- Đề bài
- LG bài 1
- LG bài 2
- LG bài 3
- LG bài 4
- LG bài 5
Đề bài
Bài 1 [3 điểm]:
Giải các phương trình sau:
a] \[7x - 8 = 5x\]
b] \[\left[ {3x + 1} \right]\left[ {x - 7} \right] = 0\]
c] \[\dfrac{{x - 3}}{5} - \dfrac{{7x + 1}}{3} = \dfrac{{2x - 5}}{{15}}\]
Bài 2 [1 điểm]:
Giải bất phương trình: \[13x - 7 \le 24x + 15\]
Bài 3 [2 điểm]:
Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là \[15m\]. Nếu tăng chiều rộng \[5m\] và giảm chiều dài \[3m\] thì diện tích miếng đất tăng \[80{m^2}\]. Tính kích thước miếng đất hình chữ nhật lúc đầu.
Bài 4 [1 điểm]:
Sau khi xem bảng giá, mẹ bạn Lan đưa \[350\,\,000\] đồng nhờ An mua một cái bàn ủi và một bộ lau nhà. Hôm nay đúng đợt khuyến mãi, bàn ủi giảm \[10\% \], bộ lau nhà giảm \[20\% \] nên Lan chỉ phải trả \[300\,\,000\] đồng. Hỏi giá tiền một cái bàn ủi, một bộ lau nhà khi chưa giảm giá là bao nhiêu?
Bài 5 [3 điểm]:
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] \[\left[ {AB < AC} \right]\]. Kẻ đường cao \[AH\left[ {H \in BC} \right]\].
a] Chứng minh \[\Delta BHA\] đồng dạng với \[\Delta BAC\].
b] Chứng minh \[A{H^2} = HB.HC\].
c] Vẽ \[HM\] vuông góc với \[AC\] tại \[M\]. Qua \[A\] vẽ đường thẳng song song với \[BC\] cắt đường thẳng \[HM\] tại \[I\], vẽ \[IN\] vuông góc với \[BC\] tại \[N\]. Chứng minh rằng \[HM.IC = HC.MN\].
HẾT
LG bài 1
Phương pháp giải:
a] Chuyển vế đưa về giải phương trình bậc nhất một ẩn \[ax + b = 0\left[ {a \ne 0} \right]\] \[ \Leftrightarrow x = - \dfrac{b}{a}\]
b] Giải phương trình tích \[A\left[ x \right].B\left[ x \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left[ x \right] = 0\\B\left[ x \right] = 0\end{array} \right.\]
c] Qui đồng, bỏ mẫu rồi đưa về giải phương trình bậc nhất một ẩn
Lời giải chi tiết:
a] \[7x - 8 = 5x\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 7x - 5x = 8\\ \Leftrightarrow 2x = 8\\ \Leftrightarrow x = 8:2\\ \Leftrightarrow x = 4\end{array}\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = 4.\]
b] \[\left[ {3x + 1} \right]\left[ {x - 7} \right] = 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 1 = 0\\x - 7 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - 1\\x = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{3}\\x = 7\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy tập nghiệm của phương trình \[S = \left\{ { - \dfrac{1}{3};7} \right\}\]
c] \[\dfrac{{x - 3}}{5} - \dfrac{{7x + 1}}{3} = \dfrac{{2x - 5}}{{15}}\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{3\left[ {x - 3} \right]}}{{15}} - \dfrac{{5\left[ {7x + 1} \right]}}{{15}} = \dfrac{{2x - 5}}{{15}}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\left[ {x - 3} \right] - 5\left[ {7x + 1} \right] = 2x - 5\\ \Leftrightarrow 3x - 9 - 35x - 5 = 2x - 5\end{array}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 32x - 14 = 2x - 5\\ \Leftrightarrow - 32x + 2x = - 5 + 14\\ \Leftrightarrow - 30x = 9\\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{9}{{30}}\\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{3}{{10}}\end{array}\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = - \dfrac{3}{{10}}\].
LG bài 2
Phương pháp giải:
Chuyển vế đưa về giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[13x - 7 \le 24x + 15\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 13x - 24x \le 7 + 15\\ \Leftrightarrow - 11x \le 22\\ \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{ - 22}}{{11}}\\ \Leftrightarrow x \ge - 2\end{array}\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[S = \left\{ {x|x \ge - 2} \right\}\]
LG bài 3
Phương pháp giải:
Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
B1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
B2: Lập phương trình và giải phương trình
B3: So sánh điều kiện và kết luận
Lời giải chi tiết:
Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là \[15m\]. Nếu tăng chiều rộng \[5m\] và giảm chiều dài \[3m\] thì diện tích miếng đất tăng \[80{m^2}\]. Tính kích thước miếng đất hình chữ nhật lúc đầu.
Gọi chiều rộng hình chữ nhật là \[x\] [m] \[\left[ {x > 0} \right]\]
Chiều dài hình chữ nhật là \[x + 15\] [m]
Diện tích miếng đất hình chữ nhật ban đầu là: \[x\left[ {x + 15} \right]\] \[\left[ {{m^2}} \right]\]
Tăng chiều rộng 5m ta được chiều rộng mới là \[x + 5\] [m]
Giảm chiều dài 3m ta được chiều dài mới là \[x + 15 - 3 = x + 12\] [m]
Diện tích miếng đất mới là \[\left[ {x + 5} \right]\left[ {x + 12} \right]\] \[\left[ {{m^2}} \right]\]
Vì diện tích hình chữ nhật mới tăng \[80{m^2}\] so với ban đầu nên ta có phương trình:
\[\left[ {x + 5} \right]\left[ {x + 12} \right] - x\left[ {x + 15} \right] = 80\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 12x + 60\] \[ - {x^2} - 15x = 80\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x = 80 - 60\\ \Leftrightarrow 2x = 20\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow x = 10\] [thỏa mãn điều kiện]
Vậy chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là 10m
Chiều dài hình chữ nhật ban đầu là \[10 + 15 = 25m\]
LG bài 4
Phương pháp giải:
- Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
- Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết và đã biết theo ẩn.
- Bước 3: Lập phương trình.
- Bước 4: Giải phương trình và kết luận nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Gọi số tiền một cái bàn ủi ban đầu là \[x\] [đồng, \[0 < x < 350\,\,000\]]
\[ \Rightarrow \]Số tiền một bộ lau nhà ban đầu là \[350\,\,000 - x\] [đồng]
Giá tiền bàn ủi sau khi giảm \[10\% \] là: \[x - 10\% x = x - 0,1x\] \[ = \left[ {1 - 0,1} \right]x = 0,9x\]
Giá tiền bộ lau nhà sau khi giảm \[20\% \] là:
\[\begin{array}{l}\left[ {350\,\,000 - x} \right] - 20\% .\left[ {350\,\,000 - x} \right]\\ = \left[ {350\,\,000 - x} \right] - 0,2\left[ {350\,\,000 - x} \right]\\ = \left[ {350\,\,000 - x} \right]\left[ {1 - 0,2} \right]\\ = \left[ {350\,\,000 - x} \right].0,8\\ = 280\,\,000 - 0,8x\end{array}\]
Sau khi giảm giá, An chỉ phải trả \[300\,\,000\] nên ta có phương trình:
\[\begin{array}{l}0,9x + \left[ {280\,\,000 - 0,8x} \right] = 300\,\,000\\ \Leftrightarrow 0,9x + 280\,\,000 - 0,8x = 300\,\,000\\ \Leftrightarrow 0,1x = 20\,000\\ \Leftrightarrow x = 200\,\,000\,\,\,\left[ {TM} \right]\\ \Rightarrow y = 350\,\,000 - 200\,\,000 = 150\,\,000\end{array}\]
Vậy giá một cái bàn ủi ban đầu là \[200\,\,000\] đồng; giá một bộ lau nhà ban đầu là \[150\,\,000\] đồng.
LG bài 5
Phương pháp giải:
a] Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc - góc.
b] Từ câu a suy ra các tỉ số bằng nhau, từ đó suy ra đpcm.
c] Gọi D là giao điểm của IN và MC.
Chứng minh \[\Delta DMI \backsim \Delta DNC\] suy ra \[\Delta DNM \backsim \Delta DCI\]
Từ đó suy ra \[\widehat {DNM} = \widehat {DCI}\] và \[\widehat {HNM} = \widehat {MIC}\].
Chứng minh \[\Delta HNM \backsim \Delta HIC\] và suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết:
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] \[\left[ {AB < AC} \right]\]. Kẻ đường cao \[AH\left[ {H \in BC} \right]\].
a] Chứng minh \[\Delta BHA\] đồng dạng với \[\Delta BAC\].
Tam giác ABC vuông tại A nên \[\widehat {BAC} = {90^0}\].
AH là đường cao của tam giác nên \[AH \bot BC \Rightarrow \widehat {AHB} = {90^0}\].
Xét \[\Delta BHA\] và \[\Delta BAC\] có:
\[\begin{array}{l}\widehat {BHA} = \widehat {BAC} = {90^0}\\\widehat B\,\,chung\end{array}\]
\[ \Rightarrow \Delta BHA \backsim \Delta BAC\left[ {g - g} \right]\] [đpcm]
b] Chứng minh \[A{H^2} = HB.HC\].
Theo câu a, \[\Delta BHA \backsim \Delta BAC\] \[ \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {BCA} = \widehat {HCA}\] [góc tương ứng]
Xét \[\Delta BHA\] và \[\Delta AHC\] có:
\[\begin{array}{l}\widehat {BHA} = \widehat {AHC} = {90^0}\\\widehat {BAH} = \widehat {HCA}\left[ {cmt} \right]\\ \Rightarrow \Delta BHA \backsim \Delta AHC\left[ {g - g} \right]\end{array}\]
\[ \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{AH}} = \dfrac{{HA}}{{HC}}\] [cạnh tương ứng]
\[ \Rightarrow A{H^2} = HB.HC\] [đpcm].
c] Vẽ \[HM\] vuông góc với \[AC\] tại \[M\]. Qua \[A\] vẽ đường thẳng song song với \[BC\] cắt đường thẳng \[HM\] tại \[I\], vẽ \[IN\] vuông góc với \[BC\] tại \[N\]. Chứng minh rằng \[HM.IC = HC.MN\].
Gọi \[D\] là giao điểm của \[IN\] và \[MC\].
Xét \[\Delta DMI\] và \[\Delta DNC\] có:
\[\widehat {DMI} = \widehat {DNC} = {90^0}\]
\[\widehat {MDI} = \widehat {NDC}\] [đối đỉnh]
\[ \Rightarrow \Delta DMI \backsim \Delta DNC\left[ {g - g} \right]\]
\[ \Rightarrow \dfrac{{DM}}{{DN}} = \dfrac{{DI}}{{DC}}\] [cạnh tương ứng]
\[ \Rightarrow \dfrac{{DM}}{{DI}} = \dfrac{{DN}}{{DC}}\]
Xét \[\Delta DMN\] và \[\Delta DIC\] có:
\[\widehat {MDN} = \widehat {IDC}\] [đối đỉnh]
\[\dfrac{{DM}}{{DI}} = \dfrac{{DN}}{{DC}}\left[ {cmt} \right]\]
\[ \Rightarrow \Delta DMN \backsim \Delta DIC\left[ {c - g - c} \right]\]
\[ \Rightarrow \widehat {DNM} = \widehat {DCI}\] [góc tương ứng]
Lại có,
\[\begin{array}{l}\widehat {DNM} + \widehat {MNH} = {90^0}\\\widehat {DCI} + \widehat {CIM} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {MNH} = \widehat {CIM} = \widehat {HIC}\end{array}\]
Xét \[\Delta HNM\] và \[\Delta HIC\] có:
\[\begin{array}{l}\widehat {MNH} = \widehat {HIC}\left[ {cmt} \right]\\\widehat H\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta HNM \backsim \Delta HIC\left[ {g - g} \right]\end{array}\]
\[ \Rightarrow \dfrac{{HM}}{{HC}} = \dfrac{{MN}}{{IC}}\] [cạnh tương ứng]
\[ \Rightarrow HM.IC = HC.MN\] [đpcm].
HẾT