Chứng minh công thức tính diện tích tam giác

Thông thường, S tam giác  được tính bằng 1/2 tích của chiều cao hạ từ đỉnh với độ dài cạnh đối diện của đỉnh đó: \[S=\frac{1}{2}ah\]

Trong đó:

• a là chiều dài cạnh đáy
• h là chiều cao hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy

Chú ý: Chúng ta sẽ có 2 trường hợp là chiều cao nằm phía trong của tam giác và chiều cao nằm ngoài tam giác [tam giác tù]

– Ví dụ chiều cao nằm trong tam giác

– Ví dụ chiều cao nằm ngoài tam giác

Tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh

Muốn tính S tam giác khi biết độ dài của 3 cạnh thì chúng ta sẽ sử dụng công thức Heron đã được chứng minh: \[S =\sqrt{p[p-a][p-b][p-c] }\]

Với p = [a +b +c]/2

Hay chúng ta cũng có thể viết lại bằng công thức:

\[S =\frac{1}{4}\sqrt{[a+b+c][a+b-c][b+c-a][c+a-b]}\]

a, b, c lần lượt là độ dài của 3 cạnh tam giác

Tính diện tích tam giác khi biết một góc

S tam giác bằng 1/2 tích của 2 cạnh kề nhân với sin của góc được tạo bởi 2 cạnh đó: \[S_{ABC}= \frac{1}{2}a.b.sinC = \frac{1}{2}b.c.sinA=\frac{1}{2}c.a.sinB\]

Công thức tính S tam giác mở rộng

Ngoài ra công thức tính diện tích ở trên ta còn có một số công thức mở rộng [muốn dùng phải chứng minh]

• Công thức 1: \[S=\frac{abc}{4R}\]

Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chứng minh:

Từ định lý \[\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R\]

ta suy ra được \[{sinC}=\frac{C}{2R}\]

Thay vào công thức: \[S= \frac{1}{2}absinC\] ta được

\[S=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}ab.\frac{c}{2R}=\frac{abc}{4R}\] [đpcm]

Trong đó p là nửa chu vi của tam giác

r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác

Chứng minh:

Xét tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, suy ra:

\[S _{ABC}= S _{AIB} + S_{ BIC} + S_{CIA} = \frac{1}{2}.AB.r + \frac{1}{2}.BC.r + \frac{1}{2}AC.r = \frac{1}{2}[AB + BC + AC].r = p.r\]

Với r = IE = IF = ID

Ứng dụng tính S tam giác đặc biệt

Công thức tính diện tích tam giác đều

Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau, vì thế chúng ta có thể dễ dàng áp dụng định lý Heron [Hê rông] để suy ra: \[S=a^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4}\]

Với a là độ dài cạnh của tam giác đều.

Ví dụ: Cho tam giác đều có cạnh a= 3cm. Tính S tam giác.

Giải: \[S=a^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4}=9.\frac{\sqrt{3}}{4} cm^2\]

Xem chi tiết >>> Công thức tính diện tích tam giác đều và Bài tập điển hình

Công thức tính diện tích tam giác vuông

Cũng có thể áp dụng công thức tính diện tích thường cho S tam giác vuông chiều cao chính là 1 trong 2 cạnh góc vuông và cạnh đáy là cạnh còn lại.

Khi đó chúng ta sẽ có S ABC vuông tại B là:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.BC

Xem thêm >>> Chuyên đề các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Công thức tính diện tích tam giác cân

Cách tính S tam giác cân cũng tương tự như cách tính S tam giác thường: [latex]S = \frac{1}{2}a.h\]

a là độ dài cạnh đáy

h là chiều cao của tam giác

Ví dụ: Cho tam giác cân có chiều cao h = 6cm, độ dài cạnh đáy 4cm. Tính S tam giác.

Giải: Ta có: \[S = \frac{1}{2}a.h=\frac{1}{2}.6.4=12 cm^2\]

Xem thêm >>> Tính chất tam giác cân: Lý thuyết và Các dạng bài tập

Công thức tính S tam giác vuông cân

Do tam giác vuông cân có cạnh đáy bằng chiều cao nên S tam giác được tính bằng một nửa bình phương cạnh đáy hoặc 1 nửa bình phương chiều cao.

\[S=\frac{1}{2}a^{2}\]

Với a là độ dài cạnh đáy

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = 3cm. Tính S tam giác ABC.

Giải: \[S=\frac{1}{2}AC^{2}=\frac{1}{2}.3^{2}=4,5cm^2\]

Trên đây là bài viết tổng hợp 5 công thức tính diện tích tam giác thông dụng. Nếu có bất kì băn khoăn thắc mắc hay đóng góp các bạn để lại bình luận bên dưới chúng mình cùng hoàn thiện bài viết nhé. Cảm ơn các bạn, nếu thấy hay thì chia sẻ nha Diện tích tam giác cân bằng tíchcủa chiều cao nối từ đỉnhtam giácđó tới cạnh đáytam giác, sau đó chia cho 2. công thức S = [a x h]/ 2. Ngoài ra, tính diện tích tam giác cân cũng dựa vào đường cao như công thức tính diện tích tam giác thường.