Đề thi học kì 2 Toán 10 Nguyễn Tất Thành
|
Học Điện Tử Cơ Bản VN mời các bạn học trò lớp 10 thử sức với Đề thi thử môn Toán lớp 10 học kì 2 trường THPT Nguyễn Tất Thành 5 học 2019-2020 được các bạn học trò trên khu vực tỉnh tham khảo. Đây sẽ là tài liệu ôn thi rất có ích giúp các em bổ sung kiến thức đã mất. Cấu trúc đề rà soát học kì 2 lớp 10 môn Toán trường THPT Nguyễn Tất Thành 5 học 2019-2020 gồm 12 câu hỏi tuyển lựa và 5 câu hỏi dạng tự luận, thời kì làm bài là 90 phút ko có thời kì dàn trải câu hỏi, các em học trò sử dụng cho thẩm quyền khắc phục. Đề thi thử môn Toán lớp 10 trường THPT Nguyễn Tất Thành 5 học 2019-2020 lần 2: 1 số câu hỏi hay về chủ đề: 1. Trong mặt phẳng kết hợp Oxy, đường tròn (C): $ x ^ 2 + y ^ 2-6x + 4y-12 = 0 $ a) Viết số tiếp tuyến của đường tròn (C) trong diện tích A (1; 1) b) Viết số của đường thẳng ∆ dọc theo đường thẳng dx y: $ 3x-4y-2 = 0 $ rồi cắt đường tròn (C) bởi 2 điểm AB sao cho độ dài AB = 8 tam giác ABC đã cho. Chứng minh $ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC $. Trên đây Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 10 trường THPT Nguyễn Tất Thành 5 học 2019 – 2020 có đáp án sẽ được Học Điện Tử Cơ Bản VN tổng hợp sớm nhất, mời các bạn để mắt theo dõi. xem thêm Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh An Giang 5 học 2020-2021 đáng tin tưởng đây.
Học Điện Tử Cơ Bản VN mời các em học trò lớp 10 thử sức mình với Đề thi học kì 2 môn toán 10 trường THPT Nguyễn Tất Thành 5 học 2019 2020 vừa được các bạn học trò trong tỉnh kết thúc chỉ cần khoảng gần đây. Đây sẽ là tài liệu thi cực kỳ quý giá giúp các em bổ sung tri thức còn thiếu cho mình. Cấu trúc của Đề thi học kì 2 môn toán 10 trường THPT Nguyễn Tất Thành 5 học 2019 2020 gồm 12 câu trắc nghiệm va 5 câu hỏi dạng tự luận, thời kì làm bài là 90 phút ngoại trừ thời kì phát đề, học trò ko được dùng tài liệu tham khảo. Đề thi học kì 2 môn toán 10 trường THPT Nguyễn Tất Thành 5 học 2019 2020: 1 Số câu hỏi hay trong đề:1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):$x^2+y^2-6x+4y-12=0$a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A( 1;1) b) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng dx y :$3x-4y-2=0$ và cắtđường tròn (C) tại 2 điểm A B, sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 8Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng $sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC$.Trên đây là Đề thi học kì 2 môn toán 10 trường THPT Nguyễn Tất Thành 5 học 2019 2020, đáp án sẽ được Học Điện Tử Cơ Bản VN cập nhật chỉ cần khoảng sớm nhất, các em để mắt theo dõi nha. Xem thêm Đề thi tham khảo vào lớp 10 môn Toán tỉnh An Giang 5 học 2020-2021 ở đây. [rule_2_plain] [rule_3_plain]#Đề #thi #học #kì #môn #toán #trường #THPT #Nguyễn #Tất #Thành #5 #học
Related Articles
Cập nhật đề thi học kì 2 lớp 8 môn Toán của trường THCS&THPT Nguyễn Tất Thành năm học 2021-2022 Đề thi học kì 2 lớp 8 môn Toán - THCS&THPT Nguyễn Tất Thành năm 2022 Câu 2. Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt? B.6 mặt. C. 12 mặt. D. 8 mặt. A. 4 mặt. Theo TTHN Xem thêm tại đây: Đề thi học kì 2 lớp 8 | Đề thi học kì 2 lớp 8 môn Toán Đề thi HK2 môn Toán lớp 10 THPT Nguyễn Tất Thành 2018-2019Đề kiểm tra học kì 2 môn Toán lớp 10 trường THCS & THPT Nguyễn Tất Thành, ĐH sư phạm Hà Nội, năm học 2018-2019. Thời gian làm bài 90 phút.
Đề bài Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm \(A(1;3)\)và \(B( - 3;5)\). Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường tròn đường kính \(AB\)? A. \({(x - 1)^2} + {(y + 4)^2} = 5\) B. \({(x - 1)^2} + {(y + 4)^2} = 25\) C. \({(x + 1)^2} + {(y - 4)^2} = 25\) D. \({(x + 1)^2} + {(y - 4)^2} = 5\) Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} + {y^2} + 2mx - 4(m + 1)y\)\( + 4{m^2} + 5m + 2 = 0\) là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Oxy. A. \( - 2 < m < - 1\) B. \(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 2\end{array} \right.\) C. \(\left[ \begin{array}{l}m < - 2\\m > - 1\end{array} \right.\) D. \(\left[ \begin{array}{l}m \le - 2\\m \ge - 1\end{array} \right.\) Câu 3. Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\cos x + \sin x}}\) ta được A. \(P = |\cos x - \sin x|\) B. \(P = \sin x - \cos x\) C. \(P = \cos x - \sin x\) D. \(P = \cos x + \sin x\) Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \((C):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 9\) và đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 2m + 4 = 0\)(trong đó \(m\) là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn \((C)\). Tích các số thuộc tập hợp S bằng: A. \( - 36\) B. \(12\) C. \( - 56\) D. \( - 486\) Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \((C):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\). Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\)của đường tròn \((C)\). A. \(I( - 1;2),R = 2\) B. \(I( - 1;2),R = 4\) C. \(I(1; - 2),R = 2\) D. \(I(1; - 2),R = 4\) Câu 6. Cho biết \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) và \(\sin x = \frac{1}{3}\). Tính \(\cos x\). A. \(\cos x = \frac{2}{3}\) B. \(\cos x = - \frac{2}{3}\) C. \(\cos x = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\) D. \(\cos x = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\) Câu 7. Cho \(a,b \in \mathbb{R}\)là hai số thực bất kì. Xét các mệnh đề sau Mệnh đề 1: \(\sin (a + b)\)\( = \sin a\cos b + \sin b\cos a\). Mệnh đề 2: \(\sin (a - b)\)\( = \sin b\cos a - \sin a\cos b\). Mệnh đề 3: \(\cos (a - b)\)\( = \cos a\cos b - \sin a\sin b\). Mệnh đề 4: \(\cos (a + b)\)\( = \cos a\cos b + \sin a\sin b\). Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là: A. \(0\) B. \(1\) C. \(2\) D. \(3\) Câu 8. Cho biết \(\sin x + \cos x = - \frac{1}{2}\). Tính \(\sin 2x\). A. \(\sin 2x = - \frac{3}{4}\) B. \(\sin 2x = \frac{3}{4}\) C. \(\sin 2x = \frac{1}{2}\) D. \(\sin 2x = - 1\) Câu 9. Cho biết \(\tan x = 5\). Tính giá trị biểu thức \(Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\). A. \(Q = 1\) B. \(Q = \frac{{19}}{{11}}\) C. \(Q = - 1\) D. \(Q = \frac{{11}}{9}\) Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip \((E):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tiêu cự của elip \((E)\) bằng A. \(4\) B. \(8\) C. \(16\) D. \(2\) Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định là \(A(2;0)\), \(B(0;2)\). Cho biết quỹ tích các điểm \(M\)thỏa mãn điều kiện \(M{A^2} + M{B^2} = 12\) là một đường tròn bán kính \(R\). Tìm \(R\). A. \(R = \sqrt 5 \) B. \(R = 4\) C. \(R = \sqrt 3 \) D. \(R = 2\) Câu 12. Cho biết \(\sin x + \sin y = \sqrt 3 \) và \(\cos x - \cos y = 1\). Tính \(\cos (x + y)\). A. \(\cos (x + y) = 1\) B. \(\cos (x + y) = - 1\) C. \(\cos (x + y) = 0\) D. \(\cos (x + y) = \frac{1}{2}\) PHẦN II: TỰ LUẬN (7 điểm). Câu 1: (2 điểm) 1. Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 6} = 2x - 1\). 2. Giải bất phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 3x + 4} \le x + 1\). Câu 2: (2 điểm) 1. Cho biết \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) và \(\tan a = - 2\). Tính \(\cos a\) và \(\cos 2a\). 2. Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C \)\(= 4\sin A\sin B\sin C\). Câu 3: (2,5 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): \({x^2} + {y^2} - 6x + 4y - 12 = 0\). a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm \(A( - 1;1)\). b) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) song song với đường thẳng \(d:3x - 4y - 2 = 0\) và cắt đường tròn (C) tại hai điểm \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) sao cho độ dài đoạn thẳng\(AB = 8\). 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip \((E):\;\;\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\). Gọi \({F_1},{F_2}\) là hai tiêu điểm của \((E)\) và điểm \(M \in (E)\) sao cho \(M{F_1} \bot M{F_2}\). Tính \(MF_1^2 + MF_2^2\) và diện tích \(\Delta M{F_1}{F_2}\). Câu 4: (0,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có số đo ba góc là \(A,B,C\) thỏa mãn điều kiện \(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} = \sqrt 3 \). Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) là tam giác đều. Lời giải chi tiết HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Thực hiện: Ban chuyên môn Loigiaihay.com PHẦN I: TRẮC NGHIỆM
Câu 1 (TH): Phương pháp: Đường tròn đường kính AB có tâm là trung điểm AB và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2}\). Công thức viết phương trình đường tròn biết tâm \(I\left( {a;b} \right)\) bán kính \(R\) là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) Cách giải: Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + \left( { - 3} \right)}}{2} = - 1\\{y_I} = \frac{{3 + 5}}{2} = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( { - 1;4} \right)\) \(AB = \sqrt {{{\left( { - 3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 3} \right)}^2}} \) \( = 2\sqrt 5 \) Đường tròn đường kính AB có tâm \(I\left( { - 1;4} \right)\) bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \) nên có phương trình: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\) hay \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\) Chọn D Câu 2 (TH): Phương pháp: Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0\). Cách giải: \({x^2} + {y^2} + 2mx - 4(m + 1)y\)\( + 4{m^2} + 5m + 2 = 0\) (1) Có \(a = - m,b = 2\left( {m + 1} \right),\) \(c = 4{m^2} + 5m + 2\) (1) là phương trình đường tròn \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0\\ \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} + 4{\left( {m + 1} \right)^2}\\ - \left( {4{m^2} + 5m + 2} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right)\\ - 4{m^2} - 5m - 2 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4{m^2} + 8m + 4\\ - 4{m^2} - 5m - 2 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3m + 2 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > - 1\\m < - 2\end{array} \right.\end{array}\) Chọn C Câu 3 (VD): Phương pháp: Sử dụng công thức: \(\begin{array}{l}\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\end{array}\) Thay vào biểu thức và rút gọn. Cách giải: Ta có: \(\begin{array}{l}P = \frac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\cos x + \sin x}} = \frac{{\cos 2x}}{{\cos x + \sin x}}\\ = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{\cos x + \sin x}}\\ = \frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{\cos x + \sin x}}\\ = \cos x - \sin x\end{array}\) Chọn C Câu 4 (TH): Phương pháp: Đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn (C) tâm I bán kính R \( \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R\) Cách giải: Đường tròn \((C):{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 9\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \(R = 3\). Đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn (C) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 4.2 - 2m + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {9 - 2m} \right|}}{5} = 3\\ \Leftrightarrow \left| {9 - 2m} \right| = 15\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9 - 2m = 15\\9 - 2m = - 15\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m = - 6\\2m = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = 12\end{array} \right.\end{array}\) Do đó \(S = \left\{ { - 3;12} \right\}\) nên tích cần tìm bằng \(\left( { - 3} \right).12 = - 36\). Chọn A Câu 5 (NB): Phương pháp: Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \) Cách giải: \((C):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\) Có \(a = 1,b = - 2,c = 1\) nên đường tròn (C) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - 1} = 2\) Chọn C Câu 6 (TH): Phương pháp: Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để tính \({\cos ^2}x\) Kết hợp điều kiện của \(x\) để suy ra dấu của \(\cos x\) và kết luận. Cách giải: Ta có: \(\begin{array}{l}{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\ \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + {\cos ^2}x = 1\\ \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\end{array}\) Mà \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) nên \(x\) thuộc góc phần tư thứ II \( \Rightarrow \cos x < 0\) Vậy \(\cos x = - \sqrt {\frac{8}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\) Chọn D Câu 7 (NB): Phương pháp: Sử dụng các công thức cộng để nhận xét từng mệnh đề. Cách giải: Ta có: \(\sin (a + b)\) \( = \sin a\cos b + \sin b\cos a\) nên mệnh đề 1 đúng. \(\sin (a - b)\) \( = \sin a\cos b - \sin b\cos a\)\( \ne \sin b\cos a - \sin a\cos b\) nên mệnh đề 2 sai. \(\cos (a - b)\) \( = \cos a\cos b + \sin a\sin b\) \( \ne \cos a\cos b - \sin a\sin b\) nên mệnh đề 3 sai \(\cos (a + b)\) \( = \cos a\cos b - \sin a\sin b\) \( \ne \cos a\cos b + \sin a\sin b\) nên mệnh đề 4 sai. Vậy có tất cả 1 mệnh đề đúng. Chọn B Câu 8 (VD): Phương pháp: Bình phương đẳng thức đã cho, sử dụng các công thức: \(\begin{array}{l}{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\\sin 2x = 2\sin x\cos x\end{array}\) Cách giải: Ta có: \(\begin{array}{l}\sin x + \cos x = - \frac{1}{2}\\ \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}\\ \Rightarrow \sin 2x = - \frac{3}{4}\end{array}\) Chọn A Câu 9 (TH): Phương pháp: - Chia cả tử và mẫu của Q cho \(\cos x\) để làm xuất hiện \(\tan x\). - Thay \(\tan x = 5\) vào tính giá trị của Q. Cách giải: \(\begin{array}{l}Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\\ = \frac{{\frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{\cos x + 2\sin x}}{{\cos x}}}}\\ = \frac{{3.\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 4.\frac{{\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{\cos x}}{{\cos x}} + 2.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}\\ = \frac{{3\tan x - 4}}{{1 + 2\tan x}}\end{array}\) Thay \(\tan x = 5\) ta được: \(Q = \frac{{3.5 - 4}}{{1 + 2.5}} = 1\) Chọn A Chú ý: Có thể làm cách khác như sau: \(\begin{array}{l}\tan x = 5 \Rightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 5\\ \Rightarrow \sin x = 5\cos x\\ \Rightarrow Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\\ = \frac{{3.5\cos x - 4\cos x}}{{\cos x + 2.5\cos x}}\\ = \frac{{11\cos x}}{{11\cos x}} = 1\end{array}\) Câu 10 (NB): Phương pháp: Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có tiêu cự \(2c\) với \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \). Cách giải: \(\begin{array}{l}(E):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\ \Rightarrow {a^2} = 25,\,\,\,{b^2} = 9\\ \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16\\ \Rightarrow c = 4\end{array}\) Vậy tiêu cự là \(2c = 2.4 = 8\). Chọn B Câu 11 (VD): Phương pháp: Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) thay và đẳng thức bài cho tìm mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\). Từ đó suy ra tập hợp điểm M. Cách giải: Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) ta có: \(AM = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 0} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} \) \( \Rightarrow M{A^2} = A{M^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2}\) \(BM = \sqrt {{{\left( {x - 0} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \) \( \Rightarrow M{B^2} = B{M^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\) Do đó, \(\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} = 12\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2}\\ + {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 12\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2}\\ + {x^2} + {y^2} - 4y + 4 = 12\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} - 4x - 4y - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0\end{array}\) Dễ thấy, phương trình trên là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {1^2} - \left( { - 2} \right)} = 2\). Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn \(M{A^2} + M{B^2} = 12\) là đường tròn tâm \(I\left( {1;1} \right)\) và bán kính \(R = 2\). Chọn D Câu 12 (VD): Phương pháp: Bình phương mỗi đẳng thức đã cho và cộng vế với vế các đẳng thức có được. Chú ý: \(\cos \left( {x + y} \right)\) \( = \cos x\cos y - \sin x\sin y\) Cách giải: Ta có: \(\begin{array}{l}\sin x + \sin y = \sqrt 3 \\ \Rightarrow {\left( {\sin x + \sin y} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\end{array}\) \( \Rightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\sin y + {\sin ^2}y\)\( = 3\) (1) \(\begin{array}{l}\cos x - \cos y = 1\\ \Rightarrow {\left( {\cos x - \cos y} \right)^2} = {1^2}\end{array}\) \( \Rightarrow {\cos ^2}x - 2\cos x\cos y + {\cos ^2}y\) \( = 1\) (2) Lấy (1) cộng (2) vế với vế ta được:  Chọn B PHẦN II: TỰ LUẬN Câu 1 (VD): Phương pháp: 1. Sử dụng \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {\left[ {g\left( x \right)} \right]^2}\end{array} \right.\) 2. Sử dụng \(\sqrt {f\left( x \right)} \le g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) \le {\left[ {g\left( x \right)} \right]^2}\end{array} \right.\) Cách giải: 1. Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 6} = 2x - 1\). Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 2x + 6} = 2x - 1\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\{x^2} - 2x + 6 = {\left( {2x - 1} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\{x^2} - 2x + 6 = 4{x^2} - 4x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\3{x^2} - 2x - 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \frac{5}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow x = \frac{5}{3}\end{array}\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{5}{3}.\) 2. Giải bất phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 3x + 4} \le x + 1\). Ta có: \(\sqrt { - {x^2} + 3x + 4} \le x + 1\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\ - {x^2} + 3x + 4 \ge 0\\ - {x^2} + 3x + 4 \le {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\ - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right) \ge 0\\ - {x^2} + 3x + 4 \le {x^2} + 2x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right) \le 0\\2{x^2} - x - 3 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\ - 1 \le x \le 4\\\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 4\\\left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{3}{2}\\x \le - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{3}{2} \le x \le 4\end{array}\) Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ {\frac{3}{2};4} \right]\) Câu 2 (VD): Phương pháp: 1. Sử dụng \(1 + {\tan ^2}a = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}};\) \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\) 2. Sử dụng \(A + B + C = {180^0};\) \(\sin \alpha = \sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right);\) \(\cos \alpha = \cos \left( { - \alpha } \right);\) \(\cos \alpha = \sin \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\). Cách giải: 1. Cho biết \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) và \(\tan a = - 2\). Tính \(\cos a\) và \(\cos 2a\). Ta có: \(\begin{array}{l}1 + {\tan ^2}a = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}\\ \Leftrightarrow 1 + {\left( { - 2} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}a}} = 5\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \frac{1}{5}\end{array}\) \( \Rightarrow \cos a = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) (vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \)) Lại có: \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\) \( = 2.{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} - 1\) \( = \frac{2}{5} - 1 = \frac{{ - 3}}{5}\) Vậy \(\cos a = - \frac{1}{{\sqrt 5 }};\) \(\cos 2a = \frac{{ - 3}}{5}\). 2. Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C\)\( = 4\sin A\sin B\sin C\). Ta có: \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C\) \(\begin{array}{l} = 2\sin \frac{{2A + 2B}}{2}\cos \frac{{2A - 2B}}{2} + \sin 2C\\ = 2\sin \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right) + 2\sin C\cos C\end{array}\) \( = 2\sin \left( {{{180}^0} - \left( {A + B} \right)} \right)\cos \left( {A - B} \right)\)\( + 2\sin C\cos C\) \( = 2\sin C.\cos \left( {A - B} \right)\) \( + 2\sin C\cos C\) \( = 2\sin C\left( {\cos \left( {A - B} \right) + \cos C} \right)\) \( = 2\sin C.2\cos \frac{{A - B + C}}{2}.\cos \frac{{A - B - C}}{2}\) \( = 4\sin C.\cos \frac{{A + C - B}}{2}.\cos \frac{{B + C - A}}{2}\) Ta có: \(\cos \frac{{A + C - B}}{2} = \sin \left( {{{90}^0} - \frac{{A + C - B}}{2}} \right)\) \( = \sin \left( {\frac{{A + B + C}}{2} - \frac{{A + C - B}}{2}} \right)\)\( = \sin B\) (do \(A + B + C = {180^0}\) ) \(\cos \frac{{B + C - A}}{2} = \sin \left( {{{90}^0} - \frac{{B + C - A}}{2}} \right)\) \( = \sin \left( {\frac{{A + B + C}}{2} - \frac{{B + C - A}}{2}} \right)\)\( = \sin A\) (do \(A + B + C = {180^0}\) ) Từ đó ta có: \(4\sin C.\cos \frac{{A + C - B}}{2}.\cos \frac{{B + C - A}}{2}\)\( = 4\sin A\sin B\sin C\) Hay \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C\). Câu 3 (VD): Phương pháp: 1. a) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua \(A\) và vuông góc với \(AI\) (\(I\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\)) Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) có phương trình: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\) b) Xác định được phương trình đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + c = 0\left( {c \ne - 2} \right)\) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) là: \(d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) 2. Sử dụng Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có \({b^2} + {c^2} = {a^2}\) và hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)\) Với \(M \in \left( E \right)\) thì \(M{F_1} + M{F_2} = 2a.\) Cách giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): \({x^2} + {y^2} - 6x + 4y - 12 = 0\). a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm \(A( - 1;1)\). Xét đường tròn \({x^2} + {y^2} - 6x + 4y - 12 = 0\) có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 12} \right)} \) \( = 5\) Tiếp tuyến tại điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\) vuông góc với \(AI\) nên nhận \(\overrightarrow {AI} = \left( {4; - 3} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(4\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 4x - 3y + 7 = 0\) b) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) song song với đường thẳng \(d:3x - 4y - 2 = 0\) và cắt đường tròn (C) tại hai điểm \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) sao cho độ dài đoạn thẳng \(AB = 8\).
Vì \(\Delta //d:3x - 4y - 2 = 0\) nên phương trình đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + c = 0\left( {c \ne - 2} \right)\) Gọi \(H\) là trung điểm của dây \(AB \Rightarrow IH \bot AB\) Ta có: \(IA = R = 5;\) \(HA = \frac{{AB}}{2} = 4\) Xét tam giác vuông \(AIH\), theo định lý Pytago ta có: \(IH = \sqrt {I{A^2} - A{H^2}} \) \( = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3\) Suy ra \(d\left( {I;\Delta } \right) = 3\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.3 - 4.\left( { - 2} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 3\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {17 + c} \right|}}{5} = 3\\ \Leftrightarrow \left| {17 + c} \right| = 15\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}17 + c = 15\\17 + c = - 15\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = - 2\left( {ktm} \right)\\c = - 32\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 32 = 0\). 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip \((E):\;\;\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\). Gọi \({F_1},{F_2}\) là hai tiêu điểm của \((E)\) và điểm \(M \in (E)\) sao cho \(M{F_1} \bot M{F_2}\). Tính \(MF_1^2 + MF_2^2\) và diện tích \(\Delta \;M{F_1}{F_2}\). Xét \((E):\;\;\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\) có \(a = 2;b = 1\) \( \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2}\) \( = 4 - 1 = 3\) \( \Rightarrow c = \sqrt 3 \) Hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) là \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) \( \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2\sqrt 3 \) Xét \(\Delta {F_1}M{F_2}\) vuông tại \(M\) (do \(M{F_1} \bot M{F_2}\)), theo định lý Pytago ta có: \(MF_1^2 + MF_2^2 = {F_1}F_2^2\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow MF_1^2 + MF_2^2 = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2}\\ \Leftrightarrow MF_1^2 + MF_2^2 = 12\end{array}\) Ta có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 4\) và \(MF_1^2 + MF_2^2 = 12\) Do đó: \(\begin{array}{l}{\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right)^2} = 16\\ \Leftrightarrow MF_1^2 + MF_2^2 + 2M{F_1}.M{F_2} = 16\\ \Leftrightarrow 12 + 2.M{F_1}.M{F_2} = 16\\ \Leftrightarrow M{F_1}.M{F_2} = 2\end{array}\) Vì tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại \(M\) nên \({S_{M{F_1}{F_2}}} = \frac{1}{2}M{F_1}.M{F_2}\) \( = \frac{1}{2}.2 = 1\) (đơn vị diện tích) Câu 4 (VDC): Cho tam giác \(ABC\) có số đo ba góc là \(A,B,C\) thỏa mãn điều kiện \(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} = \sqrt 3 \). Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) là tam giác đều. Phương pháp: - Chứng minh \(\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\) \( + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1\) - Chứng minh và sử dụng bất đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\) Cách giải: *) Trước hết ta chứng minh: \(\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\) \( + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1\) Ta có: \(\begin{array}{l}A + B + C = \pi \Rightarrow \frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2}\\ \Rightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}\\ \Rightarrow \tan \frac{{A + B}}{2} = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \tan \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right) = \cot \frac{C}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}}{{1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}}} = \frac{1}{{\tan \frac{C}{2}}}\end{array}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}} \right)\tan \frac{C}{2}\\ = 1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\\ \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\\ = 1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\\ \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\\ + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1\end{array}\) *) Chứng minh bất đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\) Ta có: \(\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\\ \ge 3ab + 3bc + 3ca\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right)\\ + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\end{array}\) (BĐT cuối luôn đúng do \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\\{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\\{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\)) Áp dụng bđt vừa chứng minh với \(a = \tan \frac{A}{2},b = \tan \frac{B}{2},\) \(c = \tan \frac{C}{2}\) ta được: \(\begin{array}{l}{\left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)^2}\\ \ge 3\left( {\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}} \right)\\ = 3.1 = 3\\ \Rightarrow {\left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)^2} \ge 3\\ \Rightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \ge \sqrt 3 \end{array}\) Đẳng thức xảy ra khi \(\tan \frac{A}{2} = \tan \frac{B}{2} = \tan \frac{C}{2}\) hay \(A = B = C = \frac{\pi }{3}\). Vậy tam giác ABC đều (đpcm). Loigiaihay.com |
