Đề bài
Cho khối lăng trụ đứng \[ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] có đáy hình bình hành và góc \[BAD = {45^0}\]. Các đường chéoAC1vàDB1lần lượt tạo với đáy những góc450và600. Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2.
Lời giải chi tiết
Hình lăng trụ đã cho là hình lăng trụ đứng nên các cạnh bên vuông góc với đáy và độ dài cạnh bên bằng chiều cao của hình lăng trụ. Từ giả thiết ta suy ra :
Góc \[{C_1}AC = {45^0}\],góc \[{B_1}DB = {60^0}\].
Từ đó suy ra
\[AC = C{C_1} = 2,BD = 2\cot {60^0} = {2 \over {\sqrt 3 }}.\]
Áp dụng định lý hàm sốcôsinta có :
\[\eqalign{ & B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2AB.AD.\cos {45^0}, \cr & A{C^2} = D{C^2} + A{D^2} - 2DC.AD.\cos {135^0}, \cr} \]
Từ đó ta có:
\[\eqalign{ & B{D^2} - A{C^2} = - AB.AD.\sqrt 2 + DC.AD.\left[ { - \sqrt 2 } \right]\cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = - 2\sqrt 2 AB.AD \cr & \Rightarrow {4 \over 3} - 4 = - 2\sqrt 2 AB.AD \cr&\Rightarrow AB.AD = {8 \over {3.2\sqrt 2 }} = {4 \over {3\sqrt 2 }}. \cr & {V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = AB.AD.\sin {45^0}{\rm{.A}}{{\rm{A}}_1} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;= {4 \over {3\sqrt 2 }}.{{\sqrt 2 } \over 2}.2 = {4 \over 3}. \cr} \]