Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \[y=\frac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-\left[ 1-m \right]x+2m}}\] có hai tiệm cận đứng?

Phương pháp giải:

- Đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] nhận đường thẳng \[x = a\] là tiệm cận đứng khi xảy ra một trong các giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ \pm }} f\left[ x \right] =  \pm \infty \].

- Đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] nhận đường thẳng \[y = b\] là tiệm cận ngang khi xảy ra một trong các giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left[ x \right] = b\].

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l}m{x^2} \ge 4\\x \ne 1\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow m > 0\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}} = \sqrt m \\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}} =  - \sqrt m \end{array} \right. \Rightarrow \] Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang \[y =  \pm \sqrt m \] \[\left[ {m > 0} \right]\].

Để đồ thị hàm số \[y = \dfrac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}}\] có 3 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 1 đường tiệm cận đứng.

\[ \Rightarrow x = 1\] phải thỏa mãn điều kiện \[m{x^2} \ge 4 \Leftrightarrow m \ge 4\].

Do đó, \[m \ge 4\] thì hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang.

Mặt khác \[m \in \left[ { - 10;10} \right]\], \[m \in \mathbb{Z}\]  nên \[m \in \left\{ {4;5;6;7;8;9;10} \right\}\].

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số \[m\] thỏa mãn bài toán.

Chọn A.

Lời giải chi tiết

Với $m>0$ ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{m+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}=\frac{1}{\sqrt{m}}\Rightarrow y=\frac{1}{\sqrt{m}}$ là một tiệm cận ngang.

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-1-\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{-x}}=\frac{-1-\frac{1}{x}}{\sqrt{m+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}=\frac{-1}{\sqrt{m}}\Rightarrow y=\frac{-1}{\sqrt{m}}$ là một tiệm cận ngang.

Khi đó đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

Với $m=0$ suy ra $y=\frac{x+1}{1}$ đồ thị hàm số không có hai tiệm cận ngang.

Với $m0 \\  {} f\left[ 1 \right]\ne 0 \\  {} f\left[ -2 \right]\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 1-m>0 \\  {} m-1\ne 0 \\  {} m+8\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m-2;\,\,m\ne 2$ là giá trị cần tìm. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang $y=0$.

Suy ra để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

TH1: Phương trình: $\left[ m{{x}^{2}}-2x+1 \right]\left[ 4{{x}^{2}}+4mx+1 \right]=0$ vô nghiệm

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 1-m