SACHHOC
MỤC LỤCHàm số ..................................................................................................................................... 02Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit .................................................................. 19Nguyên hàm, tích phân .......................................................................................................... 29Số phức .................................................................................................................................... 46Khối đa diện ............................................................................................................................ 50Các khối tròn xoay ................................................................................................................. 57Phương pháp tọa độ trong không gian ................................................................................. 65Cuốn sổ tay gồm 80 trang, tổng hợp lại đầy đủ các dạng bài và công thức quan trọngcủa môn Toán lớp 12.
Đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng L
####### Cho
3 2 y f x m ; ax bx cx d a 0.
#######
2 y ' f ' x m; 3 ax 2 bx c có
2 ' b 3 ac.
Bước 1: Tính y '.
Tìm điều kiện để hàm số có
khoảng đồng biến và nghịch
biến:
0 1 ' 0
a
.
Bước 2: Biến đổi x 1 x 2 L
2
1 2
2 1 2 41 2
x x L
x x x x L
Vậy
2 2 S 4 P L 2.
Bước 3: Sử dụng định lí Vi-ét
đưa [2] về phương trình theo
m.
Giải phương trình, so sánh với
điều kiện [1] và kết luận.
Mở rộng hướng giải
####### Giả sử
2 y ' f ' x m; Ax Bx C A 0.
x 1 x 2 Lvới 1 , 2 2 2
B B x x A A
.
1 2
2
2 2 2
B B x x A A A A
.
Vậy
2 x 1 x 2 L 2 L A A
.
Lưu ý không lấy
dấu bằng
Riêng đối với hàm
ax b y cx d
Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức
ax b y cx d
là
2
'
ad bc y
cx d
Đồng biến hoặc nghịch biến
trên các khoảng xác định
ad bc 0 hoặc
ad bc 0
Phương pháp chung:
- Tính y '. Để hàm số đồng biến [nghịch biến] trên a b ; thìy ' 0 x a b; [y ' 0 x a b; ] và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
- Cô lập m , đưa về dạng:
;
; max a b
####### m g x x a b m g x ,
#######
;
; min a b
m g x x a b m g x
- Lập BBT hàm số g x trên a b ; và kết luận.
ad bc 0 hoặc
ad bc 0
+ ;
d
c
[tức là hoặc
d
c
hoặc
d
c
]
Đơn điệu trên a b ;
Đồng biến hoặc nghịch biến
####### trên các khoảng ;
CỰC TRỊ
Phương pháp
tìm cực trị
1 Tìm tập xác định cùa hàm số
2
Tính y ', giải phương trình y ' 0 và xác định các điểm mà y 'không xác định
3 Lập bảng xét dấu y 'và xác định các điểm cực trị là điểm mà qua đó y 'đổi dấu
Note: Chỉ cần y 'đổi
dấu, không cần y ' 0
CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC
HÀM ĐA THỨC BẬC BA
3 2 y ax bx cx d a 0
- Đạo hàm:
2 y ' 3 ax 2 bx c.
- Điều kiện để hàm số có cực trị:
2 b 3 ac 0.
- Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:
2
3 3 9
b bc y c x d a a
HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG
4 2 y ax bx c a 0
- Đạo hàm:
3 y ' 4 ax 2 bx.
- Điều kiện để hàm số có 3 cực trị: ab 0 , có 1 cực trị: ab 0.
- Hàm số có 1 cực tiểu + 2 cực đại: a 0, b 0.
- Hàm số có 2 cực tiểu + 1 cực đại: a 0, b 0
- Hàm số chỉ có 1 cực trị là cực đại: a 0, b 0.
- Hàm số chỉ có 1 cực trị là cực tiểu: a 0, b 0.
Điều kiện cần và đủ để x 0 là điểm cực đại
của hàm số y f x:
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
Điều kiện cần và đủ đểx 0 là điểm cực
tiểu của hàm số y f x:
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
Tìm số điểm cực trị thông qua đạo hàm đã cho
Nếu thoả mãn pt f ' x 0 thì là nghiệm bội lẻ
####### ' 1 2
m n f x x x x x
+m n , lẻ: x 1 ,x 2 là những điểm cực trị
+m n , chẵn : x 1 ,x 2 không là cực trị
####### Tìm số điểm cực trị thông qua đồ thị hàm số y f x
Quan sát điểm cực trị thoả mãn các dấu hiệu:
Đạo hàm y 'phải đổi dấu khi qua nó
Tại các điểm cực trị, y 'có thể bằng 0 hoặc
không xác định nhưng y phải xác định.
Hàm số thay đổi chiều hướng mũi tên khi qua nó
Đồ thị hàm số “lồi lên hoặc lõm xuống” tại các
điểm cực trị.
####### Tìm số điểm cực trị thông qua đồ thị hàm số y f ' x
Quan sát điểm cực trị thoả mãn các dấu hiệu:
Là giao điểm của đồ thị f ' x với trục hoành Ox y f ' xđổi dấu khi qua các điểm đó hay tại đóđồ thị f ' x nằm về cả hai phía mặt phẳng bờ Ox Không tính điểm mà tại đó f ' x tiếp xúc Ox
Tại điểm đồ thị hàm số đi từ miền âm lên dương là điểm
cực tiểu, đi từ miền dương xuống âm là điểm cực đại.
CỰC TRỊ CỦA MỘT SỐ HÀM KHÁC
2 ax bx c T x y mx n M x
với 0, 0
n am T m
.
Hàm số có 2 điểm cực trị: a T. x 0 0. Hàm số không có cực trị: a T. x 0 0.
Chú ý:
0; 0
n am T m
hàm số suy
biến và không có cực trị.
Với
2 ax bx c y mx n
- Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương
trình:
2 ' 2
'
ax bx c ax b y mx n m
[2] 1 2 1 2
2 CD CT
a b y y y y x x m m
.
[3] 1 2 1 2
2 CD CT
a y y y y x x m
.
[4]
2 1 2 1 2
2 2 4 CD. CT. .
ax b ax b b ac y y y y m m m
.
Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất:
ax b y cx d
Hàm phân thức bậc không có cực trị.
hai trên bậc nhất
####### Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thoả mãn điều kiện cho trước: Cho hàm số
3 2 f x m , ax bx cx d a 0
Cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Bước 1: TXĐ: D R
2
2
y ' 3 ax 2 bx c
Ax Bx C
Bước 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu
2 1 '
0 0
' y 0 3
A a m D b ac
Bước 3: Gọi x 1 ;x 2 là hai nghiệm của PT.
Khi đó, theo ĐL Vi-et:
1 2 1 2
2 ;. 3 3
B b C c S x x P x x A a A a
Bước 4: Biến đổi hệ thức đề bài về dạng
chứa S P ;. Từ đó giải tìm được m D 2
Bước 5: Kết luận m D 1 D 2 thoả mãn
yêu cầu bài toán.
Điều kiện để hai điểm
cực trị lớn hơn hoặc
nhỏ hơn
Khi đó PT y ' 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 ;x 2 thoả mãn:
-
2 x 1 x 2 x 1 x 2 0 x x 1 2 x 1 x 2 0
-
1 2 1 2 1 2
2
0
x x x x x x
1 2 1 2 1 2
2
0
x x x x x x
- 2 nghiệm cùng âm: 0; P 0; S 0
Hay
gặp
ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Khái niệm
Đường thẳng y y 0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị y f xnếu ít nhất 1trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim 0
x
f x y
, lim 0
x
f x y
Đường thẳng x x 0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị y f xnếu ít nhất 1
####### trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
0
lim x x
f x
####### ,
0
lim x x
f x
Nên sử dụng máy tính cầm tay để tính giới hạn.
Đường tiệm cận đứng của đồ thị là nghiệm của
mẫu số không bị triệt tiêu bởi nghiệm của tử số [không
triệt tiêu hết khác với trùng].
Giải nhanh:
Đồ thị hàm số
ax b y ad bc cx d
có tiệm cận ngang
a y c
và tiệm cận đứng
d x c
.
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Các bước khảo sát
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2: Sự biến thiên:
- Xét sự biến thiên [tính đạo hàm, tìm các điểm mà y ' 0 hoặc không xác định, xét dấu đạo hàm]
- Tìm cực trị.
- Tính các giới hạn tại vô cực, tìm các đường tiệm cận [nếu có].
- Lập BBT.
Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm phân thức bậc nhất
Hàm số y f xcó đồ thị C .
Với sốa 0
Hàm số y f x a có đồ thị C 'là tịnh tiến C theo phương của Oy lên trên a đơn vị.Hàm số y f x a có đồ thị C 'là tịnh tiến C theo
phương của Oy xuống dưới a
đơn vị.
Hàm số y f x acó đồ thị C 'là tịnh tiến C theo phương của Ox qua phải a đơn vị.Hàm số y f xcó đồ thị
C ' là đối xứng C qua Ox.
Hàm số y f x acó đồ thị C 'là tịnh tiến C theo phương của Ox qua trái a đơn vị.Hàm số y f xcó đồ thị C ' là đối xứng C qua Oy.
- Giao điểm của hai đồ thị
Để tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên giải
phương trình f x g x .Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của hai
đồ thị.
- Sự tiếp xúc của hai đường cong
hệ phương trình
' '
f x g x
f x g x
có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ
tiếp điểm của hai đường cong đó.
Biến đổi đồ thị
chứa dấu GTTĐ
Bài toán tương
giao
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C :y f xbiết tiếp tuyến đồ thị đi qua điểm A x A ; yA.
Phương pháp:
Cách 1:
Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A x A ; yA hệ số góc k có dạng:d : y k x x A yA *Bước 2: d là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: '
f x k x x A yA
f x k
Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình * , ta được tiếp tuyến cần tuyến.
Cách 2:
Bước 1: Gọi M x 0 ;f x 0 là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyếnk y ' x 0 f ' x 0 theox 0.
Bước 2: PTTTd : y y ' x 0 . x x 0 y 0 ** .Điểm A x A ;y A d nên yA y ' x 0 . x A x 0 y 0 giải phương trình này ta tìm được x 0.Bước 3: Thế x 0 vào ** ta được tiếp tuyến cần tìm.
Chú ý: Ta có thể sử dụng máy tính thay các đáp án:
Cho f x bằng kết quả các đáp án. Vào MODE 5 4 nhập hệ số phương trình.
Thông thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ hơn số bậc của phương trình là 1 thì ta chọn đáp án đó.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số C 1 :y f xvà C 2 : y g x.
Phương pháp:
Bước 1: Gọi d là tiếp tuyến chung của C 1 , C 2 và x 0 là hoành độ tiếp điểm của d và C 1 thìd :y f ' x 0 . x x 0 f x 0 ***Bước 2: Dùng điều kiện tiếp xúc của d và C 2 ,tìm được x 0. Thế x 0 vào *** ta được tiếp tuyến cần tìm.
Hàm lũy thừa
n
y x Hàm mũ 0 1
x y a a Hàm lôgarit
y log ax 0 a 1
- Với n nguyên dương:
D .
- Với n
hoặcn 0 :
D \ 0
- Với n không nguyên: D 0;Tập xác định D . Tập xác địnhD 0; .
1 '
n n x nx
Đạo hàm hàm hợp:
' 1 .
n n u nu u
' ln
x x a a a
Đạo hàm hàm hợp:
' .ln . '
u u a a a u
1 log ' ln
a x x a
Đạo hàm hàm hợp:
' log ' .ln
a
u u u a
- Hàm số luôn đồng biến khi
n 0.
- Hàm số luôn nghịch biến
khi n 0
- Hàm số luôn đồng biến
trên khi a 1.
- Hàm số luôn nghịch biến
trên khi 0 a 1
- Hàm số đồng biến trên 0; khi a 1
- Hàm số nghịch biến trên 0; khi 0 a 1
- Với n 0 : Không có tiệm
cận.
- Với n 0 : TCN Ox , TCĐ
Oy.
TCN: Ox , TCĐ: không có,
đồ thị nằm hoàn toán phía
trên trục hoành.
TCN: không có, TCĐ: Oy ,
đồ thị nằm hoàn toàn bên
phải trục tung.
1 – TẬP XÁC ĐỊNH
2 – ĐẠO HÀM
3 – SỰ BIẾN THIÊN
4 – TIỆM CẬN