\bold{\mathrm{Basic}} \bold{\alpha\beta\gamma} \bold{\mathrm{AB\Gamma}} \bold{\sin\cos} \bold{\ge\div\rightarrow} \bold{\overline{x}\space\mathbb{C}\forall} \bold{\sum\space\int\space\product} \bold{\begin{pmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{pmatrix}} \bold{H_{2}O}
\square^{2} x^{\square} \sqrt{\square} \nthroot[\msquare]{\square} \frac{\msquare}{\msquare} \log_{\msquare} \pi \theta \infty \int \frac{d}{dx} \ge \le \cdot \div x^{\circ} [\square] |\square| [f\:\circ\:g] f[x] \ln e^{\square} \left[\square\right]{'} \frac{\partial}{\partial x} \int_{\msquare}{\msquare} \lim \sum \sin \cos \tan \cot \csc \sec \alpha \beta \gamma \delta \zeta \eta \theta \iota \kappa \lambda \mu \nu \xi \pi \rho \sigma \tau \upsilon \phi \chi \psi \omega A B \Gamma \Delta E Z H \Theta K \Lambda M N \Xi \Pi P \Sigma T \Upsilon \Phi X \Psi \Omega \sin \cos \tan \cot \sec \csc \sinh \cosh \tanh \coth \sech \arcsin \arccos \arctan \arccot \arcsec \arccsc \arcsinh \arccosh \arctanh \arccoth \arcsech \begin{cases}\square\\\square\end{cases} \begin{cases}\square\\\square\\\square\end{cases} = \ne \div \cdot \times < > \le \ge [\square] [\square] ▭\:\longdivision{▭} \times \twostack{▭}{▭} + \twostack{▭}{▭} - \twostack{▭}{▭} \square! x^{\circ} \rightarrow \lfloor\square\rfloor \lceil\square\rceil \overline{\square} \vec{\square} \in \forall \notin \exist \mathbb{R} \mathbb{C} \mathbb{N} \mathbb{Z} \emptyset \vee \wedge \neg \oplus \cap \cup \square^{c} \subset \subsete \superset \supersete \int \int\int \int\int\int \int_{\square}{\square} \int_{\square}{\square}\int_{\square}{\square} \int_{\square}{\square}\int_{\square}{\square}\int_{\square}{\square} \sum \prod \lim \lim _{x\to \infty } \lim _{x\to 0+} \lim _{x\to 0-} \frac{d}{dx} \frac{d^2}{dx^2} \left[\square\right]{'} \left[\square\right]{''} \frac{\partial}{\partial x} [2\times2] [2\times3] [3\times3] [3\times2] [4\times2] [4\times3] [4\times4] [3\times4] [2\times4] [5\times5]
Nhập một Bài Toán
Lưu vào sổ tay!
Đăng nhập
Gửi phản hồi cho chúng tôi
Với A là một ma trận vuông và f [x] là một đa thức bậc n, n n 1 f [x] a xn a n 1 x a x 1 a , 0 a n 0
thì
n n 1 f [A] a An a n 1 A a A 1 a E 0
.
Khi đó nếu A là ma trận chéo hóa được thì f[A] được tính bởi công thức: n n 1 1 f [A] P[a Bn a n 1 B a B 1 a E]P 0
với
1 A PBP
, B là ma trận chéo.
Ta chứng minh được kết quả sau:
Định lý. Ma trận A có đa thức đặc trưng là P[x] thì P[A] 0.
Do đó để tính đa thức ma trận f[A] [hay định thức liên quan đến đa thức ma trận]
ta có thể xử lý trên đa thức dư của phép chia đa thức f[x] cho đa thức đặc trưng của
ma trận đang xét [tuy đây là điều không thật sự cần thiết trong nhiều trường hợp].
Ví dụ 5. [Đề thi OLP Vòng 2 năm 2008 – Trường ĐHKTQD]
Cho
####### 2 4
####### A
####### 3 3
#######
#######
#######
và
2 2007 f [x] x 4x 6, g[x] x x 6
- Tính g[A] ;
2008 f [A].
Giải:
dùng cách phân tích một ma trận thành tổng của những ma trận đơn giản khác, sau
đây ta xét cơ sở toán học và các ví dụ điển hình.
Trong toán học phổ thông ta đã biết công thức:
n n k k n k n k 0
a b C a b
, liệu công
thức này còn đúng đối với các ma trận vuông cùng cấp hay không?
Định lý. Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn AB BA, khi đó ta có:
2 2 A B A B A B
2 2 A B A 2AB B
n n n 1 n 2 n 2 1 A B A B A A B AB B
n n k k n k n k 0
####### A B C A B
Chú ý thêm rằng E là ma trận giao hoán với mọi ma trận vì AE EA A, do đó
từ định lý trên ta cũng suy ra:
n n 2 n 1 E A E A E A A A
n n k k n k 0
####### E A C A
Với chú ý này, rất nhiều trường hợp khi cần tính lũy thừa tổng quát một ma trận,
người ta phân tích ma trận dưới dạng A E B, với B là một ma trận nào đó mà tồn
tại k đủ bé [k = 2, 3,...] sao cho
k B có dạng rất đơn giản.
Ví dụ 6. Tính
100 A với
####### 1 2 1
####### A 1 1 0
####### 2 0 1
#######
#######
#######
#######
#######
#######
Giải:
Ta có A E B, với E là ma trận đơn vị còn B là:
####### 0 2 1
####### B 1 0 0
####### 2 0 0
#######
#######
#######
#######
#######
#######
Ta dễ kiểm tra
2 3
####### 0 0 0
####### B 0 2 1 , B 0
####### 0 4 2
#######
#######
#######
#######
#######
#######
. Do đó
k B 0, k 3
Vậy:
100 100 100 2 2
####### 1 200 100
####### A E B E 100B B 100 9901 4950
####### 200 19800 9899
#######
#######
#######
#######
#######
#######
Ví dụ 7. [Đề thi OLP Toàn Quốc năm 2006]
Cho ma trận
####### 2006 1 2006
####### A 2005 2 2006
####### 2005 1 2005
#######
#######
#######
#######
#######
#######
. Xác định các phần tử nằm trên đường chéo
chính của ma trận:
2 2006 S E A A A
Giải:
Ta có A E B, trong đó
####### 2005 1 2006
####### B 2005 1 2006
####### 2005 1 2006
#######
#######
#######
#######
#######
#######
, ta kiểm tra không khó khăn là
2 B 0 , và do đó với mọi số tự nhiên k thì
k A E kB. Từ đó suy ra
####### S 2007E 1003.2007
Vậy các phần tử trên đường chéo chính của S là:
11 22
33
s 2007 1 1003 , s 1004.
s 2007 1 1003.
#######
#######
Như đã nói ở trên, ta cũng có thể tính lũy thừa tổng quát của một ma trận bằng
phương pháp dự đoán và quy nạp, nhưng trường hợp này ít xảy ra vì dự đoán một
công thức tổng quát không phải lúc nào cũng làm được.
Ví dụ 8. Tính
100 2 1 0
####### 0 1 0
####### 0 0 2
#######
#######
#######
#######
#######
Giải:
Bằng quy nạp ta chứng minh được:
n 1 n i n i 0
n
####### 2 2 0
####### 2 1 0
####### 0 1 0 0 1 0
####### 0 0 2 0 0 2
#######
#######
#######
#######
#######
#######
#######
#######
#######
Từ đó suy ra:
100 100
100
####### 2 1 0 2 2 1 0
####### 0 1 0 0 1 0
####### 0 0 2 0 0 2
#######
#######
#######
#######
#######
#######
Tìm ij n x 1
lim lim a [n, x]
, i, j 1,2.
- Cho
1999 2 f [x] x x 1 và cho ma trận
####### 4 3 0 0
####### 2 3 0 0
####### C
####### 4 9 1 0
####### 1 2 5 2
#######
#######
#######
#######
#######
#######
Tính det f [C].
Bài tập 7. Cho hai ma trận
####### 1 2
####### A
####### 8 4
#######
#######
#######
####### ,
####### 1 3 3
####### B 3 5 3
####### 6 6 4
#######
#######
#######
#######
#######
#######
Chứng minh rằng
2009 2009 det[E A ] 0, det[E B ] 0.
Bài tập 8. Chứng minh rằng nếu ma trận A vuông cấp n thỏa mãn
2 A A thì ma trận
A chéo hóa được, nghĩa là tồn tại ma trận C sao cho:
1 C AC
có dạng chéo.
Chứng minh
Dễ dàng thấy rằng A chỉ có các giá trị riêng là 0 hoặc 1 vì nếu là giá trị riêng của A
thì :
2 AX X X A AX A X X[X là vectơ riêng]
Từ đó suy ra chỉ nhận 2 giá trị là 0 hoặc 1.
Gọi V là không gian con sinh bởi tất cả các vectơ riêng của A, khi đó hiển nhiên rằng n V , ta chứng minh chiều ngược lại, nghĩa là: