Đề bài
a] Với số \[a\] bất kì, chứng tỏ \[a\left[ {a + 2} \right] < {\left[ {a + 1} \right]^2}.\]
b] Chứng minh rằng : Trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Áp dụng hằng đẳng thức \[[a+b]^2=a^2+2ab+b^2\]
-Áp dụng tính chất:Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
\[\eqalign{ & 0 < 1 \Rightarrow {a^2} + 2a + 0 < {a^2} + 2a + 1 \cr & \Rightarrow {a^2} + 2a < {\left[ {a + 1} \right]^2} \cr & \Rightarrow a\left[ {a + 2} \right] < {\left[ {a + 1} \right]^2} \cr} \]
b] Gọi \[a,\, a + 1,\, a + 2\] là ba số nguyên liên tiếp, ta có:
\[{\left[ {a + 1} \right]^2} = {a^2} + 2a + 1\] \[[1]\]
\[a\left[ {a + 2} \right] = {a^2} + 2a\] \[[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[a^2+2a