Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 2186 số nguyên x thỏa mãn

Chọn A

Ta có log3x−y3x−9≤0⇔x>03x≥9       log3x≤y⇔x≥2x≤3y

Nếu 3y<2 thì bất phương trình vô nghiệm ( không thỏa mãn).

Nếu 3y=2⇔y=log32≈0,631 thì bất phương trình có tập nghiệm T=2

( không thỏa mãn vì y nguyên dương).

Nếu 3y>2⇔y>log32≈0,631, khi đó bất phương trình có tập nghiệm T=2; 3y

Để mỗi giá trị y, bất phương trình có không quá 2021 nghiệm nguyên x thì 3y≤2187⇔y≤log32187=7.

Kết hợp điều kiện y nguyên dương, 0,631

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) có không quá \(2186\) số nguyên dương \(x\) thỏa mãn \(\sqrt {2{x^2} – 4x + 3} \left( {{{\log }_3}x – y} \right) < 0\)?

A. \(7\). 

B. \(2187\).  

C. \(729\). 

D. \(6\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(\sqrt {2{x^2} – 4x + 3}  = \sqrt {2{{\left( {x – 1} \right)}^2} + 1}  > 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó

Bất phương trình đã cho tương đương với \({\log _3}x – y < 0\)\( \Leftrightarrow x < {3^y}\).

Vì \(x\) nguyên dương nên \(1 \le x < {3^y}\).

Suy ra, với mỗi \(y\) có không quá \(2186\) số nguyên dương \(x\) khi và chỉ khi \({3^y} \le 2187\)\( \Leftrightarrow y \le 7\). 

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) có không quá 2186 số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{\log }_{3}}x-y \right)\sqrt{{{3}^{x}}-9}\le 0\)?

• A. 7
• B. 8
• C. 2186
• D. 6

Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: A

Ta có \(\left( {{{\log }_3}x - y} \right)\sqrt {{3^x} - 9} \le 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} x > 0\\ {3^x} \ge 9\,\,\,\,\,\,\, \end{array}\\ {{{\log }_3}x \le y} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge 2}\\ {x \le {3^y}} \end{array}} \right.\)

Nếu \({{3}^{y}}<2\) thì bất phương trình vô nghiệm ( không thỏa mãn).

Nếu \({{3}^{y}}=2\Leftrightarrow y={{\log }_{3}}2\approx 0,631\) thì bất phương trình có tập nghiệm \(T=\left\{ 2 \right\}\)

( không thỏa mãn vì \(y\) nguyên dương).

Nếu \({{3}^{y}}>2\Leftrightarrow y>{{\log }_{3}}2\approx 0,631\), khi đó bất phương trình có tập nghiệm \(T=\left[ 2;\,{{3}^{y}} \right]\)

Để mỗi giá trị \(y\), bất phương trình có không quá 2021 nghiệm nguyên \(x\) thì \({{3}^{y}}\le 2187\Leftrightarrow y\le {{\log }_{3}}2187=7\).

Câu trả lời được xác thực chứa thông tin chính xác và đáng tin cậy, được xác nhận hoặc trả lời bởi các chuyên gia, giáo viên hàng đầu của chúng tôi.

Đáp án:

 1024

Giải thích các bước giải:

 Đề đúng: $\displaystyle \left( 2^{x+1} -\sqrt{2}\right)\left( 2^{x} -y\right) < 0$

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \left( 2^{x+1} -\sqrt{2}\right)\left( 2^{x} -y\right) < 0\\ \Leftrightarrow 2\left( 2^{x} -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left( 2^{x} -y\right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( 2^{x} -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left( 2^{x} -y\right) < 0\ ( 1)\\ TH1:0< y< \frac{1}{\sqrt{2}}\\ ( 1) \Rightarrow y< 2^{x} < \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \Leftrightarrow log_{2} y< x< -\frac{1}{2}\\ Để\ với\ mỗi\ giá\ trị\ y\ không\ có\ quá\ 10\ giá\ trị\ x\\ \Leftrightarrow log_{2} y\geqslant -10\\ \Leftrightarrow \{_{y\in \left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}}\right) ,\ y\in \mathbb{Z}}^{y\geqslant 2^{-10}} \Rightarrow y=\emptyset \\ TH2:\ y >\frac{1}{\sqrt{2}}\\ ( 1) \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} < 2^{x} < y\\ \Leftrightarrow -\frac{1}{2} < x< log_{2} y\\ Để\ với\ mỗi\ giá\ trị\ y\ không\ có\ quá\ 10\ giá\ trị\ x\\ \Leftrightarrow log_{2} y\leqslant 10\\ \Leftrightarrow \{_{y >\frac{1}{\sqrt{2}} ,\ y\in \mathbb{Z}}^{y\leqslant 2^{10} =1024} \Rightarrow y=[ 1;1024]\\ Vậy\ có\ 1024\ giá\ trị\ của\ y\\ \end{array}$

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) có nghiệm nguyên dương \(x\) và có không quá 6 số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{3^{x + 1}} – 9} \right)\left( {{3^x} – y} \right) < 0\)?

A. \(6552\). 

B. \(6561\). 

C. \(2185\). 

D. \(2186\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Theo giả thiết: \(\left( {{3^{x + 1}} – 9} \right)\left( {{3^x} – y} \right) < 0\) nên có 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^{x + 1}} – 9 < 0\\{3^x} – y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{x + 1}} < 9\\{3^x} > y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x > {\log _3}y\end{array} \right.\)

Vì \(x,\,y \in {\mathbb{N}^*}\) nên không có \(x,y\)nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán trong trường hợp này.

Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^{x + 1}} – 9 > 0\\{3^x} – y < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{x + 1}} > 9\\{3^x} < y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < {\log _3}y\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \,1 < x < {\log _3}y\)

Đểứng với mỗi số nguyên dương \(y\) có nghiệm nguyên dương \(x\) và và có không quá 6 số nguyên \(x\) thì \(2 < {\log _3}y \le 8\)\( \Leftrightarrow 9 < y \le 6561\).

Mà \(y \in \mathbb{N}* \Rightarrow y \in \left\{ {10,\,11,\,12,\,….,\,6561} \right\}\) nên có 6552 giá trị cần tìm.