Viblo Algorithm @viblo.algorithm
Theo dõi
7.4K 575 91
Đã đăng vào thg 12 20, 2021 6:13 SA 11 phút đọc
16.1K
3
4
Đếm ước của một số trong O[N^1/3]- Báo cáo
- Thêm vào series của tôi
I. Đặt vấn đề
Chắc hẳn, ai trong chúng ta cũng đã quá quen thuộc với bài toán đếm số ước nguyên dương của nnn. Giải thuật thông thường nhất mà mọi người thường sử dụng là giải thuật O[n],O[\sqrt{n}],O[n], dựa trên một nhận định rằng nếu như số nnn có một ước là i [1≤i≤n]i \ [1 \le i \le \sqrt{n}]i [1≤i≤n] thì nó cũng sẽ có một ước nữa là ni [n≤ni≤n]\frac{n}{i} \ \left[\sqrt{n} \le \frac{n}{i} \le n \right]in [n≤in≤n]. Bằng phương pháp này, chúng ta có thể giải quyết mọi bài toán với giới hạn nnn khoảng 101510^{15}1015 trở xuống [Các bạn xem lại trong chuyên đề Tìm các ước của một số nguyên].
Một phương pháp hay khác mà chúng ta cũng sử dụng là phân tích thừa số nguyên tố và đếm ước của nnn dựa trên phân tích nguyên tố của nó. Cách làm này có thể khiến thao tác đếm ước của số nnn giảm xuống độ phức tạp O[log[n]]O[\log[n]]O[log[n]] khi kết hợp với sàng lọc số nguyên tố, và thường được áp dụng trong các bài toán multi-testcase [các bạn xem lại trong chuyên đề Số nguyên tố]. Tuy nhiên, nhược điểm của phương pháp này là bạn buộc phải tạo ra được một mảng có độ dài nnn để đánh dấu các số nguyên tố, đồng nghĩa với việc nếu n≤109,n \le 10^9,n≤109, các bạn không thể sử dụng được nó.
Điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta cần đếm ước của một số nguyên dương n≤1018?n \le 10^{18}?n≤1018? Phân tích thừa số nguyên tố? Không thể, vì ta không thể sàng lọc được số nguyên tố ở giới hạn này. Vậy phân tích theo phương pháp O[n]O[\sqrt{n}]O[n] truyền thống thì sao? Cũng không thể, vì O[n]≈O[109],O[\sqrt{n}] \approx O[10^9],O[n]≈O[109], độ phức tạp này không đủ tốt. Khi đó, người ta sử dụng phương pháp đếm ước trong O[n13],O[n^{\frac{1}{3}}],O[n31], một phương pháp rất hiệu quả nhưng lại được ít người biết đến, có lẽ vì chúng ta không thường xuyên gặp phải những bài toán như vậy. Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ cùng nghiên cứu ý tưởng và cách cài đặt của phương pháp này bằng C++. Trước khi đọc bài viết, các bạn cần có kiến thức đầy đủ về sàng lọc số nguyên tố, đếm ước theo phương pháp thông thường cũng như kĩ năng code ở mức khá. Nếu chưa nắm được những kiến thức này, các bạn hãy quay lại nghiên cứu những chuyên đề cũ mà mình đã để link ở trên nhé!
II. Phương pháp đếm số ước của một số trong O[n13]O[n^{\frac{1}{3}}]O[n31]1. Phương pháp kiểm tra nguyên tố Fermat
Để sử dụng được giải thuật đếm ước trong O[n13],O[n^{\frac{1}{3}}],O[n31], trước tiên ta cần tìm hiểu về phương pháp của Fermat dùng để kiểm tra tính nguyên tố của một số. Đây là một phương pháp kiểm tra nguyên tố có tính xác suất, nghĩa là nó có thể xảy ra trường hợp sai, tuy nhiên, trong giải thuật này sự sai khác đó có thể chấp nhận được.
Ý tưởng: Phương pháp kiểm tra tính nguyên tố của Fermat được xây dựng dựa trên định lý Fermat nhỏ: Nếu nnn là một số nguyên tố, thì với mọi giá trị aaa sao cho 1≤a