Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y=x 2 8ln2x mx

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Để hàm số đồng biến trên [left[ {0; + infty } right]] thì [y' ge 0,,forall x in left[ {0; + infty } right]].

- Cô lập [m], đưa bất phương trình về dạng [m le gleft[ x right],,forall x in left[ {0; + infty } right] Leftrightarrow m le mathop {min }limits_{left[ {0; + infty } right]} gleft[ x right]].

- Sử dụng BĐT Cô-si tìm [mathop {min }limits_{left[ {0; + infty } right]} gleft[ x right]].

Giải chi tiết:

TXĐ: [D = left[ {0; + infty } right]].

Ta có: [y' = 2x + 8.dfrac{2}{{2x}} - m = 2x + dfrac{8}{x} - m]

Để hàm số đồng biến trên [left[ {0; + infty } right]] thì [y' ge 0,,forall x in left[ {0; + infty } right]].

[ Leftrightarrow 2x + dfrac{8}{x} - m ge 0,,forall x in left[ {0; + infty } right]] [ Leftrightarrow m le 2x + dfrac{8}{x},,forall x in left[ {0; + infty } right],,left[ * right]].

Đặt [gleft[ x right] = 2x + dfrac{8}{x}], khi đó [left[ * right] Leftrightarrow m le mathop {min }limits_{left[ {0; + infty } right]} gleft[ x right]].

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: [2x + dfrac{8}{x} ge 2sqrt {2x.dfrac{8}{x}} = 2.4 = 8] [ Rightarrow mathop {min }limits_{left[ {0; + infty } right]} gleft[ x right] = 8], dấu “=” xảy ra [ Rightarrow 2x = dfrac{8}{x} Leftrightarrow x = 2].

Từ đó ta suy ra được [m le 8], kết hợp điều kiện [m in {mathbb{Z}^ + } Rightarrow m in left{ {1;2;3;4;5;6;7;8} right}].

Vậy có 8 giá trị của [m] thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.