Cùng THPT Sóc Trăng tìm hiểu Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng – Toán 10 chuyên đề
Vậy cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng như thế nào? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây và cùng xem các bài tập và ví dụ minh họa để hiểu rõ nhé.
Các em có thể xem lại nội dung phương trình tổng quát, phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng nếu các em chưa nhớ rõ phần kiến thức này.
Bạn đang xem: Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng – Toán 10 chuyên đề
° Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng
• Cách giải 1:
* Giải sử cần tìm điểm M’ đối xứng với M qua [d], ta làm như sau:
– Tìm hình chiếu H của M lên [d]. [xem ngay cách tìm hình chiếu của một điểm lên đường thẳng].
– M’ đối xứng với M qua [d] nên M’ đối xứng với M qua H [khi đó H là trung điểm của M và M’].
• Cách giải 2:
– Gọi M’ là điểm đối xứng của M[x;y] qua d: ax + by + c = 0 và H là trung điểm của MM’ thì điều kiện:
Và
– Giải hệ từ [1] và [2] ta suy ra tọa độ điểm M’
* Ví dụ 1: Tìm điểm của điểm M’ đối xứng với M[3;-1] qua đường thẳng [d] có phương trình: x + 2y – 6 = 0
* Lời giải:
¤ Đầu tiên ta tìm hình chiếu H của M[3;-1] lên [d].
– Gọi [d’] là đường thẳng đi qua M và vuông góc với [d]
– Vì [d] có phương trình: x + 2y – 6 = 0 nên VTPT của [d] là:
– Lại có [d’] ⊥ [d] nên [d’] nhận VTPT của [d] là VTCP ⇒
– Phương trình đường thẳng [d’] qua M[3;-1] có VTCP
– Vì H là hình chiếu của M thì H là giao điểm của [d] và [d’] nên có:
Thay x,y từ [d’] và phương trình [d], ta có:
[3+t] + 2[-1+2t] – 6 = 0
⇔ 5t – 5 = 0 ⇔ t =1
⇒ x = 4, y = 1 là toạ độ điểm H.
Vậy tọa độ H[4;1]
¤ Khi đó H là trung điểm của M[3;-1] và M'[xM’;yM‘], ta có:
⇒ xM’ = 2xH – xM = 2.4 – 3 = 5
⇒ yM’ = 2yH – yM = 2.1 – [-1] = 3
⇒ Điểm M'[5;3] là điểm đối xứng của M[3;-1] lên [d]: x + 2y – 6 = 0
* Ví dụ 2: Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M[2;3] qua đường thẳng d: y = x.
* Lời giải:
– Gọi M'[x;y] là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MM’
Khi đó M, M’ đối xứng nhau qua d: x – y = 0 thì điều kiện là:
– Ta có:
;
Từ điều kiện trên ta có:
Vậy suy ra: M'[3;2]
Như vậy, tùy vào bài toán và cách nào các em cảm thấy mình vận dụng nhuần nhuyễn hơn, cách nào giúp em thấy dễ nhớ hơn thì các em có thể chọn làm theo để ghi nhớ thật kỹ nhé.
Theo THPT Sóc Trăngđánh giá, thì cách 2 vận dụng sẽ tốt hơn cách 1 và giúp bài giải của chúng ta ngắn gọn hơn.
>> xem ngay: Các dạng bài tập phương trình đường thẳng trong mặp phẳng Oxy
Hy vọng với bài viết Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng ở trên hữu ích cho các em. Mọi thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để THPT Sóc Trăng.Vn ghi nhận và hỗ trợ. Chúc các em học tập tốt!
Đăng bởi: THPT Sóc Trăng
Chuyên mục: Giáo Dục
Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng [thptsoctrang.edu.vn]
Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.
Phép đối xứng qua trục d kí hiệu là: Đ$_d$.
Như vậy Đ$_d[M]=M’ \Leftrightarrow \vec{M_0M’}=-\vec{M_0M}$ với $M_0$ là hình chiếu của điểm M trên d.
Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình [H] nếu phép đối xứng trục Đ$_d$ biến hình [H] thành chính nó. Khi đó [H] được gọi là hình có trục đối xứng.
Xem thêm bài giảng:
Tính chất của phép đối xứng trục
Phép đối xứng trục:
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
- Biến một đường thẳng thành một đường thẳng
- Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
- Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm $M[x;y]$ và điểm $M'[x’;y’]$ là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d.
+. Nếu trục đối xứng d là trục Ox thì: $\left\{\begin{array}{ll}x’=x\\y’=-y\end{array}\right.$
+. Nếu trục đối xứng d là trục Oy thì: $\left\{\begin{array}{ll}x’=-x\\y’=y\end{array}\right.$
+. Nếu trục đối xứng d là một đường thẳng bất kì thì các bạn làm như sau:
- Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d
- Tìm giao điểm $M_0$ của đường thẳng d’ và đường thẳng d
- $M’$ chính là điểm đối xứng của điểm M qua điểm $M_0$.
Nếu bạn nào không nhớ cách viết phương trình đường thẳng và cách tìm điểm đối xứng thì có thể xem hai bài giảng dưới đây của thầy:
Bài tập tìm tọa độ điểm bằng phép đối xứng trục
Bài tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $M[3;-5]$, đường thẳng d có phương trình $3x+2y-12=0$. Tìm ảnh của điểm M qua:
a. Phép đối xứng trục Ox
b. Phép đối xứng trục Oy
c. Phép đối xứng qua đường thẳng d.
Hướng dẫn:
Gọi $M'[x’;y’]$ là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục.
a. Qua phép đối xứng trục Ox thì biểu thức tọa độ là:
$\left\{\begin{array}{ll}x’=x\\y’=-y\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=3\\y’=5\end{array}\right.$
Vậy ảnh của M là điểm M’ có tọa độ là: $M'[3;5]$
b. Qua phép đối xứng trục Oy thì biểu thức tọa độ là:
$\left\{\begin{array}{ll}x’=-x\\y’=y\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=-3\\y’=-5\end{array}\right.$
Vậy ảnh của M là điểm M’ có tọa độ là: $M'[-3;-5]$
c. Gọi d’ là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. Khi đó đường thẳng d’ sẽ nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng d làm vectơ chỉ phương.
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là: $\vec{n}[3;2]$
Suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng d’ là: $\vec{u}[3;2]$
Phương trình tham số của đường thẳng d’ là: $\left\{\begin{array}{ll}x=3+3t\\y=-5+2t\end{array}\right.$
Gọi $M_0$ là giao điểm của đường thẳng d và d’, khi đó tọa độ của điểm $M_0$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{ll}x=3+3t\\y=-5+2t\\3x+2y-12=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=3+3t\\y=-5+2t\\3[3+3t]+2[-5+2t]-12=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=6\\y=-3\\t=1\end{array}\right.$
Vậy tọa độ của điểm $M_0$ là: $M_0[6;-3]$
Vì M’ là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục là đường thẳng d nên M’ là điểm đối xứng với điểm M qua điểm $M_0$ hay $M_0$ là trung điểm của MM’.
Ta có biểu thức tọa độ là:
$\left\{\begin{array}{ll}\frac{3+x’}{2}=6\\\frac{-5+y’}{2}=-3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=9\\y’=-1\end{array}\right.$
Vậy tọa độ của điểm M’ là: $M'[9;-1]$
Bài giảng trên giới thiệu với các bạn toàn bộ lý thuyết về phép đối xứng trục và cách tìm tọa độ điểm bằng phép đối xứng trục. Đây là dạng toán rất cơ bản và các bạn cần chú ý tới dạng tìm tọa độ điểm ảnh qua phép đối xứng trục là đường thẳng d bất kì [khác trục Ox và Oy].
Các bạn có thể xem thêm về những bài toán liên quan tới phép đối xứng trục qua hai bài giảng sau:
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ