Cho hình lập phương [ABCD.A'B'C'D' ]có cạnh bằng [a. ] Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng [BD ] và mặt phẳng [[CB'D'] ] bằng
Câu 8883 Vận dụng cao
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]có cạnh bằng \[a.\] Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng \[BD\] và mặt phẳng \[[CB'D']\] bằng
Đáp án đúng: c
Phương pháp giải
- Chứng minh \[BD//\left[ {CB'D'} \right] \Rightarrow d\left[ {BD,\left[ {CB'D'} \right]} \right] = d\left[ {O,\left[ {CB'D'} \right]} \right]\]
- Tính khoảng cách \[d\left[ {O,\left[ {CB'D'} \right]} \right]\] bằng phương pháp tỉ số khoảng cách: \[d\left[ {O,\left[ {CB'D'} \right]} \right] = \dfrac{1}{2}d\left[ {A,\left[ {CB'D'} \right]} \right]\]
- Tính khoảng cách \[d\left[ {A,\left[ {CB'D'} \right]} \right]\] sử dụng tính chất tứ diện đều.
Khoảng cách giữa đường thẳng, mặt phẳng song song --- Xem chi tiết
...Cho hình lập phương Abcd.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC' và CD' là:
A.
B.
C.
D.
Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian [dùng quan hệ song song]
Trang trước Trang sau
Quảng cáo
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:
* Phương pháp 1
Chọn mặt phẳng [α] chứa đường thẳng Δ và song song với Δ'. Khi đó d[Δ, Δ'] = d[Δ', [α]]
* Phương pháp 2
Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ [ABCD], đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5 và BC = a√2. Tính khoảng cách giữa SD và BC.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: BC // AD [Tính chất hình chữ nhật] mà AD ⊂ [SAD]
⇒ BC // mp[SAD]
d[BC, SD] = d[BC, [SAD]] = d[B, SAD]
Vậy d[SD; BC] = AB = a√3
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằng:
Hướng dẫn giải
Chọn C.
+ Ta có: BB’ // CC’ mà CC’ ⊂ [ACC’A’] nên: BB’ // [ACC’A’]
⇒ d[ BB’; AC] = d[ BB’; [ACC’A’] = d[B; [ACC’A’]
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD
⇒ BO ⊥ [ACC’A’] [ tính chất hình lập phương ]
Quảng cáo
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a và AD = 2a; SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa SB và CD?
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm AD suy ra : AH = HD = a
+ Tứ giác HDCB có HD // BC và HD = BC = a
⇒ HDCB là hình bình hành.
⇒ CD // HB nên CD // mp[SHB]
+ Do H là trung điểm của AB và CD // [SHB] nên: d[CD; SB] = d[CD ;[SBH]]= d[D; [SBH]] = d[A ;[SBH]]
+ Tứ diện A. BHS có :
AB = AH = AS và AB ; AH ; SA đôi một vuông góc nên:
Vậy d[SB ; CD] = d[ A, [SHB]] = [a√3]/3
Chọn đáp án C
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
A. aB. a√2C. a√3D. 2a
Hướng dẫn giải
Ta có: CD // AB nên CD // [SAB]
⇒ d[CD; AB] = d[CD; [SAB]] = d[D; SAB]] = AD = a
[vì AD ⊥ AB và AD ⊥ SA nên AD ⊥ [SAB]]
Chọn phương án A
Ví dụ 5: Cho tứ diện OABC trong đó OA; OB; OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi J là trung điểm OB. Kẻ OH vuông góc AJ tại H
+ Tam giác AOJ vuông tại O , có OH là đường cao
+ Do I và J lần lượt là trung điểm của BC và BO nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC và IJ // OC
Mà IJ ⊂ [AIJ] nên OC // [AIJ] .
+ Ta có 3 đường thẳng OA; OB; OC đôi một vuông góc nên OC ⊥ [OAB]
⇒ IJ ⊥ [OAB] và IJ ⊥ OH [1]
Lại có: AJ ⊥ OH [2]
Từ [ 1] và [2] suy ra: OH ⊥ [AIJ]
+ Khi đó; d[AI; OC] = d[OC; [AIJ]] = d[O; [AIJ]] = OH = a/√5
Chọn đáp án B
Quảng cáo
Ví dụ 6: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AD = a. Tính khoảng cách giữa AD và SB
Hướng dẫn giải
Gọi E, F lần lượt là trung điểm AD và B.
+ Tam giác SAD là tam giác đều nên SE ⊥ AD [1]
+ Lại có; hai mp[ABCD] và [SAD] cắt nhau theo giao tuyến AD và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau [2] .
Từ [1] và [2] suy ra: SE ⊥ [ABCD] .
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên SF. Ta chứng minh EH ⊥ [SBC].
Thật vậy, ta có: EH ⊥ SF [ cách dựng] và EH ⊥ BC [do BC ⊥ [SEF]
⇒ EH ⊥ [SBC] .
+ Do AD // BC; SB ⊂ [SBC] và EH ⊥ [SBC]
⇒ d[AD: SB] = d[AD; [SBC] = d[E; [SBC]] = EH
+ Xét tam giác vuông SEF có:
trong đó: SE = a√3; EF = AB = a
⇒ EH = [a√21]/7
Chọn đáp án B
Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằng
Hướng dẫn giải
Gọi I là giao điểm của AC và BD.
+ Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên BI ⊥ [AA'C'C].
+ Ta có: BD = BC√2 = a√2 nên IB = BD/2 = [a√2]/2
+ khi đó:
d[BB’; AC]= d[BB’;[ AA’C’C] = IB = [a√2]/2
Chọn đáp án C
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB = a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa SM và BC bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi N là trung điểm của cạnh đáy AC.
+ Tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // BC
⇒ BC // [ SMN] mà SM ⊂ [SMN] nên :
d[SM; BC] = d[BC; [SMN]] = d[B; [SMN]] = d[A; [SMN]]
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM.
+ Ta chứng minh: MN ⊥ [SAM]:
Chọn đáp án A
Ví dụ 9: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A1B1C1 có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b Tính khoảng cách giữa AB và CC1
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm của AB
+ Ta có: CC1 // AA1 mà AA1 ⊂ [ ABB1A1]
⇒ CC1 // [ ABB1A1]
⇒ d[CC1; AB] = d[CC1; [ABB1A1]] = d[C; [ ABB1A1]]
+ Ta chứng minh CM ⊥ [ABB1A1 ]:
- Do tam giác ABC đều nên CM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao: CM ⊥ AB. [1]
- CM ⊥ AA1[ tính chất lăng trụ tam giác đều][2]
Mà AB và AA1 [ABB1A1], kết hợp với [1] và [2] suy ra:
CM ⊥ [ABB1A1]
Đáp án B
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD = a√17/2. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng [ABCD] là trung điểm của cạnh AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a
Hướng dẫn giải
+ Ta có: H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD
⇒ HK // BD ⇒ HK // [SBD]
⇒ d[SD; HK] = d[HK; [SBD]] = d[H, [SBD]]
Kẻ HI ⊥ BD và HJ ⊥ SI
Chọn đáp án C
Ví dụ 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SI vuông góc với [SCD] và I là trung điểm AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AB là:
Hướng dẫn giải
Kẻ MN // AB ⇒ AB // [SMN]
⇒ d[SO; AB] = d[AB; [SMN]] = d[I, [SMN]]
Ta có: AB ⊥ SI ⇒ MN ⊥ SI, AB ⊥ OI ⇒ MN ⊥ OI
⇒ MN ⊥ [SOI] ⇒ [SMN] ⊥ [SOI].
Kẻ IH ⊥ SO ⇒ IH ⊥ [SMN]
⇒ IH = d[I, [SMN]]
+ Gọi J là trung điểm của CD
Chọn C
Ví dụ 12: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB = 5a, BC = 4a Cạnh SA vuông góc với đáy và góc giữa mặt phẳng [SBC] với mặt đáy [ABC] bằng 60° Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BC là:
Hướng dẫn giải
+ Gọi M là trung điểm AC , ta có DM là đường trung bình của tam giác ABC nên DM // BC
⇒ BC // [SMD] .
⇒ d[BC; SD] = d[C; [SMD]] = d[A; [SMD]]
+ Kẻ AH ⊥ SM [H ∈ SM], ta có
Do góc giữa mặt phẳng [SBC] với mặt đáy [ABC] bằng 60° suy ra: ∠SCA = 60°.
Chọn A
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a; BC = a . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a√2. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; K là điểm bất kỳ trên BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK là:
Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là trung điểm cạnh BC
+ Do SA = SB = SC = SD và OA = OB = OC = OD nên SO ⊥ [ABCD]
+ Ta chứng minh BC ⊥ [SOI]
- Tam giác SBC cân tại S có SI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao : BC ⊥ SI [1].
- Lại có: BC ⊥ SO [vì SO ⊥ [ABCD]] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: BC ⊥ [SOI]
Mà OH ⊂ [SOI] nên BC ⊥ OH
⇒ OH ⊥ [SBC]
Xét tam giác SOI có:
Chọn đáp án D
Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 [đvd]. Khoảng cách giữaAA’ và BD’ bằng:
Ta có: AA’ // DD’ [tính chất hình lập phương]
Mà DD ⊂ [BDD’B’]
⇒ AA’ // [BDD’B’]
⇒ d[AA’; BD’] = d[AA’; [BDD’B’]] = d[A; BDD’B’]
Gọi O là trung điểm của BD
⇒ AO ⊥ BD [tính chất hình vuông]
Lại có: AO ⊥ BB’
⇒ AO ⊥ [BDD’B’]
⇒ d[A; [BDD’B’] ] = AO
+ Xét tam giác ABD có:
Chọn D
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, BC = a√3; AB = a. Hai mặt phẳng [SAC] và [SBD] cùng vuông góc với mặt đáy và đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Chọn D
Gọi O là giao điểm của AC và BD
+ Do OC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng [ABCD] ⇒ [SC, [ABCD]] = ∠SCO = 60°
+ Gọi M là trung điểm của SD. Khi đó; MO là đường trung bình của tam giác SBD nên MO // SB
⇒ SB // [ACM].
+ Trong mặt phẳng [SBD] kẻ MH // SO
⇒ MH ⊥ [ABCD]
Khi đó
d[SB; AC] = d[SB; [ACM]] = d[B; [ACM]] = 2d[H; [ACM]]
+ Ta có: khoảng cách từ D đến AC là d:
Xét tam giác vuông MHK đường cao MI có:
Câu 4: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B; AB = BC = a, SA vuông góc với mặt phẳng [ABC] góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng [ABC] bằng 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Chọn D
+ Gọi I là trung điểm của AC .Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC.
Trong mặt phẳng [ ABC] kẻ AE vuông góc với d tại E.
Khi đó AE ⊥ BE và AE ⊥ AC
+ Ta có: AC // BE nên AC // [SBE]
⇒ d [AC, SB] = d[A, [SBE]].
+ Gọi AH là đường cao của [SAE] , ta có
Vì SA ⊥ [ABC] nên hình chiếu của SC trên mặt phẳng [ABC] là AC suy ra góc giữa SC và mặt phẳng [ABC] là ∠SCA = 60°
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A. Gọi H và M lần lượt là trung điểm các cạnh BC và SC; SH vuông góc với [ABC], SA = 2a và tạo với mặt đáy góc 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC là:
+ Hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng [ABC] là HA nên góc giữa SA và [ABC] là ∠SAH
⇒ suy ra AH = SA.cos60° = a; SH = a√3.
+ Gọi N; I lần lượt là trung điểm của SB và SH.
SI = SH/2 = a√3/2
Ta có mặt phẳng [AMN] // BC [vì MN // BC]
⇒ d[AM; BC] = d[BC, [AMN]] = d[H; [AMN]].
+ Dựng HK ⊥ AI
+ Xét tam giác IAH vuông tại H, đường cao HK
Đáp án C
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng [ABC] , gọi I là trung điểm cạnh BC. Biết góc giữa đường thẳng SI và mặt phẳng [ ABC] bằng 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC
+ Hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng [ABC] là AI nên góc giữa SI và mặt phẳng [ABC] là ∠SIA [vì tam giác SIA vuông tại A nên ∠SIA nhọn]
Suy ra: ∠SIA = 60°.
+ Xét tam giác SIA vuông tại A, ∠SIA = 60° và AI = a√3/2 nên SA = AI.tan60° = 3a/2.
+ Dựng hình bình hành ABCD, tam giác ABC đều nên tam giác ABD đều.
+ Ta có AC // BD nên AC // [SBD]
⇒ d[AC; SB] = d[AC, [SBD]] = d[A; [SBD]].
+ Gọi K là trung điểm đoạn BD, tam giác ABD đều cạnh a
suy ra AK ⊥ BD và AK = a√3/2 mà BD ⊥ SA nên BD ⊥ [SAK].
+ Dựng AH ⊥ SK, H ∈ SK lại có AH ⊥ BD suy ra AH ⊥ [SBD]
Vậy d[A, [SBD]] = AH
+ Xét tam giác SAK vuông tại vuông tại A, đường cao AH ta có
Đáp án B
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC tam giác ABC vuông tại B; BC = a; AC = 2a tam giác SAB đều. Hình chiếu của S lên mặt phẳng [ABC] trùng với trung điểm M của AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là:
+ Tam giác ABC vuông tại B, BC = a và AC = 2a suy ra AB = a√3
Tam giác SAM vuông tại M, SA = a√3 [ vì tam giác SAB đều]; AM = AC/2 = a ⇒ SM = a√2
+ Dựng hình bình hành ABCD, gọi N là trung điểm của AD. Do ∠ABC = 90° suy ra ABCD là hình chữ nhật suy ra MN ⊥ AD.
Lại có: SM ⊥ AD nên AD ⊥ [SMN] .
Dựng MH ⊥ AD, H ∈ SN
Theo trên có AD ⊥ [SMN] nên AD ⊥ MH
⇒ MH ⊥ [ SAD].
Vậy d[M; [SAD]] = MH .
+ Do BC // AD nên BC // [SAD]
⇒ d[SA; BC] = d[BC; [SAD] = d[C; [SAD]]
= 2d[M; [SAD]] = 2.MH
+ Xét tam giác SMN vuông tại M, đường cao MH:
Chọn C
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ∠ABC = 60°. Hai mặt phẳng [SAC] và [SBD] cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng [SAB] và [ABCD] bằng 30°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD theo a bằng:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Kẻ: OI ⊥ AB; OH ⊥ SI
+ Do CD // AB nên CD // [SAB]
⇒ d[CD; SA] = d[CD, [SAB]]
= d[C; [SAB]] = 2d[O; [SAB]]
Ta có: AB ⊥ SO, AB ⊥ OI ⇒ AB ⊥ [SOI] ⇒ AB ⊥ OH
Nên OH ⊥ [SAB] ⇒ d[O, [SAB]] = OH
Mà tam giác ACB cân tại B có ∠ABC = 60° nên tam giác ABC đều
⇒ OC = [1/2]AC = [1/2]AB = a/2
+ xét tam giác OAB có:
Chọn đáp án B
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, AB = 2a ; BD = √3AC, mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh A; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của AI. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng:
+ Ta có: CD // AB ⇒ CD // [SAB]
⇒ d[CD; SB] = d[CD; [SAB]] = d[C; [SAB]] = 4.d[H; [SAB]]
+ Kẻ MH ⊥ AB; HK ⊥ SM
Ta có: tan[BAC] = BI/IA = √3 ⇒ ∠BAC = 60° ⇒ ΔABC đều
Do đó:
Chọn đáp án B
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a√2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là:
+ Do AD // BC nên AD // [SBC]
⇒ d[AD; SB] = d[AD, [SBC]] = d[H; [SBC]]
Trong đó H là trung điểm AD.
+ Gọi M là trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của H lên SM
⇒ d[H; [SBC]] = HK.
+ Diện tích tam giác SMH là:
Chọn đáp án C
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau