x  x x x

+m n , lẻ: x 1 ,x 2 là những điểm cực trị

+m n , chẵn : x 1 ,x 2 không là cực trị

####### Tìm số điểm cực trị thông qua đồ thị hàm số y f  x

Quan sát điểm cực trị thoả mãn các dấu hiệu:

 Đạo hàm y 'phải đổi dấu khi qua nó

 Tại các điểm cực trị, y 'có thể bằng 0 hoặc

không xác định nhưng y phải xác định.

 Hàm số thay đổi chiều hướng mũi tên khi qua nó

 Đồ thị hàm số “lồi lên hoặc lõm xuống” tại các

điểm cực trị.

####### Tìm số điểm cực trị thông qua đồ thị hàm số y f '  x

Quan sát điểm cực trị thoả mãn các dấu hiệu:

 Là giao điểm của đồ thị f '  x với trục hoành Ox y  f '  xđổi dấu khi qua các điểm đó hay tại đóđồ thị f '  x nằm về cả hai phía mặt phẳng bờ Ox Không tính điểm mà tại đó f '  x tiếp xúc Ox

Tại điểm đồ thị hàm số đi từ miền âm lên dương là điểm

cực tiểu, đi từ miền dương xuống âm là điểm cực đại.



CỰC TRỊ CỦA MỘT SỐ HÀM KHÁC

  

2 ax bx c T x y mx n M x

    

với 0, 0

n am T m

        

.

 Hàm số có 2 điểm cực trị: a T.  x 0  0. Hàm số không có cực trị: a T.  x 0  0.

Chú ý:

0; 0

n am T m

       

hàm số suy

biến và không có cực trị.

Với

2 ax bx c y mx n

   

1. Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương

trình:

 

 

2 ' 2

'

ax bx c ax b y mx n m

     

(2) 1 2  1 2 

2 CD CT

a b y y y y x x m m

     .

(3) 1 2  1 2 

2 CD CT

a y y y y x x m

    .

(4)

2 1 2 1 2

2 2 4 CD. CT. .

ax b ax b b ac y y y y m m m

     .

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất:

ax b y cx d

  

Hàm phân thức bậc không có cực trị.

hai trên bậc nhất

####### Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thoả mãn điều kiện cho trước: Cho hàm số    

3 2 f x m ,  ax  bx  cx  d a 0

Cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Bước 1: TXĐ: D R

2

2

y ' 3 ax 2 bx c

Ax Bx C

  

  

Bước 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu

2 1 '

0 0

' y 0 3

A a m D b ac

               

Bước 3: Gọi x 1 ;x 2 là hai nghiệm của PT.

Khi đó, theo ĐL Vi-et:

1 2 1 2

2 ;. 3 3

B b C c S x x P x x A a A a

        

Bước 4: Biến đổi hệ thức đề bài về dạng

chứa S P ;. Từ đó giải tìm được m D 2

Bước 5: Kết luận m  D 1  D 2 thoả mãn

yêu cầu bài toán.

Điều kiện để hai điểm

cực trị lớn hơn hoặc

nhỏ hơn 

Khi đó PT y '  0 có hai nghiệm phân biệt x 1 ;x 2 thoả mãn:

•     

2 x 1   x 2  x 1   x 2    0  x x 1 2   x 1  x 2    0

•   

1 2 1 2 1 2

2

0

x x x x x x

   

      

    

  

1 2 1 2 1 2

2

0

x x x x x x

   

       

    

• 2 nghiệm cùng âm:   0; P  0; S 0

Hay

gặp

ĐƯỜNG TIỆM CẬN

Khái niệm

Đường thẳng y  y 0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị y  f  xnếu ít nhất 1trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim   0

x

f x y 

 , lim   0

x

f x y 



Đường thẳng x  x 0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị y  f  xnếu ít nhất 1

####### trong các điều kiện sau được thỏa mãn:  

0

lim x x

f x 

#######   ,  

0

lim x x

f x 

 

Nên sử dụng máy tính cầm tay để tính giới hạn.

Đường tiệm cận đứng của đồ thị là nghiệm của

mẫu số không bị triệt tiêu bởi nghiệm của tử số (không

triệt tiêu hết khác với trùng).

Giải nhanh:

Đồ thị hàm số  

ax b y ad bc cx d

   

có tiệm cận ngang

a y c

 và tiệm cận đứng

d x c

 .

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Các bước khảo sát

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Sự biến thiên:

• Xét sự biến thiên (tính đạo hàm, tìm các điểm mà y '  0 hoặc không xác định, xét dấu đạo hàm)
• Tìm cực trị.
• Tính các giới hạn tại vô cực, tìm các đường tiệm cận (nếu có).
• Lập BBT.

Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm phân thức bậc nhất

Hàm số y f  xcó đồ thị  C .

Với sốa  0

Hàm số y  f  x  a có đồ thị  C 'là tịnh tiến C theo phương của Oy lên trên a đơn vị.Hàm số y  f  x  a có đồ thị C 'là tịnh tiến  C theo

phương của Oy xuống dưới a

đơn vị.

Hàm số y  f  x  acó đồ thị  C 'là tịnh tiến C theo phương của Ox qua phải a đơn vị.Hàm số y   f  xcó đồ thị

 C ' là đối xứng  C qua Ox.

Hàm số y  f  x  acó đồ thị  C 'là tịnh tiến C theo phương của Ox qua trái a đơn vị.Hàm số y  f   xcó đồ thị  C ' là đối xứng C qua Oy.

1. Giao điểm của hai đồ thị

Giả sử hàm số y  f  xcó đồ thị là  C 1 và hàm số

y  g  xcó đồ thị là  C 2 .

Để tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên  giải

phương trình f  x  g  x .

Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của hai

đồ thị.

1. Sự tiếp xúc của hai đường cong

Giả sử hàm số y  f  x có đồ thị là  C 1 và hàm số

y  g  x có đồ thị là  C 2 .

Hai đường cong  C 1 và  C 2 tiếp xúc nhau

 hệ phương trình

   '   ' 

f x g x

f x g x

 



  

có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ

tiếp điểm của hai đường cong đó.

Biến đổi đồ thị

chứa dấu GTTĐ

Bài toán tương

giao

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  :y  f  xbiết tiếp tuyến đồ thị đi qua điểm A x  A ; yA.

Phương pháp:

Cách 1:

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A x  A ; yA hệ số góc k có dạng:d : y  k  x  x A  yA  *Bước 2: d là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:   ' 

f x k x x A yA

f x k

   

   

Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình   * , ta được tiếp tuyến cần tuyến.

Cách 2:

Bước 1: Gọi M  x 0 ;f  x 0 là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyếnk  y '  x 0   f ' x 0 theox 0.

Bước 2: PTTTd : y  y '  x 0  . x  x 0  y 0  ** .Điểm A x  A ;y A d nên yA  y '  x 0  . x A x 0  y 0 giải phương trình này ta tìm được x 0.Bước 3: Thế x 0 vào  ** ta được tiếp tuyến cần tìm.

Chú ý: Ta có thể sử dụng máy tính thay các đáp án:

Cho f  x bằng kết quả các đáp án. Vào MODE  5  4 nhập hệ số phương trình.

Thông thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ hơn số bậc của phương trình là 1 thì ta chọn đáp án đó.

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số  C 1  :y  f  xvà  C 2  : y g  x.

Phương pháp:

Bước 1: Gọi d là tiếp tuyến chung của  C 1  , C 2 và x 0 là hoành độ tiếp điểm của d và  C 1 thìd :y  f '  x 0  . x  x 0  f  x 0   ***Bước 2: Dùng điều kiện tiếp xúc của d và  C 2 ,tìm được x 0. Thế x 0 vào  *** ta được tiếp tuyến cần tìm.

Hàm lũy thừa

n

y  x Hàm mũ  0 1 

x y  a  a Hàm lôgarit

y  log ax  0  a 1 

• Với n nguyên dương:

D .

• Với n

  hoặcn  0 :

D  \ 0  

• Với n không nguyên: D   0;Tập xác định D . Tập xác địnhD   0; .

 

1 '

n n x nx

 

Đạo hàm hàm hợp:

 

' 1 .

n n u nu u

  

  ' ln

x x a a a

Đạo hàm hàm hợp:

  ' .ln . '

u u a a a u

 

1 log ' ln

a x x a



Đạo hàm hàm hợp:

 

' log ' .ln

a

u u u a



• Hàm số luôn đồng biến khi

n  0.

• Hàm số luôn nghịch biến

khi n  0

• Hàm số luôn đồng biến

trên khi a  1.

• Hàm số luôn nghịch biến

trên khi 0  a 1

• Hàm số đồng biến trên  0;  khi a  1
• Hàm số nghịch biến trên  0;  khi 0  a 1
• Với n  0 : Không có tiệm

cận.

• Với n  0 : TCN Ox , TCĐ

Oy.

TCN: Ox , TCĐ: không có,

đồ thị nằm hoàn toán phía

trên trục hoành.

TCN: không có, TCĐ: Oy ,

đồ thị nằm hoàn toàn bên

phải trục tung.

1 – TẬP XÁC ĐỊNH

2 – ĐẠO HÀM

3 – SỰ BIẾN THIÊN

4 – TIỆM CẬN

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT