Đề bài
Tìm các số c và β sao cho: \[\sin α + \cos α =c.\sin[α + β]\] với mọi α.
Lời giải chi tiết
Nếu có c và β để cho sinα + cosα =c.sin[α + β] với mọi α thì khi α = 0, ta được: 1 = Csinβ
Khi \[\alpha = {\pi \over 2} \Rightarrow 1 = C\cos \beta \]
Từ đó: C 0; \[\sin \beta = \cos \beta = {1 \over C}\]
Ta có:\[\sin \beta = \cos \beta\] \[ \Rightarrow \tan \beta = 1 \] \[\Rightarrow \beta = \frac{\pi }{4} + k\pi \]
+] Nếu\[\beta = \frac{\pi }{4} + k2\pi \Rightarrow C = \sqrt 2 \]
+] Nếu\[\beta = -\frac{3\pi }{4} + k2\pi \Rightarrow C = -\sqrt 2 \]
Vậy:
\[\left\{ \matrix{
\beta = {\pi \over 4} + k2\pi \,\,[k \in Z] \hfill \cr
C = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\]
hoặc
\[\left\{ \matrix{
\beta = -{{3\pi } \over 4} + k2\pi \,\,[k \in Z] \hfill \cr
C = - \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\]
Thử lại với cả hai trường hợp trên thì \[\sin α + \cos α =c.\sin[α + β]\] với mọi \[α\]
Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:
\[\eqalign{
& \sin \alpha + \cos \alpha\cr& = \sin \alpha + \sin [\alpha + {\pi \over 2}] \cr &= 2\sin [\alpha + {\pi \over 4}]cos{\pi \over 4} \cr
& = \sqrt 2 \sin [\alpha + {\pi \over 4}] \cr
& \sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha - \sin [{{3\pi } \over 2} - \alpha ]\cr& = 2\cos [{{3\pi } \over 4}]\sin [\alpha - {{3\pi } \over 4}] \cr
& = - \sqrt 2 \sin [\alpha - {{3\pi } \over 4}] \cr} \].
Cách khác:
\[\begin{array}{l}
\sin \alpha + \cos \alpha = c\sin \left[ {\alpha + \beta } \right]\\
\Leftrightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = c\left[ {\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha } \right]\\
\Leftrightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = c\sin \alpha \cos \beta + c\sin \beta \cos \alpha \\
\Leftrightarrow \sin \alpha \left[ {1 - c\cos \beta } \right] + \cos \alpha \left[ {1 - c\sin \beta } \right] = 0,\forall \alpha \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - c\cos \beta = 0\\
1 - c\sin \beta = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos \beta = \frac{1}{c}\\
\sin \beta = \frac{1}{c}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin \beta = \cos \beta = \frac{1}{c}
\end{array}\]