Tài liệu gồm 103 trang hướng dẫn giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn, các dạng toán liên quan đến phương trình bậc hai và các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai. Tài liệu được biên soạn bởi tác giả Nguyễn Tiến.
Nội dung tài liệu:
- PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1. Nhắc lại về giải phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Kiến thức chung về phương trình bậc hai một ẩn. 3. Các dạng bài tập:
- Phương trình không chứa tham số. + Xác định phương trình bậc hai và các hệ số của phương trình bậc hai. + Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát ax^2 + bx + c = 0. + Giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c. + Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm. + Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm.
- Phương trình chứa tham số – giải phương trình bậc hai và bài toán phụ. + Giải và biện luận phương trình. + Tìm giá trị tham số của phương trình để phương trình có nghiệm thoả mãn một điều kiện cho trước. + Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị tham số của phương trình. + Lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 sao cho x1, x2 độc lập đối giá trị tham số của phương trình. + Tìm giá trị tham số của phương trình thoả mãn biểu thức chứa nghiệm. + Tìm điều kiện của giá trị tham số của phương trình để biểu thức liên hệ giữa các nghiệm lớn nhất, nhỏ nhất. + Tìm công thức tổng quát của phương trình khi biết một nghiệm, tính nghiệm còn lại. [ads]
- Phương trình bậc cao – phương trình quy về phương trình bậc hai. + Phương trình trùng phương. + Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức. + Phương trình tích.
- Giải phương trình bậc cao bằng phương pháp đặt ẩn phụ. + Dạng 1: Phương trình đối xứng [phương trình hồi quy]. + Dạng 2: Phương trình: [x + a][x + b][x + c][x + d] = e, trong đó a + b = c + d. + Dạng 3: Phương trình [x + a][x + b][x + c][x + d] = ex^2, trong đó ab = cd. + Dạng 4: Phương trình [x + a]^4 + [x + b]^4 = c. + Dạng 5: Phương trình chứa mẫu số là phương trình bậc hai. II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – PHỨC TẠP + Phương trình có ẩn ở trong dấu giá trị tuyệt đối. + Phương trình có chứa căn thức. + Phương pháp đặt ẩn số phụ. + Áp dụng bất đẳng thức. + Phương trình chứa nhiều căn bậc lẻ. + Phương trình chứa cả căn bậc chẵn và căn bậc lẻ.
- Hàm Số - Đồ Thị Và Ứng Dụng
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng gì? Cách giải của chúng như thế nào? Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu nhé!
Định nghĩa
Phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 được gọi là phương trình bậc hai có một ẩn.
Trong đó, biến x được gọi là ẩn số, a, b, c là những số biết trước gọi là các hệ số và thường luôn khác 0 [vì khi a = 0 thì phương trình trên sẽ trở về dạng phương trình bậc nhất một ẩn].
Lưu ý:
Khi giải phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0:
Nếu b = 0, ta có ax2 + c = 0 [a ≠ 0] gọi là phương trình bậc hai khuyết b.
Nếu c = 0, ta có ax2 + bx = 0 [a ≠ 0] gọi là phương trình bậc hai khuyết c.
Định nghĩa về phương trình bậc hai một ẩn
Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là phương trình bậc hai một ẩn, hãy chỉ ra đâu là ẩn, đâu là hệ số.
- 3x2 + 24x – 160 = 0
- -5x2 + 75 = 0
Lời giải:
- Ta có phương trình: 3x2 + 24x – 160 = 0 là một phương trình bậc hai một ẩn.
Với ẩn x, các hệ số: a = 3; b = 24; c = -160.
- Ta có phương trình: -5x2 + 75 = 0 là một phương trình bậc hai một ẩn.
Với ẩn x, các hệ số: a = -5; b = 0; c = 75.
Ví dụ 2: Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + bx + c = 0 rồi chỉ rõ các hệ số a, b, c của phương trình ấy.
- 5x2 – 3x = 10x + 100
- x2 = 900
Lời giải:
- 5x2 – 3x = 10x + 100
Ta có: 5x2 – 3x = 10x + 100
⇔ 5x2 – 13x -100 = 0
Phương trình bậc hai ẩn x với các hệ số là: a = 5; b = -13; c = -100.
- x2 = 100
Ta có: x2 = 100
⇔ x2 – 100 = 0
Phương trình bậc hai ẩn x với hệ số là: a = 1; b = 0; c = -100.
Các phương pháp giải bài toán phương trình bậc hai một ẩn
Về có bản các có 4 dạng bài toán giải phương trình bậc hai là: dạng phương trình bậc hai một ẩn không khuyết, dạng khuyết hệ số b, dạng khuyết hệ số c và giải bài toán bằng cách lập phương trình. Phương pháp giải các dạng bài cụ thể như sau:
Phương trình bậc hai một ẩn không khuyết
Phương trình bậc hai một ẩn dạng đầy đủ: ax2 + bx + c = 0 [với a ≠ 0]
Với dạng phương trình đầy đủ này, ta có hai phương pháp giải như sau:
Phương pháp 1: Biến đổi phương trình ban đầu về dạng: a[x + m]2 = n.
Phương pháp 2: Biến đổi phương trình ban đầu về dạng phương trình tích: a[x + m][x + n] = 0.
Ví dụ: Thêm bớt các đại lượng thích hợp để giải các phương trình dưới đây:
- x2 + 6x = -8
- x2 + x = 7
Lời giải:
- x2 + 6x = -8
Ta có: x2 + 6x = -8
⇔ x2 + 6x + 9 = -8 + 9
⇔ [x + 3]2 = 1
⇔ x + 3 = 1 hoặc x + 3 = -1
⇔ x = -2 hoặc x = -4
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm là x = -2; x = -4.
- x2 + x = 7
⇔ x2 + 2.½.x + ¼ = 7 + ¼
⇔ [x + ½]2 = 29/4
⇔ x + ½ = √29/2 hoặc x + ½ = -√29/2
⇔ x = [-1 + √29]/2 hoặc x = [-1 – √29]/2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = [-1 + √29]/2 hoặc x = [-1 – √29]/2.
Phương trình bậc hai một ẩn có b = 0
Phương trình bậc hai một ẩn khuyết b có dạng: ax2 + c = 0 [a ≠ 0]
Biến đổi phương trình trên ta được: x2 = -c/a
Nếu -c/a ≥ 0 thì phương trình đã cho có nghiệm: x = √-c/a hoặc x = -√-ca.
Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình sau: 2x2 – 3 = 0
Lời giải:
Ta có: 2x2 – 3 = 0
⇔ x2 = 3/2
⇔ x = √3/2 hoặc x = -√3/2.
Vậy phương trình đã ch có hai nghiệm x = √3/2 và x = -√3/2.
Các phương pháp giải bài toán phương trình bậc hai một ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn có c = 0
Phương trình bậc hai một ẩn khuyết c có dạng: ax2 + bx = 0 [a ≠ 0]
Biến đổi phương trình đã cho ta được phương trình: x[ax + b] = 0
⇔ x = 0 hoặc ax + b = 0
⇔ x = 0 hoặc x = -b/a.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là: x = 0 và x = -b/a.
Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình sau: x2 – 3x = 0.
Lời giải:
Ta có: x2 – 3x = 0
⇔ x[x – 3] = 0
⇔ x = 0 hoặc x – 3 = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 3
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm là: x1 = 0 và x2 = 3.
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Phương trình: Để giải các bài toán bằng cách lập phương trình, ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Lập phương trình
Gọi ẩn và đặt điều kiện tùy theo đề bài.
Biểu diễn các đại lượng khác của bài toán theo ẩn vừa gọi.
Dựa vào bài toán đề bài, lập phương trình theo dạng đã học.
Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình vừa lập.
Bước 3: So sánh kết quả vừa tìm được và chọn nghiệm thích hợp.
Ví dụ 1: Bạn Thu đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km trong thời gian đã dự định. Sau 1 giờ, Thu nghỉ 10 phút, do đó để Thu đến B đúng hẹn nên phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc ban đầu của Thu.
Lời giải:
Giả sử ban đầu Thu đi với vận tốc là x [km/h].
Điều kiện: x > 0.
Thời gian dự định đến địa điểm B là: 120/x [h]
Quãng đường Thu đi được sau 1 giờ là x [km]
\=> Độ dài quãng đường còn lại mà Thu phải đi là: 120 – x [km]
Thời gian đi quãng đường còn lại là: [120 – x]/[x + 6] [h]
Ta có phương trình: 120/x = 1 + 10/60 + [120 – x]/[x + 6].
⇔ x2 + 42x – 4320 = 0
⇔ x = 48 hoặc x = -90
Vì điều kiện là x > 0 nên ta loại giá trị x = -90.
Vậy vận tốc ban đầu của Thu là 48 km/h.
Ví dụ 2: Tính diện tích của tam giác vuông biết cạnh huyền có độ dài là 15 cm và tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 21 cm.
Lời giải:
Gọi 1 cạnh góc vuông của tam giác có độ dài là: x [cm]
Điều kiện: x > 0
\=> Cạnh góc vuông còn lại có độ dài là: 21 – x [cm]
Theo đề bài, ta có:
152 = x2 + [21 – x]2
⇔ x2 – 21x + 108 = 0
⇔ x = 9 hoặc x = 12
Vì cả hai giá trị trên đều thỏa mãn điều kiện x > 0 nên độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 9 cm và 12 cm.
Vậy diện tích tam giác vuông là: S = ½.9.12 = 54 [cm2].
Ví dụ 3: Tích hai số chẵn liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 322. Tìm hai số đó.
Lời giải:
Gọi số nhỏ là x
Điều kiện: x > 0 và x thuộc N
\=> Số còn lại là: x + 2
Theo đề bài ta có: x[x + 2] – [x + [x + 2]] = 322
⇔ x2 + 2x – 2x – 2 = 322
⇔ x2 = 324
⇔ x = 18 hoặc x = -18
Vì điều kiện là x > 0 và x thuộc N nên ta loại giá trị x = -18
Vậy 18 và 20 là hai số cần tìm.
Ví dụ 4: Một đội công nhân hoàn thành công việc gồm 420 sản phẩm. Số ngày làm việc sẽ giảm bớt đi 7 ngày nếu đội tăng thêm 5 người. Tìm số công nhân của đội.
Lời giải:
Gọi số công nhân là x [người]
Điều kiện: x > 0 và x thuộc N
Số ngày hoàn thành công việc với x người là: 420/x [ngày]
Số công nhân của đội sau khi tăng thêm là: x + 5 [người]
Số ngày hoàn thành sau khi tăng thêm người là: 420/[x + 5] [ngày]
Ta có phương trình sau: 420/x – 420/[x + 5] = 7
⇔ 420[x + 5] – 420x = 7x[x + 5]
⇔ 420x + 2100 – 420x = 7x2 + 35x
⇔ 7x2 + 35x – 2100 = 0
⇔ x = 15 hoặc x = -20
Vì điều điện là x > 0 và x thuộc N nên ta loại giá trị x = -20
Vậy đội công nhân đó có 15 người.
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Tham khảo thêm:
Tạm kết
Bài viết đã cung cấp một cách chi tiết các kiến thức liên quan đến dạng bài phương trình bậc hai một ẩn. Hy vọng qua bài viết các bạn có thể nắm chắc các kiến thức lý thuyết và vận dụng giải các bài tập một cách dễ dàng. Chúc các bạn luôn học tốt và hãy thường xuyên theo dõi các bài viết mới của Cmath để củng cố kiến thức cho mình.