I. Các kiến thức cần nhớ
1. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Trên hình vẽ trên, $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$ Ta cũng nói: $A$ đối xứng với $B$ qua $d.$
Nhận xét:
Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Trên hình, điểm $O$ là giao điểm các đường trung trực của \[\Delta ABC.\] Ta có \[OA = OB = OC.\] Điểm $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ABC.\]
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng
Phương pháp:
Để chúng minh \[d\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\], ta chứng minh \[d\] chứa hai điểm cách đều \[A\] và \[B\] hoặc dùng định nghĩa đường trung trực.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Phương pháp:
Ta sử dụng định lý: “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.”
Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất
Phương pháp:
- Sử dụng tính chất đường trung trực để thay độ dài một đoạn thẳng thành độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó.
- Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất.
Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Phương pháp:
Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực của tam giác
Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Dạng 5: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác cân
Phương pháp:
Chú ý rằng trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến , đường phân giác ứng với cạnh đáy này.
Dạng 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác vuông
Phương pháp:
Ta chú ý rằng: Trong tam giác vuông, giao điểm các đường trung trực là trung điểm cạnh huyền
Đường trung trực là một đường nằm trong tam giác. Nó có liên hệ với nhiều đường khác như trung tuyến, đường cao,… Chứng minh đường trung trực là một dạng toán giúp học sinh hiểu rõ hơn về tính chất, ứng dụng của loại đường này trong bài tập. Dưới đây là một số những điều cần biết về đường này.
Thông báo: Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!
Đường trung trực của một cạnh được định nghĩa là đường đi qua trung điểm và vuông góc với cạnh đó tại trung điểm của nó. Như vậy, trong tam giác ta sẽ có 3 đường trung trực ứng với 3 cạnh của tam giác.
Về tính chất, tất cả các điểm trên đường trung trực đều cách đều 2 đầu mút của cạnh tương ứng. Như vậy, nếu trong tam giác thì trung trực sẽ cách đều 3 đỉnh. Vậy, điểm giao giữa 3 đường trung trực của 1 tam giác chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Hay điểm đó gọi là trực tâm.
Các cách chứng minh đường trung trực
Với dạng toán chứng minh đường trung trực, học sinh rất hay gặp trong chương trình cơ bản hình học Toán 7. Nó cũng có cả trong chương trình nâng cao với nhiều dạng toán hay và thú vị. Trong phần này chúng tôi sẽ liệt kê những cách để chứng minh chúng như sau. Nếu muốn chứng tỏ đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng AB ta có:
- Chứng minh d vuông góc với AB tại trung điểm của AB
- Chứng minh có 2 điểm trên d cách đều 2 điểm A và B
- Vận dụng tính chất đường cao, đường trung tuyến trong tam giác cân
- Vận dụng tính chất đối xứng qua trục của 2 điểm A và B
- Sử dụng tính chất nối tâm của hai điểm nằm trong đường tròn
Đây là 5 cách chứng minh cơ bản được sử dụng để giải quyết bài toán chứng minh. Các bạn hãy tham khảo tài liệu của chúng tôi để có thêm nhiều thông tin nhé!
Bài tập ví dụ về đường trung trực
Ví dụ 1
Cho hình bình hành ABCD có H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ đỉnh A, C xuống BD. Chứng minh AHCK là hình bình hành
Bài giải
Ta có ABCD là hình bình hành
Suy ra AD = BC và AB = CD
Suy ra tam giác ABD = tam giác CDB [chung cạnh BD]
Suy ra AH = CK [Hai cạnh tương ứng bằng nhau] [1]
Ta lại có AH và CK cùng vuông góc với BD
Có thể bạn quan tâm: Trọng tâm là gì? Tính chất của ba đường trung tuyến
Suy ra AH và CK song song với nhau [2]
Từ [1] và [2] suy ra AH và CK vừa song song vừa bằng nhau
Suy ra AHCK là hình bình hành [đpcm]
Ví dụ 2
Cho góc xOy bằng 60, điểm M nằm trong góc xOy. Vẽ điểm N sao cho Ox là đường trung trực của MN. Vẽ điểm P sao cho Oy là đường trung trực của MP.
a, Chứng minh rằng ON = OP
b, Tính số đo của góc NOP
Bài giải
a,
Ta có Ox là đường trung trực của MN
Suy ra tam giác MON cân tại O
Suy ra ON = OM [1]
Ta lại có Oy là đường trung trực của MP
Suy ra tam giác MOP cân tại O
Suy ra OP = OM [2]
Từ [1] và [2], ta có: ON = OP [điều phải chứng minh]
b,
Gọi giao của Ox với MN là I và giao của Oy với MP là J
Ta có tam giác MON cân tại O và có OI là đường trung trực
Suy ra MOI = NOI
Tương tự ta có tam giác MOP cân tại O và có OJ là đường trung trực
Suy ra MOJ = POJ
Ta lại có góc xOy = 60 hay góc IOJ = 60
Mà góc IOJ = góc IOM + góc MOJ
Suy ra góc NOP = MOI + NOI + MOJ + POJ = 2IOJ = 120
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Sưu tầm: Trần Thị Nhung
Các câu hỏi tương tự
Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là một tam giác cân.
Đường trung trực là khái niệm toán học mà học sinh được tìm hiểu trong chương trình trung học, xuất hiện trong rất nhiều các bài tập toán vì vậy nắm vững lý thuyết và cách giải các dạng bài tập cực kỳ quan trọng. Sau đây babelgraph.org cung cấp những kiến thức về cách chứng minh đường trung trực dễ hiểu nhất.
Đường trung trực là gì?
Đường trung trực của đoạn thẳng có thể hiểu đơn giản là đường vuông góc với một đoạn thẳng ngay tại trung điểm đoạn thẳng đó.
Vậy đường trung trực có những tính chất nào?
Tính chất
Tính chất đường trung trực của một tam giác, hoặc tam giác vuông. Mời các em cùng theo dõi.
Tính chất 1
Ở tam giác cân, đường trung trực tại cạnh đáy cũng tương ứng với đường trung trực tuyến.
Tính chất 2
Trong 1 tam giác, khi 3 đường trung trực cùng đi qua một điểm thì điểm này sẽ cách đều 3 đỉnh của tam giác.
Trường hợp với tam giác vuông thì trung điểm cạnh huyền cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Cách chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng
Chúng ta có 5 phương pháp chứng minh d là trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp 1: Chúng ta phải chứng minh rằng d ⊥ AB tại ngay trung điểm của AB.
Phương pháp 2: Chứng minh rằng 2 điểm trên trên d cách đều 2 điểm A và B.
Phương pháp 3: Dùng tính chất đường trung tuyến, đường cao.
Phương pháp 4: áp dụng tính chất đối xứng của trục.
Phương pháp 5: áp dụng tính chất đoạn nối tâm của 2 đường tròn cắt nhau ở 2 điểm.
Các dạng bài tập chứng minh đường trung trực
Chứng minh đường trung trực có nhiều yêu cầu khác nhau nhưng về cơ bản sẽ gồm có 5 dạng cơ bản. Học sinh cần ghi nhớ các dạng và cách giải nhằm đưa ra cách giải quyết cho một bài toán liên quan đến đường trung trực nhanh chóng nhất.
Dạng 1: Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng bằng nhau.
Cách giải: Áp dụng định lý khi 1 điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì sẽ sẽ cách đều 2 đầu đoạn thẳng.
Dạng 2: Chứng minh d là đường trung trực của A B [cơ bản]
Chứng minh d là đường trung trực của A B dạng toán cơ bản và thường gặp trong nhiều bài kiểm tra.
Cách giải: Hãy chứng minh rằng d có các điểm mà các điểm này cách đều A và B.
Dạng 3: Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Cách giải: áp dụng tính chất giao điểm đường trung trực của tam giác.
Dạng 4: Đường trung trực trong tam giác cân.
Cách giải: Chúng ta phải hiểu rằng đối với tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy cũng là đường trung tuyến tương ứng với cạnh đấy đó.
Dạng 5: tìm giá trị nhỏ nhất.
Cách giải: áp dụng định lý bất đẳng thức trong tam giác.
Bài tập
Bài 1. Biết AM là trung tuyến của tam giác ABC, với AM=9cm, trọng tâm G. Hãy tìm độ dài đoạn thẳng AG?
Giải:
AM là trung tuyến của tam giác ABC với G trọng tâm nên:
=> Độ dài đoạn thẳng AG = 6cm.
Bài 2: Trong tam giác vuông ABC với cạnh góc vuông AB = 3cm, cạnh AC = 4cm. Hãy đi tìm khoảng cách từ đỉnh A đến trọng tâm G.
Giải: M là trung điểm của đoạn thẳng BC
=> AM sẽ là trung tuyến ứng với cạnh huyền. Bằng 1/2 cạnh huyền nên AM=1/2 BC.
Do G là trọng tâm nên AG = 2/3 AM = 2/3 x 2.5 =1.7 cm.
Suy ra độ dài đoạn thẳng AG = 1.7 cm.
Xem thêm: Cách tìm bội chung nhỏ nhất
Như vậy chúng ta vừa tìm hiểu về thế nào là đường trung trực, cách tính chất, cách chứng minh đường trung trực của tam giác và các dạng toán liên quan đến đường trung trực thường gặp nhất.
Chúc các em học tốt!