Có bao nhiêu xâu gồm 3 chữ số trong hệ thập phân
Ngày đăng:
22/02/2022
Trả lời:
16331
Lượt xem:
129
Slide bài giảng Toán rời rạc - chương 1 bài toán đếm nguyên lý cộng và nguyên lý nhân Show
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.48 MB, 176 trang ) Chương 1. BÀI TOÁN ĐẾM Còn gọi là Qui tắc cộng và Qui tắc nhân (Sum Rule và Product Rule) Toán rời rạc 2 1.1. Nguyờn lý cng (The sum rule) Nếu A và B là hai tập hợp rời nhau thì N(A B) = N(A) + N(B). Nguyên lý cộng đợc mở rộng cho nhiều tập con rời nhau: Nếu A1, A2, ..., Ak là một phân hoạch của tập hợp X thì N(X) = N(A1) + N(A2) + ... + N(Ak). Một trờng hợp riêng hay dùng của nguyên lý cộng: Nếu A là một tính chất cho trên tập X thì N(A) = N(X) - N(Ac). N ( A) = N ( X ) N ( A ) Toỏn ri rc 3 Nguyên lý cộng: Ví dụ Ví dụ 1. Một đoàn vận động viên gồm 2 môn bắn súng và bơi được cử đi thi đấu ở nước ngoài. Nam có 10 người. Số vận động viên thi bắn súng (kể cả nam và nữ) là 14. Số nữ vận động viên thi bơi bằng số nam vận động viên thi bắn súng. Hỏi toàn đoàn có bao nhiêu người? Giải: Chia đoàn thành 2 lớp: nam và nữ. Lớp nữ lại được chia 2: thi bắn súng và thi bơi. Thay số nữ thi bơi bằng số nam thi bắn súng (2 số này bằng nhau theo đầu bài), ta được số nữ bằng tổng số đấu thủ thi bắn súng. Từ đó, theo nguyên lý cộng, toàn đoàn có 10 + 14 = 24 người. Toán rời rạc 4 Nguyên lý cộng: Ví dụ Ví dụ 2. Trong một đợt phổ biến đề tài tốt nghiệp, Ban chủ nhiệm Khoa công bố danh sách các đề tài bao gồm 80 đề tài về chủ đề "xây dựng hệ thông tin quản lý", 10 đề tài về chủ đề "thiết kế phần mềm dạy học" và 10 đề tài về chủ đề "Hệ chuyên gia". Hỏi một sinh viên có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài? Giải: Sinh viên có thể lựa chọn đề tài theo chủ đề thứ nhất bởi 80 cách, theo chủ đề thứ hai bởi 10 cách, theo chủ đề thứ ba bởi 10 cách. Vậy tất cả có 100 cách lựa chọn. Toán rời rạc 5 Nguyờn lý cng: Vớ d Ví dụ 3. Hỏi rằng giá trị của k sẽ là bao nhiêu sau khi đoạn ch ơng trình PASCAL sau đợc thực hiện? n1:=10; n2:=20; n3:=30; k:=0; for i1:= 1 to n1 do k:=k+1; for i2:= 1 to n2 do k:=k+1; for i3:= 1 to n3 do k:=k+1; Giải: Đầu tiên giá trị của k đợc gán bằng 0. Có 3 vòng lặp for độc lập. Sau mỗi lần lặp của mỗi một trong 3 vòng for, giá trị của k tăng lên 1. Vòng for thứ nhất lặp 10 lần, vòng for thứ hai lặp 20 lần, vòng for thứ ba lặp 30 lần. Vậy, kết thúc 3 vòng lặp for giá trị của k sẽ là 10+20+30= 60. Toỏn ri rc 6 Nguyên lý cộng: Ví dụ Ví dụ 4: Có bao nhiêu xâu gồm 4 chữ số thập phân có đúng 3 ký tự là 9? Giải: Xâu có thể chứa: • Ký tự khác 9 ở vị trí thứ nhất • hoặc ký tự khác 9 ở vị trí thứ hai • hoặc ký tự khác 9 ở vị trí thứ ba • hoặc ký tự khác 9 ở vị trí thứ tư • Ta có thể sử dụng qui tắc cộng • Đối với mỗi trường hợp, có 9 khả năng chọn ký tự khác với 9 (bất kể chữ số khác 9 nào trong 9 chữ số 0, 1, ...,8) • Vậy, đáp số là 9+9+9+9 = 36 Toán rời rạc 7 1.2. Nguyờn lý nhõn The product rule Nếu mỗi thành phần ai của bộ có thứ tự k thành phần (a1, a2, ..., ak) có ni khả năng chọn (i = 1, 2, ..., k), thì số bộ sẽ đợc tạo ra là tích số của các khả năng này n1n2 ... nk. Một hệ quả trực tiếp của nguyên lý nhân: N(A1 ì A2 ì ... ì Ak) = N(A1) N(A2) ... N(Ak), với A1, A2, ..., Ak là những tập hợp nào đó, nói riêng: N(Ak) = [N(A)]k . Toỏn ri rc 8 1.2. Nguyờn lý nhõn The product rule Trong nhiều bài toán đếm, chỉ sau khi xây dựng xong thành phần thứ nhất ta mới biết cách xây dựng thành phần thứ hai, sau khi xây dựng xong hai thành phần đầu ta mới biết cách xây dựng thành phần thứ ba,... Trong trờng hợp đó có thể sử dụng nguyên lý nhân tổng quát: Giả sử ta xây dựng bộ có thứ tự k thành phần (a1, a2, ..., ak) theo từng thành phần và a1 có thể chọn bởi n1 cách; Sau khi a1 đã chọn, a2 có thể chọn bởi n2 cách; ... Sau khi a1, a2,...,ak-1 đã chọn, ak có thể chọn bởi nk cách; Thế thì số bộ đợc tạo ra là tích số n1n2 ... nk. Toỏn ri rc 9 Nguyờn lý nhõn: Vớ d Ví dụ 1. Từ Hà nội đến Huế có 3 cách đi: máy bay, ô tô, tàu hoả. Từ Huế đến Sài gòn có 4 cách đi: máy bay, ô tô, tàu hoả, tàu thuỷ. Hỏi từ Hà nội đến Sài gòn (qua Huế) có bao nhiêu cách đi? Giải: Mỗi cách đi từ Hà nội đến Sài gòn (qua Huế) đợc xem gồm 2 chặng: Hà nội - Huế và Huế - Sài gòn. Từ đó, theo nguyên lý nhân, số cách đi từ Hà nội đến Sài gòn là 3 ì 4 = 12 cách. H ni Hu Toỏn ri rc Si gũn 10 Nguyờn lý nhõn: Vớ d Ví dụ 2. Hỏi rằng giá trị của k sẽ là bao nhiêu sau khi đoạn ch ơng trình PASCAL sau đợc thực hiện? n1:=10; n2:=20; k:=0; for i1:=1 to n1 for i2:=1 to for i3:=1 to n3 n3:=30; do n2 do do k:=k+1; Giải: Đầu tiên giá trị của k đợc gán bằng 0. Có 3 vòng lặp for lồng nhau. Sau mỗi lần lặp của vòng for, giá trị của k tăng lên 1. Vòng for thứ nhất lặp 10 lần, vòng for thứ hai lặp 20 lần, vòng for thứ ba lặp 30 lần. Vậy, theo nguyên lý nhân, kết thúc 3 vòng lặp for lồng nhau, giá trị của k sẽ là 10 ì 20 ì 30 = 6000. Toỏn ri rc 11 Nguyên lý nhân: Ví dụ Ví dụ 3: Hỏi có bao nhiêu lá cờ gồm 3 vạch mầu, mầu của mỗi vạch lấy từ ba mầu xanh, đỏ, trắng sao cho: a) Không có hai vạch liên tiếp nào cùng màu b) Không có hai vạch nào cùng màu Giải. Đánh số các vạch của lá cờ bởi 1, 2, 3 từ trên xuống. Trường hợp a) Màu của vạch 1 có 3 cách chọn. Sau khi màu của vạch 1 đã chọn, màu của vạch 2 có 2 cách chọn (không được chọn lại màu của vạch 1). Sau khi màu của hai vạch 1, 2 đã chọn, màu của vạch 3 có 2 cách chọn (không được chọn lại màu của vạch 2). Theo nguyên lý nhân số lá cờ cần đếm trong trường hợp a) là 3.2.2=12 Toán rời rạc 12 Nguyên lý nhân: Ví dụ 3 (tiếp) Trường hợp b): Màu của vạch 1 có 3 cách chọn. Sau khi màu của vạch 1 đã chọn, màu của vạch 2 có 2 cách chọn (không được chọn lại màu của vạch 1). Sau khi màu của hai vạch 1, 2 đã chọn, màu của vạch 3 có 1 cách chọn (không được chọn lại màu của vạch 1 và 2). Theo nguyên lý nhân số lá cờ cần đếm trong trường hợp b) là 3.2.1=6 Toán rời rạc 13 Nguyên lý nhân: Ví dụ Ví dụ 4. Có bao nhiêu xâu gồm 4 chữ số thập phân a) không chứa một chữ số nào hai lần? Chúng ta sẽ chọn chữ số vào lần lượt từng vị trí • • • • Ký tự thứ nhất có 10 cách chọn Ký tự thứ hai có 9 cách (không chọn lại chữ số đã chọn vào vị trí thứ nhât) Ký tự thứ ba có 8 cách chọn Ký tự thứ tư có 7 cách chọn Tổng cộng có 10*9*8*7 = 5040 xâu cần đếm. b) kết thúc bởi chữ số chẵn? Ba ký tự đầu tiên mỗi ký tự có 10 cách chọn Ký tự cuối cùng có 5 cách chọn Tổng cộng có 10*10*10*5 = 5000 xâu cần đếm. Toán rời rạc 14 Các ví dụ phức tạp hơn Khi nào sử dụng qui tắc cộng? Khi nào sử dụng qui tắc nhân? Ta có thể sử dụng phối hợp cả qui tắc cộng và qui tắc nhân Bằng cách đó ta có thể giải được nhiều bài toán thú vị và phức tạp hơn Toán rời rạc 15 Chụp ảnh đám cưới Xét bài toán: Có 10 người tham gia vào việc chụp ảnh kỷ niệm ở một đám cưới, trong đó có cô dâu và chú rể. Ta xét bức ảnh chỉ gồm 6 người trong họ. a) Có bao nhiêu bức ảnh trong đó có mặt cô dâu? Qui tắc nhân: Xếp chỗ cho cô dâu VÀ sau đó xếp chỗ cho những nhân vật còn lại trong bức ảnh. Trước hết xếp chỗ cho cô dâu: Cô dâu có thể đứng ở 1 trong 6 vị trí Tiếp đến, xếp 5 nhân vật còn lại của bức ảnh nhờ sử dụng qui tắc nhân: Có 9 người để chọn nhân vật thứ hai, 8 người để chọn nhân vật thứ ba, ... Tổng cộng có 9*8*7*6*5 = 15120 cách xếp 5 nhân vật còn lại của bức ảnh. Qui tắc nhân cho ta 6 * 15120 = 90 720 bức ảnh Toán rời rạc 16 Chụp ảnh đám cưới b) Có thể chụp bao nhiêu bức ảnh mà trong đó có mặt cả cô dâu lẫn chú rể? Qui tắc nhân: Xếp dâu/rể VÀ sau đó xếp những nhân vật còn lại trong bức ảnh Trước hết xếp dâu và rể • • • Cô dâu có thể xếp vào 1 trong 6 vị trí Chú rể có thể xếp vào 1 trong 5 vị trí còn lại Tổng cộng có 30 khả năng Tiếp theo, xếp chỗ cho 4 nhân vật còn lại trong bức ảnh theo qui tắc nhân • • Có 8 người để chọn nhân vật thứ ba, 7 người để chọn nhân vật thứ tư, ... Tổng cộng có 8*7*6*5 = 1680 Theo qui tắc nhân có 30 * 1680 = 50 400 bức ảnh Toán rời rạc 17 Chụp ảnh đám cưới c) Có bao nhiêu bức ảnh mà trong đó có mặt chỉ một người trong cặp tân hôn? Qui tắc cộng: Chỉ xếp cô dâu • • • Qui tắc nhân: xếp cô dâu và sau đó xếp các nhân vật còn lại Trước hết xếp cô dâu: Cô dâu có thể đứng ở một trong 6 vị trí Tiếp đến, xếp những nhân vật khác theo qui tắc nhân: Có 8 người để chọn nhân vật thứ hai, 7 để chọn nhân vật thứ ba, v.v. (Ta không được chọn chú rể!) Tổng cộng = 8*7*6*5*4 = 6720 • Qui tắc nhân cho 6 * 6720 = 40 320 khả năng hoặc chỉ xếp chú rể • Số lượng khả năng cũng giống như cô dâu: 40 320 Qui tắc cộng cho 40 320 + 40 320 = 80 640 khả năng Toán rời rạc 18 Chụp ảnh đám cưới Một cách khác để thu được lời giải câu c) c) Có bao nhiêu bức ảnh mà trong đó có mặt chỉ một người trong cặp tân hôn? • Tổng số bức ảnh trong đó có cô dâu (có hoặc không có chú rể): 90 720 • Theo kết quả phần (a) • Tổng số bức ảnh có mặt cả dâu lẫn rể: 50 400 • Theo kết quả phần (b) • Số bức ảnh chỉ có mặt cô dâu: 90 720 – 50 400 = 40 320 • Đó cũng là số bức ảnh chỉ có mặt chú rể • Tổng cộng = 40 320 + 40 320 = 80 640 Toán rời rạc 19 Số lượng Mật khẩu Mỗi cá nhân sử dụng mạng máy tính đều có mật khẩu gồm từ 6 đến 8 ký tự, mỗi ký tự là chữ cái in hoa hoặc chữ số. Mật khẩu phải chứa ít nhất một chữ số. Có bao nhiêu mật khẩu khác nhau? Theo qui tắc cộng, nếu P là số lượng mật khẩu và P6, P7, P8 là số lượng mật khẩu độ dài 6, 7, và 8, tương ứng, thì P = P6+P7+P8 Toán rời rạc 20 Số lượng Mật khẩu P6 = số lượng mật khẩu gồm 6 ký tự chứa ít nhất một chữ số = (tổng số mật khẩu gồm 6 ký tự) trừ bớt (số mật khẩu gồm 6 ký tự không chứa chữ số) = (26+10)(26+10)(26+10)(26+10)(26+10) – (26)(26)(26)(26)(26)(26) = 366 – 266 = 1 867 866 560 Toán rời rạc 21 Số lượng Mật khẩu Tương tự như vậy, ta có P7 = 367 – 267= 70 332 353 920 P8 = 368 – 268= 2 612 282 842 880 P6 + P7 + P8 = 2 684 483 063 360 Chú ý: Nếu máy tính 2 GHz có thể thử 200 triệu mật khẩu trong một giây, thì trong thời gian bao nhiêu lâu có thể xác định được mật khẩu để thâm nhập hệ thống máy tính này? (2 684 483 063 360/200 000 000)/(60*60) giờ Gần 4 tiếng đồng hồ! Toán rời rạc 22 Chương 1. BÀI TOÁN ĐẾM 1. Nguyên lý cộng và nguyên lý nhân 2. Các cấu hình tổ hợp cơ bản 3. Nguyên lý bù trừ 4. Công thức đệ qui 5. Hàm sinh Toán rời rạc 23 2. Các cấu hình tổ hợp cơ bản Các cấu hình tổ hợp cơ bản là: • Chỉnh hợp lặp, • Chỉnh hợp không lặp, • Hoán vị, • Tổ hợp Phép đếm các cấu hình tổ hợp cơ bản được sử dụng để giải các bài toán đếm phức tạp hơn Giả sử X là tập n phần tử, mà không giảm tổng quát ta có thể coi X là tập gồm các số 1, 2, ..., n. Toán rời rạc 24 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa. Ta gọi chỉnh hợp lặp chập m từ n phần tử của X là bộ có thứ tự gồm m thành phần, mỗi thành phần đều là phần tử của X. Ký hiệu số lượng chỉnh hợp lặp chập m từ n phần tử là Anm Theo định nghĩa, một chỉnh hợp lặp chập m từ n phần tử của X có thể biểu diễn bởi (a1, a2, ..., am), ai ∈ X, i = 1, 2, ..., m. Dễ thấy tập tất cả các chỉnh hợp lặp chập m từ n phần tử của X chính là Xm. Vì vậy, theo nguyên lý nhân ta có Định lý 1. Anm = nm. Toán rời rạc 25 Mục lục
|