Đề bài
Câu 1. Tìm điểm M trên đường thẳng \[\Delta : - x + y + 2 = 0\] cách đều hai điểm \[A\left[ { - 2;4} \right]\] và \[B\left[ {4;0} \right]\]
Câu 2. Một hình bình hành có hai đường thẳng chứa hai cạnh có phương trình là \[5x + 2y + 6 = 0\] và \[3x - y - 3 = 0\] và một đỉnh là \[A\left[ { - 1;4} \right]\] . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại nữa của hình bình hành đó.
Lời giải chi tiết
Câu 1.
Cách 1.
Ta có: \[ - x + y + 2 = 0 \Leftrightarrow x = y + 2\]
Phương trình tham số của \[\Delta :\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = t \hfill \cr} \right.\] . Điểm \[M \in \Delta \] có tọa độ \[\left[ {2 + t;t} \right]\] . M cách đều A và B nghĩa là
\[MA = MB \]
\[\Leftrightarrow {\left[ { - 4 - t} \right]^2} + {\left[ {4 - t} \right]^2} = {\left[ {2 - t} \right]^2} + {\left[ {0 - t} \right]^2} \]
\[\Leftrightarrow t = - 7\] .
Vậy \[M = [-5;-7]\]
Cách 2. Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left[ {6; - 4} \right]\] và trung điểm của AB là \[I\left[ {1;2} \right]\]. Phương trình đường trung trực d của AB là \[6\left[ {x - 1} \right] - 4\left[ {y - 2} \right] = 0 \]\[\,\Leftrightarrow 3x - 2y + 1 = 0\] .
Điểm \[M \in \Delta \] cách đều A và B là giao điểm của \[\Delta \] và d có tọa độ thỏa mãn hệ
\[\left\{ \matrix{ - x + y + 2 = 0 \hfill \cr 3x - 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 5 \hfill \cr y = - 7 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\] .
Vậy \[M\left[ { - 5; - 7} \right]\]
Câu 2.
Nhận xét điểm \[A\left[ {1;4} \right]\] không thuộc hai đường thẳng đã cho. Suy ra đỉnh C của hình bình hành là giao điểm của hai đường thẳng đã cho nên có tọa độ thỏa mãn hệ
\[\left\{ \matrix{ 5x + 2y + 6 = 0 \hfill \cr 3x - y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = - 3 \hfill \cr} \right.\]
Phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành
\[5\left[ {x + 1} \right] + 2\left[ {y - 4} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow 5x + 2y - 3 = 0\].
\[3\left[ {x + 1} \right] - \left[ {y - 4} \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow 3x - y + 7 = 0\].
Tọa độ các đỉnh còn lại thỏa mãn các hệ
\[\left\{ \matrix{ 5x + 2y + 6 = 0 \hfill \cr 3x - y + 7 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - {{20} \over {11}} \hfill \cr y = {{17} \over {11}} \hfill \cr} \right.\]
\[\left\{ \matrix{ 3x - y - 3 = 0 \hfill \cr 5x + 2y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {9 \over {11}} \hfill \cr y = - {6 \over {11}} \hfill \cr} \right.\]
Vậy các đỉnh còn lại của hình bình hành là \[\left[ {0; - 3} \right],\left[ { - \dfrac{{20}}{{11}};\dfrac{{17}}{{11}}} \right],\left[ {\dfrac{9}{{11}}; - \dfrac{6}{{11}}} \right].\]