Đề bài
Cho các đa thức:
\[P\left[ x \right] = {x^5} - 2{x^4} + {x^2} - x + 1\]
\[Q\left[ x \right] = 6 - 2x + 3{x^3} + {x^4} - 3{x^5}\]
Tính \[P[x] - Q[x]\] và \[Q[x] - P[x]\]. Có nhận xét gì về các hệ số của hai đa thức tìm được ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa giảm của biến.
- Để trừ hai đa thức, ta có thể đặt phép tính theo cột dọc tương tự như trừ các số [chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột].
Lời giải chi tiết
\[P\left[ x \right] - Q\left[ x \right] \] \[=\left[ {{x^5} - 2{x^4} + {x^2} - x + 1} \right]\] \[ - \left[ {6 - 2x + 3{x^3} + {x^4} - 3{x^5}} \right]\]
\[ = {x^5} - 2{x^4} + {x^2} - x + 1\] \[ - 6 + 2x - 3{x^3} - {x^4} + 3{x^5}\]
\[ =-5+ \left[ { - x + 2x} \right] + {x^2} - 3{x^3}\]\[\, - \left[ {2{x^4} + {x^4}} \right] \]\[\,+ \left[ {{x^5} + 3{x^5}} \right]\]
\[ = - 5 + x + {x^2} - 3{x^3} - 3{x^4} + 4{x^5}\]
\[Q\left[ x \right] - P\left[ x \right] = \]\[\left[ {6 - 2x + 3{x^3} + {x^4} - 3{x^5}} \right]\] \[ - \left[ {{x^5} - 2{x^4} + {x^2} - x + 1} \right]\]
\[ = 6 - 2x + 3{x^3} + {x^4} - 3{x^5}\] \[ - {x^5} + 2{x^4} - {x^2} + x - 1\]
\[ = \left[ {6 - 1} \right] + \left[ { - 2x + x} \right] - {x^2} + 3{x^3}\]\[ + \left[ {{x^4} + 2{x^4}} \right] - \left[ {3{x^5} + {x^5}} \right]\]
\[ = 5 - x - {x^2} + 3{x^3} + 3{x^4} - 4{x^5}\]
Các hệ số của \[P[x] -Q[x]\] là : \[-5;\;1;\;1;\;-3;\;-3;\;4.\]
Các hệ số của \[Q[x] -P[x]\] là : \[5;\;-1;\;-1;\;3;\;3;\;-4.\]
Các hệ số của hai đa thức trên là các số đối nhau.
Chú ý:Ta gọi 2 đa thức có các hệ số tương ứng đối nhau là đa thức đối nhau.