- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f[x]xác định và liên tục trên khoảng [a;b] [có thể a là -∞; b là +∞] và điểm x0∈[a;b].
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f[x]< f[x0 ] với mọi x ∈ [x0 - h;x0 + h] và x≠x_0 thì ta nói hàm số f[x] đạt cực đại tại x0.
Nếu tồn tại số h >0 sao cho f[x] >f[x0 ] với mọi x ∈ [x0 - h;x0 + h] và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f[x] đạt cực tiểu tại x0.
2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f[x] liên tục trên
K=[x0 - h;x0 + h]và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h >0.
Nếu f'[x]> 0 trên khoảng [x0 - h;x0] và f'[x] 0 trên [x0;x0+ h] thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f[x].
Minh họa bằng bảng biến thiến
Chú ý.
Nếu hàm sốy=f[x] đạt cực đại [cực tiểu] tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại [điểm cực tiểu] của hàm số; f[x0] được gọi là giá trị cực đại [giá trị cực tiểu] của hàm số, kí hiệu là fCÑ [fCT], còn điểm M[x0;f[x0]] được gọi là điểm cực đại [điểm cực tiểu] của đồ thị hàm số.
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại [giá trị cực tiểu] còn gọi là cực đại [cực tiểu] và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3.Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tínhf'[x]. Tìm các điểm tại đó f'[x]bằng 0 hoặc f'[x] không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f'[x]. Giải phương trình f'[x]và ký hiệuxi [i=1,2,3,...]là các nghiệm của nó.
Bước 3. Tính f''[x] và f''[xi ] .
Bước 4. Dựa vào dấu của f''[xi ]suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Quảng cáo
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 - 6x + 2.
Hướng dẫn
Tập xác định D = R.
Tính y' = 6x2 - 6. Cho y'= 0 ⇔ 6x2 - 6 = 0 ⇔ x = ±1.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2.
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x4 - 2x2 + 2.
Hướng dẫn
Tập xác định D = R.
Tính y' = 4x3 - 4x. Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 1 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.
Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y =
Hướng dẫn
Tập xác định D = R\{2}. Tính
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Bài 1. Tìm cực trị của hàm số y = -x3 + 3x2 - 4
Tập xác định D = R.
Tính y'= -3x2 + 6x.
Cho y'= 0⇔-3x2 + 6x = 0⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0,y = -4 và hàm số đạt cực đại tại x = 2,y = 0.
Quảng cáo
Bài 2. Tìm cực trị của hàm số y = -x3 + 3x3 - 3x + 2
Tập xác định D = R.
Tính y' = -3x2 + 6x-3.
Cho y'= 0 ⇔ -3x2+ 6x-3 = 0 ⇔ x = 1.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Bài 3. Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x + 1. Tìm tọa độ A,B và phương trình đường thẳng qua hai điểm đó.
Tập xác định D = R.
Tính y' = 6x2 - 6x - 12.
Cho y'= 0 ⇔
Bảng biến thiên
Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là A[-1;8], B[2;-19].
Vậy phương trình đường thẳng AB là 9x + y + 1 = 0.
Bài 4. Cho hàm số y = x3 - 3x2 có đồ thị [C]. Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị [C]và khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó.
Tập xác định D = R.
Tính y'= 3x2-6x.
Cho y'= 0 ⇔
Bảng biến thiên
Vậy tọa độ hai điểm cực trị là A[-1;8],B[2;-19]. Khi đó AB =
Bài 5. Tìm cực trị của hàm số y = x4/4 - x2 + 2
Tập xác định D = R.
Tính y'= 2x3-2x.
Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 3/2 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.
Bài 6. Tìm cực trị của hàm số y = -x4 + 4x2 - 5
Tập xác định D = R.
Tính y'= -4x3 + 8x.
Cho y'= 0 ⇔ -4x3 + 8x = 0⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y = -5 và hàm số đạt cực đại tại x = ±√2, y = -1.
Bài 7. Tìm cực trị của hàm số y =
Tập xác định D = R\{-1}.
Tính y' =
Cho y' = 0⇔ x2 + 2x - 3 = 0 ⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -3, y = -7 và đạt cực tiểu tại x = 1, y = 1.
Bài 8. Tìm cực trị của hàm số y = x - 5 + 1/x
Tập xác định D = R\{0}.
Tính
Cho y' = 0⇔x2 - 1 = 0 ⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1, y = -7 và đạt cực tiểu tại x = 1, y = -3.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
cuc-tri-cua-ham-so.jsp