Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z-1 và z 4z̅ 2√ 3

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: |z|=1 và |z2+4|=23 .

A.1.

B.2.

C. 3.

D.4.

Đặt $z=a+bi$ ta có:

$\begin{cases}|z|=1\\|z+\overline{z}|=1\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a^2+b^2=1\\4a^2=1\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a^2+b^2=1\\a=\pm \dfrac12\end{cases}$

$\Rightarrow $a có $2$ nghiệm

$\Rightarrow \dfrac14+b^2=1$

$\Rightarrow b^2=\dfrac32$

$\Rightarrow b=\pm \dfrac{\sqrt{6}}{2}$

$\Rightarrow b$ có $2$ nghiệm

Vậy có tổng là $4$ nghiệm.

Đáp án $C$

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z2 = | z3|.

A. 2.

B. 3.

Đáp án chính xác

C. 4.

D. 5.

Xem lời giải

Chọn đáp án C

Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là:

Số phức \(z = \sqrt 2 i - 1\) có phần thực là:

Hai số phức \(z = a + bi,z' = a + b'i\) bằng nhau nếu:

Số phức liên hợp của số phức \(z = a - bi\) là:

Cho hai số phức \(z = a + bi,z' = a' + b'i\). Chọn công thức đúng:

Tìm số phức có phần thực bằng $12$ và mô đun bằng $13$:

Cho số phức $z = 1 + \sqrt {3}i $. Khi đó

Cho số phức \(z = 3 - 4i\). Modun của \(z\) bằng

Cho số phức $z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^9}$. Khi đó:

Số phức liên hợp của số phức \(z = \dfrac{1}{{1 + i}}\) là:

Số phức nghịch đảo của \(z = 3 + 4i\) là:

Cho số phức \(z = 3 - 2i\), khi đó \(2z\) bằng

Câu hỏi

Nhận biết

Có bao nhiêu số phức \(z \) thỏa mãn \( \left| z \right| = 1 \) và \( \left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right| - 2 \sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \)?

A.

B.

C.

D.

Tải trọn bộ tài liệu tự học tại đây

Giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}\left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right|}}{{\left| z \right|}} - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2024 + \dfrac{{\overline z }}{z}} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2024 + {{\overline z }^2}} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z + \overline z } \right)}^2} - 2z\overline z  + 2024} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z + \overline z } \right)}^2} + 2022} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\end{array}\)

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi \Rightarrow z + \overline z  = 2a\).

Khi đó phương trình cuối trở thành \(\left| {{{\left( {2a} \right)}^2} + 2022} \right| - 2\sqrt 3 .\left| {2a} \right| = 2019 \Leftrightarrow 4{a^2} - 4\sqrt 3 \left| a \right| + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2\left| a \right| - \sqrt 3 } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left| a \right| = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow a =  \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Mà \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Rightarrow {b^2} = 1 - {a^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow b =  \pm \dfrac{1}{2}\).

Vậy có bốn số phức thỏa mãn bài toán là \({z_1} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_3} =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_4} =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2}i.\) 

Chọn B.