1. Các kiến thức cần nhớ
Khái niệm hàm số
+] Nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$ sao cho với mỗi giá trị của $x$, ta luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của $y$ thì $y$ gọi là hàm số của $x$ [$x$ gọi là biến số].
Ta viết : $y = f\left[ x \right]$, $y = g\left[ x \right]$, …
+] Giá trị của hàm số $f\left[ x \right]$ tại điểm ${x_0}$ kí hiệu là $f\left[ {{x_0}} \right]$.
+] Tập xác định $D$ của hàm số $f\left[ x \right]$ là tập hợp các giá trị của $x$ sao cho $f\left[ x \right]$ có nghĩa.
+] Khi $x$ thay đổi mà $y$ luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số $y = f\left[ x \right]$ gọi là hàm hằng.
Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số $y = f\left[ x \right]$ là tập hợp tất cả các điểm $M\left[ {x;y} \right]$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ sao cho $x,{\rm{ }}y$ thỏa mãn hệ thức $y = f\left[ x \right]$
Hàm số đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số $y = f\left[ x \right]$ xác định trên tập $D$. Khi đó :
- Hàm số đồng biến trên $D $ $\Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left[ {{x_1}} \right] < f\left[ {{x_2}} \right]$
- Hàm số nghịch biến trên $D$ $ \Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2}
\Rightarrow f\left[ {{x_1}} \right] > f\left[ {{x_2}} \right]$
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1 : Tính giá trị của hàm số tại một điểm
Phương pháp:
Để tính giá trị ${y_0}$ của hàm số $y = f\left[ x \right]$ tại điểm ${x_0}$ ta thay $x = {x_0}$ vào $f\left[ x \right]$, ta được ${y_0} = f\left[ {{x_0}} \right]$.
Dạng 2 : Biểu diễn tọa độ của một điểm và xác định điểm thuộc đồ thị hàm số
Phương pháp:
Điểm $M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$ thuộc đồ thị hàm số $y = f\left[ x \right]$ khi ${y_0} = f\left[ {{x_0}} \right]$
Dạng 3 : Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
Bước 2: Giả sử ${x_1} < {x_2}$ và ${x_1},{x_2} \in D$. Xét hiệu $H = f\left[ {{x_1}} \right] - f\left[ {{x_2}} \right]$.
+ Nếu $H < 0$ với ${x_1},{x_2}$ bất kỳ thì hàm số đồng biến.
+ Nếu $H > 0$ với ${x_1},{x_2}$ bất kỳ thì hàm số nghịch biến.
Dạng 4 : Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số $y = ax\left[ {a \ne 0} \right]$
Phương pháp:
+] Đồ thị hàm số dạng $y = ax{\rm{ }}\left[ {a \ne 0} \right]$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $E\left[ {1;a} \right]$.
+] Cho hai điểm $A\left[ {{x_A};{y_A}} \right]$ và $B\left[ {{x_B};{y_B}} \right]$. Khi đó độ dài đoạn thẳng $AB$ được tính theo công thức:$AB = \sqrt {{{\left[ {{x_B} - {x_A}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_B} - {y_A}} \right]}^2}} $.
đồ thị của hàm bậc nhất là một đường thẳng..........
Đồ thị của hàm số bậc nhất
I . Lí thuyết:
1 . Đồ thị của hàm số y = ax + b [ a ≠ 0 ]
Đồ thị của hàm số y = ax + b [ a ≠ 0 ] là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b, song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0 và trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0.
Chú ý : Đồ thị hàm số bậc nhật y = ax + b [a ≠ 0 ]còn được gọi là đường thẳng y = ax + b ; b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.
2 . Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất: y = ax + b [a ≠ 0 ]
- Khi b = 0 thì y = ax. Đồ thị y = ax là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O[0;0] và điểm A[1;a] [ đã biết ].
- Xét trường hợp y = ax + b với a ≠ 0 và b≠ 0.
Ta đã biết đồ thị hàm số y = ax + b là một đường thẳng , do đó về nguyên tắc ta chỉ cần xác định được hai điểm phân biệt nào đó của đồ thị rồi vẽ đường thẳng qua hai điểm đó.
+ Cách thứ nhất :
Xác định hai điểm bất kì của đồ thị, chẳng hạn :
Cho x = 1, tính được y = a + b, ta có điểm A[1 ; a + b]
Cho x = -1 , tính được y = -a + b, ta có điểm B[-1 ; b – a]
+ Cách thứ hai :
Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ :
Cho x = 0, tính được y = b, ta có điểm C[0;b]
Cho y = 0, tính được x = \[-\frac{b}{a}\], ta có điểm [\[-\frac{b}{a}\];0]
Vẽ đường thẳng qua A; B hoặc qua C; D ta được đồ thị của hàm số y = ax + b
Dạng đồ thị của hàm số y = ax + b [a ≠ 0 ]
II . Bài tập ví dụ :
Ví dụ 1 : Cho các hàm số sau : y = 2x -3 và y = -3x + 4.
a, Vẽ đồ thị các hàm số trên.
b, Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số trên?
\[A\left[ -\frac{1}{3};5 \right]\];\[B\left[ \frac{5}{2};2 \right]\]
Giải
a,
b, Thế \[{{x}_{A}}=-\frac{1}{3}\]vào hàm số y = -3x + 4 ta có \[{{y}_{A}}=-3\left[ -\frac{1}{3} \right]+4\]= 5
Vậy điểm A thuộc đồ thị hàm số y = 2x – 3.
- Điểm B thuộc đồ thị hàm số y = 2x – 3.
Ví dụ 2 : a, Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng mặt phẳng tọa độ:
\[y=\frac{3}{4}x-3\] và \[y=\frac{-1}{2}x+2\].
b, Gọi giao điểm của đường thẳng \[y=\frac{3}{4}x-3\,\] với các trục Oy,Ox lần lượt là A, B. Gọi giao điểm của đường thẳng \[y=\frac{-1}{2}x+2\] với trục Oy là C. Tính các góc của tam giác ABC.
Giải
b, \[\tan \widehat{OCB}=2\Rightarrow \widehat{OCB}\approx 63{}^\circ \]
\[\tan \widehat{OAB}=\frac{4}{3}\Rightarrow \widehat{OAB}\approx 53{}^\circ \]
\[\widehat{ABC}=180{}^\circ -\left[ \widehat{OCB}+\widehat{OAB} \right]=64{}^\circ \]
Ví dụ 3: Cho hàm số \[y=f[x]=\frac{2}{5}x-2\]
a, Vẽ đồ thị [D] của hàm số f[x].
b, Điểm nào sau đây nằm trên [D]:
\[A\left[ 1;3 \right];B\left[ -5;-4 \right];C\left[ \frac{5}{2};-1 \right];D\left[ -2;\frac{14}{5} \right]\]
c, Tìm tọa độ điểm M ϵ [D] và N ϵ [D] khi biết : \[{{x}_{M}}=\frac{-5}{2};{{y}_{N}}=-2\].
Giải
b, Điểm B và C nằm trên [D].
c, Thế \[{{x}_{M}}=\frac{-5}{2}\]vaò hàm số \[\frac{2}{5}x-2\] ta có \[{{y}_{M}}=-3\]
Vậy \[M\left[ -\frac{5}{2};3 \right];N\left[ 0;-2 \right]\]
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1: a, Vẽ đồ thị các hàm số : y = x – 3; y = 3x – 3; y = -2x -3 Trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b, Có nhận xét gì về đồ thị các hàm số này ?
Bài 2 : Cho hàm số y = [3-2m]x – 1.
a, Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến?
b, Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến ?
c, Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A[-2;-3].
d, Vẽ đồ thị hàm số với giá trị m vừa tìm được ở [c].
Bài 3: a, Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ Oxy đồ thị các hàm số sau : y = 2x + 4 ; y = -x + 1 .b, Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trên.
Bài 4 : a, Vẽ đồ thị hàm số y = x – 2 [d].
b, Tính khoangr cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng [d].
Bài 5 : a, Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hàm số sau : y = x + 4 ; y= -x + 2 .
b, Tìm tọa độ giao điểm M của hai đường thẳng;
c, Gọi giao điểm của đường thẳng y = x + 4 với trục Ox, Oy the thứ tự là A, B . Gọi giao điểm của đường thẳng y = -x +2 với Õ là C . TÍnh diện tích tam giác ABC.
Bài 6 : Vẽ tập hợp các điểm M[x;y] có tọa độ thỏa mãn phương trình : \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy-4=0\]
Bài 7 : a, Vẽ đồ thị của hàm số y = | x – 1 | + | x – 3 |.
b, Định giá trị của m để phương trình :
| x – 1 | + | x – 3 | = 0 có đúng một nghiệm dương.