là chuyên đề toán học gần gũi và xuất hiện rất nhiều trong các bài thi, bài kiểm tra của các bạn học sinh. Dạng toán này khá dễ hiểu nhưng xuất hiện ở rất nhiều dạng toán khác nhau. Vì vậy, các bạn cần củng cố và nắm chắc những kiến thức liên quan đến dạng toán này để dễ dàng đạt điểm số cao trong các bài kiểm tra. Cùng CMath tìm hiểu ngay sau đây nhé.
Tổng hợp các khái niệm về hàm số bậc nhất
Định nghĩa hàm số bậc nhất
Công thức của hàm số bậc nhất là y = ax + b, trong đó a và b là những số được cho trước và a khác 0.
Công thức của hàm số bậc nhất
Khi b = 0 thì hàm số bậc nhất sẽ trở thành hàm số y = ax, biểu thị tương quan tỉ lệ thuận giữa x và y.
Tính chất hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất y = ax + b sẽ xác định đối với mọi giá trị của x thuộc R và có 2 tính chất sau:
- Đồng biến trên R nếu a > 0
Hàm số y = f[x] đồng biến trên một khoảng nào đó nếu với mọi x1 và x2 sao cho x1 < x2 thì f[x1] < f[x2].
- Nghịch biến trên R nếu a < 0
Hàm số y = f[x] nghịch biến trên một khoảng nào đó với mọi x1 và x2 sao cho x1 < x2 thì f[x1] > f[x2].
Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b [a khác 0]
Lý thuyết đồ thị hàm số y = ax + b [a khác 0]
Lý thuyết đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b [với khác 0] là một đường thẳng:
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b;
- Song song với đường thẳng y = ax nếu b khác 0 hoặc trùng với y = ax nếu b = 0.
Đồ thị cũng được gọi là đường thẳng y = ax + b và b được xem là tung độ góc của đường thẳng.
Lưu ý: Đồ thị y = ax + b cắt trục hoành tại Q[–b/a;0].
Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b [a khác 0]
- Chọn một điểm P có tọa độ [0;b] trên trục Oy
- Chọn một điểm Q có tọa độ [–b/a;0] trên trục Ox
- Kẻ đường thẳng QP ta có đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b
Lưu ý:
- Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b [a khác 0] là đường thẳng nên muốn vẽ chỉ cần xác định 2 điểm phân biệt thuộc đồ thị.
- Nếu giá trị –b/a khó xác định thì ta có thể thay thế điểm Q bằng cách chọn giá trị x1 của x sao cho điểm Q’[x1;y1] dễ xác định hơn trong mặt phẳng tọa độ.
Dạng toán thường gặp
Dạng 1: Vẽ, nhận dạng đồ thị y = ax + b [a khác 0]
Dạng toán thường gặp
Phương pháp giải:
Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b [a khác 0] là đường thẳng:
- Trường hợp 1: Nếu b = 0 ta có được hàm số y = ax. Đồ thị của y = ax là đường thẳng qua gốc tọa độ O và điểm A[1;a]
- Trường hợp 1: Nếu b khác 0 thì đồ thị y = ax + b là đường thẳng qua điểm A[0;b]; B[–b/a;0]
Dạng 2: Tìm tọa độ giao điểm giữa 2 đường thẳng
Phương pháp giải:
- Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa 2 đường thẳng để tìm hoành độ giao điểm.
- Bước 2: Thay hoành độ giao điểm tìm được vào 1 trong 2 phương trình đường thẳng ta tìm được tung độ giao điểm.
Dạng 3: Xác định hệ số a,b để đồ thị cắt trục Ox và Oy hay đi qua một điểm nào đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm M có tọa độ [x0;y0] khi và chỉ khi y0 = ax0 + b.
Dạng 4: Đồng quy 3 đường thẳng
Phương pháp giải:
Để xét tính đồng quy của 3 đường thẳng ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm của 2 trong 3 đường thẳng đã cho.
- Bước 2: Kiểm tra xem giao điểm vừa tìm được thuộc đường thẳng còn lại thì kết luận 3 đường thẳng đồng quy.
Hai đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau là gì?
Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
Hai đường thẳng d: y = ax + b [a khác 0] và d’: y = a’x+ b’ [a’ khác 0]. Ta được:
- d // d’ a = a’ và b khác b’
- d cắt d’ a khác a’
- d trùng d’ a = a’ và b = b’
- Khi d vuông góc với d’ a.a’ = –1
Ví dụ:
- Đường thẳng y = 3x + 1 và đường thẳng y = 3x – 6 có hệ số góc a = a’ và b khác b’ nên chúng song song với nhau.
- Đường thẳng y = 3x + 1 và đường thẳng y = 3x + 1 có hệ số góc a = a’ và b = b’ nên chúng trùng nhau.
- Đường thẳng y = x và y = –2x + 3 có hệ số góc a khác a’ nên chúng cắt nhau.
Dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm tham số m để đường thẳng thỏa mãn các vị trí đã cho.
Phương pháp giải:
Cho đường thẳng d: y = ax + b [a khác 0] và d’: y = a’x +b’ [a’ khác 0].
- d // d’ a = a’ và b khác b’
- d cắt d’ a khác a’
- d trùng d’ a = a’ và b = b’
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng
Phương pháp giải:
- Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng để xác định hệ số góc.
- Ngoài ra ta có thể sử dụng kiến thức sau:
- y = ax + b với a và b khác 0 là phương trình đường thẳng cắt trục trung tại A[0;b], cắt trục hoành tại B[–b/a;0].
- M[x0;y0] thuộc y = ax + b khi và chỉ khi y0= ax0 + b.
Dạng 3: Tìm một điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi tham số m.
Phương pháp giải:
Gọi M[x;y] là điểm cần tìm, tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng d. Ta đưa phương trình đường thẳng về phương trình hàm số bậc nhất ẩn m.
Từ đó để hàm số bậc nhất ax + b = 0 luôn đúng thì a = b= 0.
Giải điều kiện ta sẽ tìm được tọa độ x; y của M.
Bài tập ôn tập
Bài tập 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M [1;2] có hệ số góc bằng 3.
Hướng dẫn giải:
- Phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng 3 tức là đường thẳng có phương trình y = 3x + b
- Phương trình đi qua điểm M [1;2] nên 2 = 3.1 + b b = 2 – 3 b = –1
Vậy phương trình cần tìm là y = 3x – 1
Bài tập 2: Cho 2 đường thẳng [d1]: y= –x + 2 và [d2]: y = 2x + m –3. Xác định tham số m để để [d1] cắt [d2] tại một điểm nằm trên trục hoành.
Hướng dẫn giải:
- [d1] luôn cắt [d2] vì a1 khác a2
- [d1]: y= –x + 2 cắt trục hoành nên có 0 = –x + 2 → x = 2
⇒ Vậy d1 cắt trục hoành tại [2;0].
- [d2]: y = 2x + m –3 cắt trục hoành nên 0 = 2x + m – 3 → 2x = – m + 3 ⇒ x = [–m +3]/2
⇒ Vậy d2 cắt trục hoành tại [[–m + 3]/2;0].
Để d1 và d2 cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì: [–m + 3]/2 = 2 ⇔ –m + 3 = 4 ⇔ m = –1.
Với m = –1 thì đường thẳng [d2] có phương trình là y = 2x – 4.
Khi đó [d1]: y= –x + 2 và [d2]: y = 2x – 4 cắt nhau tại điểm có tọa độ là [2;0] trên trục hoành.
Bài tập 3: Cho hàm số y = 2mx + m + 1 [1] và hàm số y = [m – 1]x + 3 [2]
- Xác định tham số m để hàm số [1] đồng biến và hàm số [2] nghịch biến.
- b] Xác định tham số m để đồ thị hàm số [1] song song đồ thị hàm số [2].
- c] Chứng minh đồ thị của hàm số [1] luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:
- a] Xác định tham số m để hàm số [1] đồng biến và hàm số [2] nghịch biến.
- Hàm số [1] đồng biến khi và chỉ khi 2m > 0 ⇔ m >0
- Hàm số [2] nghịch biến khi và chỉ khi m – 1 < 0 ⇔ m < 1
⇒ Để hàm số [1] đồng biến, hàm số [2] nghịch biến thì tham số m phải thỏa mãn 0 < m 1.
- b] Xác định tham số m để đồ thị hàm số [1] song song đồ thị hàm số [2].
Để đồ thị của hàm số [1] song song [2] thì ⇔ 2m = m – 1 và m + 1 khác 3 ⇔ m = –1 và m khác 2 ⇔ m = –1.
- c] Chứng minh đồ thị của hàm số [1] luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của tham số m.
Viết hàm số [1] như sau: y = m[2x + 1] + 1 ta thấy được với mọi giá trị của m, khi x = –½ thì y = 1.
→ Vậy đồ thị của hàm số [1] luôn đi qua một điểm M[–½;1] cố định.
Bài tập 4: Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số y = 2x + 4 và y = 3x + m – 2 cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của phương trình sau:
2x + 4 – m = 3x + m – 2 ⇔ x = 2m – 6
Vì 2 đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên có hoành độ giao điểm bằng 0 → 2m – 6 = 0 ⇔ m = 3
Vậy m = 3 thì 2 đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung.
\>>> Tham khảo thêm:
Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Lý thuyết đầy đủ về hàm số lượng giác
Hàm số và đồ thị hàm số y = a.x [a ± 0]. Phương pháp giải bài tập hay!
Tạm kết
Trên đây là bài viết về chuyên đề hàm số bậc nhất mà CMath gửi đến các bạn học sinh. Hy vọng những kiến thức và bài tập ôn luyện trên đây có thể giúp các bạn củng cố được kiến thức và đạt điểm cao trong các bài thi, bài kiểm tra.
Thế nào là hàm số bậc nhất?
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trước và a≠0. Và khi b = 0 hàm số bậc nhất có dạng y = ax, biểu thị tương quan tỉ lệ thuận giữa y và x.
Như thế nào là hàm số bậc nhất?
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y=ax+b y = a x + b trong đó a,b là các số cho trước và a≠0 a ≠ 0 .
B trong hàm số y AX B là gì?
Đồ thị của hàm số y=ax+b là đường thẳng có hệ số góc là a và có các tính chất sau: Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b, b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.
Hàm số đồng biến và nghịch biến khi nào?
Đồng biến: Hàm số f[x] được gọi là đồng biến trên một khoảng [a, b] nếu đạo hàm của nó f\'[x] ≥ 0 trên khoảng đó. Nghịch biến: Hàm số f[x] được gọi là nghịch biến trên một khoảng [a, b] nếu đạo hàm của nó f\'[x] ≤ 0 trên khoảng đó.