§2. HÌNH NÓN. HÌNH NÓN CỤT. DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NÓN, HÌNH NÓN CỤT A. Tóm tắt kiến thức 1. Hình nón A Khi quay tam giác vuông AOC một vòng quanh A cạnh góc vuông OA cố định thì được một hình /1 \ nón [h.155]. / ' \ • A là đỉnh của hình nón. /s' 1 ** • Hình tròn [0 ; OC] là đáy của hình nón. [ CI---V 0 2^ • AC là một đường sinh. • AO là đường ụao. Hình 155 Diện tích xung quanh của hình nón Sỵ[/ = ĩĩRL Stp = ĩỉRỈ + ĩĩR2 [R là bán kính đáy ; ỉ là đường sinh]. Thể tích hình nón V = -J ĩtR2lì [h là chiều cao]. Hình nón cụt Khi cắt hình nón bởi một mặt phang song song với đáy thì phần mặt phang nằm trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa mặt phẳng nói trên vù mặt đáy được gọi là một hình nón cụt [lỉ.J56]. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt SXq = 7ĩ[R + r]l. v=~ ưhỊR2 + r2 + Rr]. 3 [R, r là các bán kính đáy, l là đường sinh, h là chiều cao]. B. Ví dụ Một hình nón có bán kính đáy bằng 5cm và diện tích xung quanh bằng 657rcm2. Tính diện tích toàn phần của hình nón. Tính thể tích của hình nón. Người ta cắt hình nón nói trên bằng một mặt phẳng [P] song song với đáy và đi qua trung điểm của đường cao. Tính thể tích của hình nón cụt được tạo thành. > Giải [h. 157]. Diện tích đáy hình nón là : sđáy = 7iR2 = 7I.52 = 2571 [cm2]. Diện tích toàn phần của hình nón là : stp = 65ĩicm2 + 257icm2 = 907ICIT12. sxu Ta có Sxu = 7iRZ => / = —^7-. q tiR Đường sinh của hình nón là : ì = = 13 [cm]. 71.5 Đường cao của hình nón là : h = so = VsA2 - OA2 = Vl33 -55 = 12 [cm]. Thể tích của hình nón là : V = -Ị-7ĩR2h =4.7Ĩ.52.12 = 10071 [cm3]. 3 3 Gọi O' là trung điểm của so. Gọi A' là giao điểm của SA với mặt phẳng [P]. Ta có O'A' là đường trung bình của ASOA nên O'A' = 2,5cm. Thể tích của hình nón cụt là : Vnóncụt = j*.h[R2 + r2 + Rr] = |ti.6[52 + [2,5]2 + 5.2,5] = 87,5ti [cm3]. Nhận xét: Bạn có thể tính thể tích hình nón cụt bằng cách tính hiệu thể tích của hình nón lớn và hình nón nhỏ. Thể tích hình nón nhỏ là : v2^= - 7tr2h' = |-7ĩ[2,5]2.6 = 12,5 [cm3]. Thể tích hình nón cụt là : Vnón cụt = V - v2 = 100n - 12,571 = 87,571 [cm3]. c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa Giải Bán kính của hình tròn đáy là R = . Chiều cao của hình nón là h = 1. Đường sinh là l = Hình 158 Độ dài cung của hình quạt tròn bằng chu vi của hình tròn đáy. Do đó /] = 271.2 = 471 [cm]. Tacó/,-’1*'" --- 180J> => n = 180 7iR Số đo cung của hình quạt tròn là : 180.471 7T.6 = 120°. n = 7ĩ.a Trả lời: Chọn [D]. Trả lời: Chọn [A]. Trả lời : Dòng 1 : 20 ; I0V2 ; = 180°. 100071 17. Giải [h.159] Xét AAOC vuông tại o, A = 30° nên oc = — AC = . 2 2 Độ dài đường tròn đáy là 271.oc = Tta. Độ dài cung hình quạt là lỵ = 7ĩa. Số đo cung hình quạt là : 180.7t.a Dòng 2:5; 5V5 ; 25071 Dòng 3 107371.20^371 10 In+ 3 n ’ n ’ V 71 30 10 í * —; 71 71 120 5 r 5 — V 7T 71 71 Dòiịig 5:5; + 576. 21. Giải [h.160] • Phần hình nón có 1 = 30cm ; r = [35-2.10]: 2 = 7,5 [cm]. Diện tích mặt xung quanh của hình nón là : Sj = n.r.l = 71.7,5.30 = 22571 [cm2]. _ , nl\ Ta có —— = 7iR/ => I = 4R. Phần hình vành khăn có : r = 7,5cm ; R = 17,5cm. Diện tích hình vành khăn là : $2 = 7i[R2 - r2] = 7i[[17,5]2 - [7,5]2] = 25Ơ7I [cm2]. Diện tích vải cần có là : s = s, + Sj = 22571 + 250tĩ = 47571 [cm2] « 1491,5 [cm2]. 22. Trả lời: Tổng thể tích của hai hình nón bằng thể tích hình trụ. 23. Giải [h. 161] Tĩí' ~4 Vậy since = — = -77- = -ị => a ~ 14°28'. I 4R 4 Hướng dẫn : Tính bán kính đáy được 3272 đường cao so - —j— em. .72 2 Suy ra tga =-^-. Chọn [A]. Đáp số: 7i[a + b]/. Trử lời Dòng 1 : 10cm ; 13cm ; lOOTtcm3. Dòng 2 : 8cm ; 17cm ; 3207icm3. Dòng 3 : 14cm ; 24cm ; 3927icm3. Dòng 4 : 20cm ; 21 em ; 28007ĩcm3. 27. Giải [h. 162] Phần hình trụ có R = 70cm ; h = 70cm. Phần hình nón có R = 70cm ; h = 90cm. Đường sinh của hình nón là : = 77O2 + 902 = 1 o7Ĩ3Õ [em]. Tổng thê tích cúa dụng cụ là : V = V, + v2 = 7t.702.70 + ịĩĩ.702.90 3 = 490 OOOtl [cm3] =*0,4971 [m3]. 55 833 [cm2] ~ 5,58m2. Tổng diện tích mặt ngoài của dụng cụ là : s = Sị + s2 = 2tl.70.70 + 71.70.10 7ĨÌÕ Nhận xét : Để tính được thể tích của hình trụ cũng như của hình nón ta cần biết hai yếu tố là R và h. Để tính được diện tích xung quanh của hình trụ ta cũng chỉ cần biết R và h, còn đối với diện tích xung quanh của hình nón ta cần biết R và l. Hướng dẫn [h. 163] Đã biết R, r và /, tính được Sxq = 108071 [cm2]. Tính SO và SO' rồi tính hiệu của chúng. Đó là chiều cao của hình nón cụt 00' = 24722 = 34 [cm]. Thể tích của hình nón cụt là V = 25302 [cm3] = 25,3 lít. Giải. Ta có công thức tính thể tích hình nón 1 2. v = 7tlR 2h. 3 Thay số: 17600= |tlR2.42. 3 Suy ra R2 = 400,36, do đó R = 20,01 [cm]. D. Bài tập luyện thêm Từ một khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy là 9cm và chiều cao là 12cm người ta tiện thành một hình nón có thể tích lớn nhất. Tính thể tích phấn gỗ bị bỏ đi. Tính diện tích toàn phần của hình nón. Từ một tấm bìa hình quạt tròn có bán kính 36cm và góc ở tâm là 120° người ta cuộn lại để tạo thành một hình nón [mép dán không đáng kể]. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. Tính thể tích của hình nón này. Một hình nón cụt có thể tích 3 9207ĩcm3. Biết bán kính hai đáy là 12cm và 20cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt đó. > Hướng dẫn - Đáp số [h.164]. / / / /_ - XL 2 0 Hình 164 Thể tích của hình trụ là : Vj = 7ĩR2h = 7I.92.12 = 972tt [cm3]. Thể tích hình nón lớn nhất là : 1 7iR2h = ị 7I.92.12 = 324 [cm3]. 3 3 Thể tích phần gỗ bỏ đi là : = 97271 - 32471 = 64871 [cm3], Đường sinh của hình nón là : / = Vl22 +92 = 15 [cm]. Diện tích toàn phần của hình nón là : stp = ttR/ + 7iR2 = 71.9.15 + 71.92 = 216ti [cm2]. 2. [h.165]. a] Diện tích tấm bìa hình quạt là : 7iR2n 71.36 .120 _ . 2, = 43271 [cm ]. 360 360 Vậy diện tích xung quanh của hình nón là 4327Tcm b] Độ dài cung hình quạt 120° là : 7iRn 7T.36.12O 180 180 Bán kính của đáy hình nón là : 24tt = 2471 [cm]. 2tt = 12 [cm]. Chiều cao của hình nón là : h = V362 -122 = 24V2 [cm]. Thể tích của hình nón là : v= ị7ir2h= 1tt.122.2472 = 1152^2 71 [cm3]. 3 3 3. [h. 166]. Từ công thức tính thể tích hình nón cụt v = |n.h[R2 + r2 + Rr]. Suy ra h - — \—-— 7I[R + r + Rr] 15 [cm]. 3.3920k k.[202 + 122 +20.12] Độ dài đường sinh của hình nón cụt là : / = Va'H2 + HA2 = x/l52 +82 = 17 [cm]. Diện tích xung quanh của hình nón cụt là : Sxq = rc[R + r]./ = 71[20 + 12]. 17 - 54471 [cm2].
Công thức tính diện tích và thể hình nón cụt được áp dụng khá nhiều trong các bài toán hình học cơ bản. Khác với công thức tính diện tích hình nón thông thường, hình nón cụt có hai mặt đỉnh và đáy đều phẳng dẫn tới công thức áp dụng cũng rất khác.
Cách tính thể tích, diện tích của hình nón cụt
Tuy nhiên nếu biết cách phân biệt giữa hai loại hình học này, việc tính diện tích và thể tích hình nón cụt sẽ khá dễ dàng. Hình nón cụt cũng được áp dụng cùng với công thức tính diện tích và thể tích hình trụ do sự tương quan hình học.
Tổng hợp công thức tính diện tích, thể tích hình nón cụt
1. Công thức và cách tính diện tích hình nón cụt
1.1. Công thức tính diện tích toàn phần của hình nón cụt:
Stp = π.[r1 + r2].l + πr12 + πr22
Trong đó:
- r1, r2: Bán kính mặt đáy của hình nón cụt. Mặt đáy của hình nón cụt là mặt tròn. Các bạn có thể tìm hiểu mặt đáy này bằng cách xem thêm trên Wikipedia bài viết về mặt tròn.
- l: Độ dài đường sinh của hình nón cụt.
- π: số Pi [xấp xỉ 3,14].
- Ví dụ cách tính diện tích toàn phần hình nón cụt
Cho một hình nón cụt có bán kính hai mặt đáy r1 và r2 lần lượt bằng 5cm và 7cm. sinh l nối từ đỉnh tới đáy hình nón là 6cm. Hỏi diện tích toàn phần của hình nón này bằng bao nhiêu?
Áp dụng theo công thức tính diện tích toàn phần của hình nón cụt, ta có r1 = 5cm, r2 = 7cm và chiều dài đường sinh l = 6cm. Suy ra diện tích toàn phần của hình nón cụt khi áp dụng theo công thức như sau:
Stp = π.[5 + 7].4 + [π.52 + π.72] = π.12.4 + [π.25 + π.49] = 383,08 [cm2].
Như vậy diện tích toàn phần của hình nón cụt này bằng xấp xỉ 383,08 cm2.
1.2. Công thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt:
Sxq = π.[r1 + r2].l
Trong đó:
- r1, r2: Hai mặt đáy của hình nón cụt
- l: Đường sinh của hình nón cụt
- π: số Pi [xấp xỉ 3,14]
- Ví dụ cách tính diện tích xung quanh hình nón cụt:
Cùng áp dụng với bài toán trên, ta có cách tính diện tích xung quanh hình nón cụt được áp dụng theo công thức sau: r1 = 5cm , r2 = 7cm và đường sinh l = 6cm
Sxq = π.[r1 + r2].l = π.[5 +7].6 ~ 226 cm2.
2. Công thức và cách tính thể tích hình nón cụt
- Công thức tính thể tích hình nón cụt
V = 1/3π.h.[r12 + r1.r2+ r22]
Trong đó:
- r1, r2 : Hai mặt đáy của hình nón cụt.
- h : Chiều cao nối giữa hai đáy của hình nón cụt.
- π: số Pi [xấp xỉ 3,14].
- Ví dụ cách tính thể tích hình nón cụt
Cho một hình nón cụt có bán kính hai mặt đáy r1 và r2 lần lượt bằng 5cm và 9cm. Chiều cao nối giữa hai bán kính mặt đáy này có độ dài 8cm. Hỏi diện tích toàn phần của hình nón này bằng bao nhiêu?
Áp dụng theo công thức tính thể tích hình nón cụt ta có: r1 = 5cm, r2 = 9cm, h = 8cm.
V = 1/3π.8. [52 + 5.9 +92] = 1264,37 [cm3].
Như vậy thể tích của hình nón cụt này bằng xấp xỉ 1264,367 cm3.
Tổng hợp công thức tính diện tích và thể tích hình nón cụt là những công thức thường gặp nhất trong các bài toán hình học từ đơn giản đến phức tạp, hơn nữa bạn có thể sử dụng kết hợp giữa công thức tính diện tích và thể tích hình nón cụt và công thức tính thể tích hình trụ, đặc biệt trong các bài toán phức hợp, giao nhau giữa nhiều hình.
Cùng với công thức tính thể tích hình trụ, tổng hợp công thức tính diện tích hình tam giác, hình vuông và hình chữ nhật cũng được sử dụng khác phổ biến. Tuy nhiên khác với hình học không gian, hình học phẳng và cách tính diện tích tam giác, hình vuông và hình chữ nhật rất khác. Do đó điều quan trọng nhất, đó là bạn cần phân biệt được hình học trong mặt phẳng và hình học không gian.
Khi học hình nón cụt, chắc chắn bạn cũng sẽ học qua cách tính thể tích hình nón [Có chóp nhọn], chính vì sự khác nhau này nên cách tính thể tích hình nón sẽ khác đôi chút với cách tính thể tích hình nón cụt bên trên.
Hình cầu cũng là một trong các hình mà bạn phải nghiên cứu trong chương trình học của mình, giống với các hình học khác, thì trong hình cầu cũng có cách tính diện tích và thể tích, để có cách tính thể tích hình cầu chuẩn xác nhất, mời các bạn theo dõi bài viết cách tính thể tích hình cầu mà Taimienphi đã giới thiệu. Chúc các bạn thành công!
Chúc các bạn thành công!
Cùng tham khảo hướng dẫn chi tiết và đầy đủ nhất về công thức, cách tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần, thể tích hình nón cụt để có thể áp dụng chính xác nhất khi giải toán trong sách hoặc các bài toán thực tế.
Giải bài tập trang 110, 111 SGK Toán 9 Tập 2 Cách tính thể tích hình nón, diện tích xung quanh và toàn phần hình nón, công thức tính Công thức tính diện tích hình chóp Công thức tính thể tích hình nón Giải bài tập trang 121 SGK Toán 8 Tập 2 Công thức tính thể tích hình trụ, diện tích xung quanh hình trụ và toàn phần