VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Phương pháp chứng minh hai phương trình tương đương, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Phương pháp chứng minh hai phương trình tương đương: Phương pháp chứng minh hai phương trình tương đương. Khi giải phương trình hoặc xét sự tương đương của hai phương trình thông thường ta sử dụng một trong những cách sau: a] Giải từng phương trình để so sánh các tập nghiệm. b] Sử dụng các phép biến đổi tương đương: Các phép biến đổi sau mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình thì ta thu được phương trình mới tương đương: Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hay cùng một biểu thức. Nhân hoặc chia cả hai vế cùng với một số khác 0 hoặc cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. Bình phương hai vế của một phương trình có hai vế luôn cùng dấu khi ẩn lấy mọi giá trị thuộc tập xác định của phương trình. BÀI TẬP DẠNG 4. Ví dụ 1. Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? a] |x| = 2 ⇔ x = 2 là sai vì |x| = 2 ⇒ x = 2 hoặc x = −2. b] x − 1 = 0 ⇔ [x − 1]2 = 0 là là đúng vì hai phương trình x − 1 = 0 và [x − 1]2 = 0 có chung tập nghiệm là S = {1}. Ví dụ 2. Cặp phương trình nào sau đây là tương đương? Nhân hai vế của phương trình x2 − 4x + 3 = 0 với −2 ta được phương trình −2×2 + 8x − 6 = 0. Vậy hai phương trình đã cho tương đương. Ví dụ 3. Mỗi khẳng định sau đây dúng hay sai? a] Cho phương trình 3x + x − 2 = x. Chuyển x − 2 sang vế phải thì ta thu được phương trình tương đương. b] Cho phương trình 3×2 + − 2 = x. Lược bỏ x − 2 cả hai vế ta được phương trình tương đương. a] Chuyển x − 2 sang vế phải thì ta thu được phương trình tương đương vì tuân thủ phép biến đổi tương đương [Cộng hai vế của phương trình với x − 2 và không làm thay đổi điều kiện]. Khẳng định đã cho là đúng. b] Điều kiện của phương trình là: x ≤ 2. Khi Lược bỏ x − 2 cả hai vế ta đã thay đổi điều kiện của phương trình ban đầu nên kết quả không thu được phương trình tương đương. Khẳng định ban đầu là sai.
Bài 3. Cách giải sau sai ở đâu? Lời giải. Cách giải trên sai ở bước cuối cùng ta đã làm mất điều kiện của phương trình nên không thể nhận được phương trình tương đương, x = −3 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Bài 4. Trong các phép biến đổi sau, phép biến đổi nào cho ta phương trình tương đương, phép biến đổi nào cho ta phương trình không tương đương? a] Khi ta lược bỏ số hạng x − 2 ở cả hai vế của phương trình x2 − 4x + 4 ta được phương trình x2 − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2, tuy nhiên nó lại không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Nên phép biến đổi trên không nhận được phương trình tương đương. b] Với điều kiện x khác −2 thì phương trình x nó cũng chính là nghiệm của phương trình đã cho sau khi lược bỏ đi hạng tử x + 2 ở cả hai vế. Vậy kết quả của phép biến đổi trên ta vẫn thu được một phương trình tương đương.
Hai phương trình tương đương là hai phương trình có
A. Một nghiệm giống nhau
B. Hai nghiệm giống nhau
C. Tập nghiệm giống nhau
D. Tập nghiệm khác nhau
Lí thuyết tóm tắt và bài tập điển hình về phương trình tương đương và phương trình hệ quả
Lí thuyết tóm tắt và bài tập điển hình về phương trình tương đương và phương trình hệ quả
PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
A. Lý thuyết
I. Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
II. Phép biến đổi tương đương
Định lí
Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương
a] Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
b] Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác \[0\] hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác \[0.\]
Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.
III. Phương trình hệ quả
Nếu mọi nghiệm của phương trình \[f\left[ x \right]=g\left[ x \right]\] đều là nghiệm của phương trình \[{{f}_{1}}\left[ x \right]={{g}_{1}}\left[ x \right]\] thì phương trình \[{{f}_{1}}\left[ x \right]={{g}_{1}}\left[ x \right]\] được gọi là phương trình hệ quả của phương trình \[f\left[ x \right]=g\left[ x \right].\]
Ta viết
\[f\left[ x \right]=g\left[ x \right]\Rightarrow {{f}_{1}}\left[ x \right]={{g}_{1}}\left[ x \right].\]
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
B. Bài tập minh họa
| Câu 1: Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. \[x+\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x-1}\] và $x=1.$ B. \[x+\sqrt{x-2\text{ }}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1.$ C. \[\sqrt{x}\left[ x+2 \right]=\sqrt{x}\] và $x+2=1.$ D. \[x\left[ x+2 \right]=x\] và $x+2=1.$ |
Giải:
Ÿ Đáp án A. Ta có
Ÿ Đáp án B. Ta có
Do đó, \[x+\sqrt{x-2\text{ }}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.
Ÿ Đáp án C. Ta có
Do đó, \[\sqrt{x}\left[ x+2 \right]=\sqrt{x}\] và $x+2=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.
Ÿ Đáp án D. Ta có
Do đó, \[x\left[ x+2 \right]=x\] và $x+2=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.
Chọn A
| Câu 2: Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. \[\text{2}x+\sqrt{x-3}=1+\sqrt{x-3}\] và $2x=1.$ B. \[\frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=0\] và $x=0.$ C. \[\sqrt{x+1}=2-x\] và $x+1={{\left[ 2-x \right]}^{2}}.$ D. \[x+\sqrt{x-2}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1.$ |
Giải:
Ÿ Đáp án A. Ta có
Do đó, \[\text{2}x+\sqrt{x-3}=1+\sqrt{x-3}\] và $2x=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.
Ÿ Đáp án B. Ta có
Do đó, \[\frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=0\] và $x=0$ là cặp phương trình tương đương.
Ÿ Đáp án C. Ta có
Do đó, \[\sqrt{x+1}=2-x\] và $x+1={{\left[ 2-x \right]}^{2}}$ không phải là cặp phương trình tương đương.
Ÿ Đáp án D. Ta có
Do đó, \[x+\sqrt{x-2}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.
Chọn B.
| Câu 3: Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau: A. \[x+1={{x}^{2}}-2x\] và $x+2={{\left[ x-1 \right]}^{2}}.$ B. \[3x\sqrt{x+1}=8\sqrt{3-x}\] và \[6x\sqrt{x+1}=16\sqrt{3-x}.\] C. \[x\sqrt{3-2x}+{{x}^{2}}={{x}^{2}}+x\] và \[x\sqrt{3-2x}=x.\] D. \[\sqrt{x+2}=2x\] và \[x=\frac{5}{3}\] |
Giải:
Ta có
Do đó, \[\sqrt{x+2}=2x\] và \[x+2=4{{x}^{2}}\] không phải là cặp phương trình tương đương.
Chọn D
| Câu 4: Tìm giá trị thực của tham số $m$ để cặp phương trình sau tương đương: $2{{x}^{2}}+mx-2=0$ $\left[ 1 \right]$ và $2{{x}^{3}}+\left[ m+4 \right]{{x}^{2}}+2\left[ m-1 \right]x-4=0$ $\left[ 2 \right]$ . A. $m=2.$ B. $m=3.$ C. $m=\frac{1}{2}.$ D. $m=-2.$ |
Giải:
Ta có $\left[ 2 \right]\Leftrightarrow \left[ x+2 \right]\left[ 2{{x}^{2}}+mx-2 \right]=0\Leftrightarrow
Do hai phương trình tương đương nên $x=-2$ cũng là nghiệm của phương trình $\left[ 1 \right]$.
Thay $x=-2$ vào $\left[ 1 \right]$, ta được $2{{\left[ -2 \right]}^{2}}+m\left[ -2 \right]-2=0\Leftrightarrow m=3$.
Với $m=3$, ta có
$\bullet $ $\left[ 1 \right]$ trở thành $2{{x}^{2}}+3x-2=0\Leftrightarrow x=-2$ hoặc $x=\frac{1}{2}.$
$\bullet $ $\left[ 2 \right]$ trở thành $2{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+4x-4=0\Leftrightarrow {{\left[ x+2 \right]}^{2}}\left[ 2x+1 \right]=0$ $\Leftrightarrow x=-2$hoặc $x=\frac{1}{2}$.
Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy $m=3$ thỏa mãn.
Chọn B.
| Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để cặp phương trình sau tương đương: $m{{x}^{2}}-2\left[ m-1 \right]x+m-2=0$ $\left[ 1 \right]$ và $\left[ m-2 \right]{{x}^{2}}-3x+{{m}^{2}}-15=0$ $\left[ 2 \right]$ . A. $m=-5.$ B. $m=-5;\text{ }m=4.$ C. $m=4.$ D. $m=5.$ |
Giải:
Ta có
Do hai phương trình tương đương nên $x=1$ cũng là nghiệm của phương trình $\left[ 2 \right]$.
Thay $x=1$ vào $\left[ 2 \right]$, ta được
Với $m=-5$, ta có
· $\left[ 1 \right]$ trở thành $-5{{x}^{2}}+12x-7=0\Leftrightarrow x=\frac{7}{5}$ hoặc $x=1$.
· $\left[ 2 \right]$ trở thành $-7{{x}^{2}}-3x+10=0\Leftrightarrow x=-\frac{10}{7}$ hoặc $x=1$.
Suy ra hai phương trình không tương đương
Với $m=4$, ta có
· $\left[ 1 \right]$ trở thành $4{{x}^{2}}-6x+2=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=1$.
· $\left[ 2 \right]$ trở thành $2{{x}^{2}}-3x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=1$.
Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy $m=4$ thỏa mãn.
Chọn C.
| Câu 6: Khẳng định nào sau đây là sai? A. \[\sqrt{x-2}=1\Rightarrow x-2=1.\] B. \[\frac{x\left[ x-1 \right]}{x-1}=1\Rightarrow x=1.\] C. \[\left| 3x-2 \right|=x-3\Rightarrow 8{{x}^{2}}-4x-5=0.\] D. \[\sqrt{x-3}=\sqrt{9-2x}\Rightarrow 3x-12=0.\] |
Giải:
Ta có:
Do đó, phương trình $8{{x}^{2}}-4x-5=0$ không phải là hệ quả của phương trình $\left| 3x-2 \right|=x-3$.
Chọn C
| Câu 7: Cho phương trình $2{{x}^{2}}-x=0$. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình đã cho? A. \[2x-\frac{x}{1-x}=0.\] B. \[4{{x}^{3}}-x=0.\] C. \[{{\left[ 2{{x}^{2}}-x \right]}^{2}}+{{\left[ x-5 \right]}^{2}}=0.\] D. \[2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x=0.\] |
Giải:
. Ta có
Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là ${{S}_{0}}=\left\{ 0;\frac{1}{2} \right\}$.
Xét các đáp án:
Ÿ Đáp án A. Ta có
Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${{S}_{1}}=\left\{ 0;\frac{1}{2} \right\}\supset {{S}_{0}}$.
Ÿ Đáp án B. Ta có
Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${{S}_{2}}=\left\{ -\frac{1}{2};0;\frac{1}{2} \right\}\supset {{S}_{0}}$.
Ÿ Đáp án C. Ta có
[vô nghiệm]. Do đó, tập nghiệm của phương trình là
\[{{S}_{3}}=\varnothing {{S}_{0}}\]
Ÿ Đáp án D. Ta có
Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${{S}_{2}}=\left\{ -1;0;\frac{1}{2} \right\}\supset {{S}_{0}}$.
Chọn C
| Câu 8: Cho hai phương trình: $x\left[ x-2 \right]=3\left[ x-2 \right]\ \ \ \left[ 1 \right]$ và $\frac{x\left[ x-2 \right]}{x-2}=3\ \ \ \left[ 2 \right]$. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Phương trình $\left[ 1 \right]$ là hệ quả của phương trình $\left[ 2 \right]$. B. Phương trình $\left[ 1 \right]$ và $\left[ 2 \right]$ là hai phương trình tương đương. C. Phương trình $\left[ 2 \right]$ là hệ quả của phương trình $\left[ 1 \right]$. D. Cả A, B, C đều sai. |
Giải:
Ÿ Phương trình
Do đó, tập nghiệm của phương trình $\left[ 1 \right]$ là ${{S}_{1}}=\left\{ 2;3 \right\}$.
Ÿ Phương trình
Do đó, tập nghiệm của phương trình $\left[ 2 \right]$ là ${{S}_{2}}=3$.
Vì ${{S}_{2}}\subset {{S}_{1}}$ nên phương trình $\left[ 1 \right]$ là hệ quả của phương trình $\left[ 2 \right]$.
Chọn A.
C. Bài tập tự luyện
Câu 1. Hai phương trình được gọi là tương đương khi
A. Có cùng dạng phương trình. B. Có cùng tập xác định.
C. Có cùng tập hợp nghiệm. D. Cả A, B, C đều đúng.
Câu 2. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ${{x}^{2}}-4=0$?
A. $\left[ 2+x \right]\left[ -{{x}^{2}}+2x+1 \right]=0.$ B. $\left[ x-2 \right]\left[ {{x}^{2}}+3x+2 \right]=0.$
C. $\sqrt{{{x}^{2}}-3}=1.$ D. ${{x}^{2}}-4x+4=0.$
Câu 3. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ${{x}^{2}}-3x=0$?
A. \[{{x}^{2}}+\sqrt{x-2}=3x+\sqrt{x-2}.\] B. \[{{x}^{2}}+\frac{1}{x-3}=3x+\frac{1}{x-3}.\]
C. \[{{x}^{2}}\sqrt{x-3}=3x\sqrt{x-3}.\] D. \[{{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}=3x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\]
Câu 4. Cho phương trình $\left[ {{x}^{2}}+1 \right]\left[ x1 \right]\left[ x+1 \right]=0$. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho ?
A. \[x-1=0.\] B. \[x+1=0.\] C. \[{{x}^{2}}+1=0.\] D. $\left[ x1 \right]\left[ x+1 \right]=0.$
Câu 5. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình \[x+\frac{1}{x}=1\]?
A. \[{{x}^{2}}+\sqrt{x}=-1.\] B. \[\left| 2x-1 \right|+\sqrt{2x+1}=0.\]
C. \[x\sqrt{x-5}=0.\] D. \[7+\sqrt{6x-1}=-18.\]
Câu 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \[3x+\sqrt{x-2}={{x}^{2}}\Leftrightarrow 3x={{x}^{2}}-\sqrt{x-2}.\] B. \[\sqrt{x-1}=3x\Leftrightarrow x-1=9{{x}^{2}}.\]
C. \[3x+\sqrt{x-2}={{x}^{2}}+\sqrt{x-2}\Leftrightarrow 3x={{x}^{2}}\text{.}\] D. $\frac{2x-3}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}\Leftrightarrow 2x-3={{\left[ x-1 \right]}^{2}}.$
Câu 7. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \[\sqrt{x-1}=2\sqrt{1-x}\Leftrightarrow x-1=0.\] B. \[{{x}^{2}}+1=0\Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{x-1}}=0.\]
C. \[\left| x-2 \right|=\left| x+1 \right|\Leftrightarrow {{\left[ x-2 \right]}^{2}}={{\left[ x+1 \right]}^{2}}.\] D. \[{{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=1.\]
Câu 8. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. \[x+\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x-1}\] và $x=1.$ B. \[x+\sqrt{x-2\text{ }}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1.$
C. \[\sqrt{x}\left[ x+2 \right]=\sqrt{x}\] và $x+2=1.$ D. \[x\left[ x+2 \right]=x\] và $x+2=1.$
Câu 9. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. \[\text{2}x+\sqrt{x-3}=1+\sqrt{x-3}\] và $2x=1.$ B. \[\frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=0\] và $x=0.$
C. \[\sqrt{x+1}=2-x\] và $x+1={{\left[ 2-x \right]}^{2}}.$ D. \[x+\sqrt{x-2}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1.$
Câu 10. Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. \[x+1={{x}^{2}}-2x\] và $x+2={{\left[ x-1 \right]}^{2}}.$
B. \[3x\sqrt{x+1}=8\sqrt{3-x}\] và \[6x\sqrt{x+1}=16\sqrt{3-x}.\]
C. \[x\sqrt{3-2x}+{{x}^{2}}={{x}^{2}}+x\] và \[x\sqrt{3-2x}=x.\]
D. \[\sqrt{x+2}=2x\] và \[x=\frac{5}{3}\]
Đáp án bài tập tự luyện
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| C | C | D | D | C | A | D | A | B | D |