Đề bài
Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] có \[AB = a,BC = b,AA' = c\]. Gọi \[E\] và \[F\] lần lượt là những điểm thuộc cạnh \[BB'\] và \[DD'\] sao cho \[BE = \dfrac{1}{2}EB',DF = \dfrac{1}{2}FD'\]. Mặt phẳng \[\left[ {AEF} \right]\] chia khối hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] thành hai khối đa diện \[\left[ H \right]\] và \[\left[ {H'} \right]\]. Gọi \[\left[ {H'} \right]\] là khối đa diện chứa đỉnh \[A'\]. Hãy tính thể tích của \[\left[ H \right]\] và tỉ số thể tích của \[\left[ H \right]\] và \[\left[ {H'} \right]\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính thể tích các khối đa diện, sử dụng phương pháp phân chia khối đa diện.
- Từ đó suy ra tỉ số.
Lời giải chi tiết
Gọi \[I = CC' \cap \left[ {AEF} \right]\].
Vì \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {AEF} \right] \cap \left[ {ABB'A'} \right] = AE\\\left[ {AEF} \right] \cap \left[ {CDD'C'} \right] = FI\\\left[ {ABB'A'} \right]//\left[ {CDD'C'} \right]\end{array} \right.\] nên \[AE//FI\].
Tương tự \[AF//EI\] nên tứ giác \[AEIF\] là hình bình hành.
Trên cạnh \[CC'\] lấy điểm \[J\] sao cho \[CJ = DF\].
Dễ thấy \[FJ//CD//AB,\] \[FI = CD = AB\] nên \[ABJF\] là hình bình hành \[ \Rightarrow AF//BJ,AF = BJ\].
Suy ra \[EI//BJ,EI = BJ\] hay \[EBJI\] là hình bình hành \[ \Rightarrow BE = JI\].
Từ đó suy ra \[IJ = EB = DF = JC = \dfrac{c}{3}\]
Ta có \[{S_{BCIE}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{c + 2c}}{3}} \right]b = \dfrac{{bc}}{2}\]; \[{S_{DCIF}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{c + 2c}}{3}} \right]a = \dfrac{{ac}}{2}\]
Nên \[{V_{[H]}} = {V_{A.BCIE}} + {V_{A.DCIF}}\]\[ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{bc}}{2}.a + \dfrac{1}{3}.\dfrac{{ac}}{2}.b = \dfrac{{abc}}{3}\]
Lại có \[{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = abc\] \[ \Rightarrow {V_{[H']}} = \dfrac{2}{3}abc\]
\[ \Rightarrow \dfrac{{{V_{[H]}}}}{{{V_{[H']}}}} = \dfrac{1}{2}\].