Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến vì sao
Cách xác định hàm số bậc nhất: tập xác định, đồng biến, nghịch biến
Trang trước
Trang sau
+ Hàm số có dạng y = ax + b là hàm số bậc nhất ⇔ a ≠ 0. Show + Hàm số bậc nhất có tập xác định là tập R. + Hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0. Ví dụ 1: Với điều kiện nào của m thì các hàm số dưới đây là hàm số bậc nhất? a) y = (m-1)x + m b) y = (m2-2x -3)x2 + (m+1)x + m c) y = √(m2-1).x + 2 . Hướng dẫn giải: a) y = (m-1)x + m là hàm số bậc nhất ⇔ m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1. Vậy với mọi m ≠ 1 thì hàm số y = (m – 1)x + m là hàm số bậc nhất. b) y = (m2-2x -3)x2 + (m+1)x + m là hàm số bậc nhất ⇔ m - 3 = 0 ⇔ m = 3 Vậy với m = 3 thì hàm số y = (m2-2x -3)x2 + (m+1)x + m là hàm số bậc nhất là hàm số bậc nhất. c) y = √(m2-1).x + 2 là hàm số bậc nhất ⇔ √(m2-1) ≠ 0 ⇔ m2 – 1 > 0 ⇔ m > 1 hoặc m < -1. Vậy với m > 1 hoặc m < -1 thì hàm số y = √(m2-1).x + 2 là hàm số bậc nhất. Ví dụ 2: Tìm a để các hàm số dưới đây : a) y = (a + 2)x + 3 đồng biến trên R. b) y = (m2 – m).x + m nghịch biến trên R. Hướng dẫn giải: a) y = (a + 2)x + 3 đồng biến trên R ⇔ a + 2 > 0 ⇔ a > -2. Vậy với mọi a > -2 thì hàm số y = (a + 2)x + 3 đồng biến trên R. b) y = (m2 – m)x + m nghịch biến trên r ⇔ m2 – m < 0 ⇔ m(m – 1) < 0 ⇔ 0 < m < 1. Vậy với 0 < m < 1 thì hàm số y = (m2 – m)x + m nghịch biến trên R. Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) = (m – 3)x + m2 – 4m (1). a) Tìm điều kiện của m để hàm số trên là hàm số bậc nhất. b) Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến. c) Tìm m để hàm số bậc nhất trên thỏa mãn f(-2) = 0. d) Với m ở trên, tìm giá trị của x để y = 2. Hướng dẫn giải: a) y = f(x) = (m – 3)x + m2 – 4m là hàm số bậc nhất ⇔ m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3. Vậy m ≠ 3 thì hàm số (1) là hàm số bậc nhất. b) y = f(x) là hàm đồng biến ⇔ m – 3 > 0 ⇔ m > 3. Vậy với m > 3 thì hàm số y = f(x) là hàm đồng biến. c) Ta có : f(-2) = 0 ⇔ (m – 3).(-2) + m2 – 4m = 0 ⇔ m2 – 5m + 6 = 0 ⇔ (m – 2)(m – 3) = 0 Vậy m = 2. d) Với m = 2, hàm số trở thành y = f(x) = -x – 4. y = 2 ⇔ - x – 4 = 2 ⇔ x = -6. Vậy x = -6 Bài 1: Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc nhất? Đáp án: B Bài 2: Với giá trị nào của m dưới đây làm cho hàm số y = (m2 – 1)x + 3 là hàm số bậc nhất? A. m = 1 B. m = -1 C. m = 0 D. mọi m. Đáp án: C Bài 3: Hàm số nào dưới đây là hàm số đồng biến ? A. y = (√5 - √3)x +1 B. y = -√3x -3 C. y = -√3x D. y = -3x+1 . Đáp án: A Bài 4: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập số thực với mọi m? A. y = m2x + 2 B. y = mx - 2 C. y = (1-m2)x + m D. y = -m2x + 2m + 1 Đáp án: D Bài 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = (9-m2)x nghịch biến trên R. A. 3 B. 5 C. 7 D. Vô số. Đáp án: D Bài 6: Tìm điều kiện của m để các hàm số sau là hàm số bậc nhất: a) y = (m2-m-2)x + m b) y = √(m2-m)x -x +1 . Hướng dẫn giải: a) y = (m2-m-2)x + m là hàm số bậc nhất ⇔ m2 – m – 2 ≠ 0 ⇔ (m+1)(m-2) ≠ 0 Vậy với m ≠ -1 và m ≠ 2 thì hàm số trên là hàm số bậc nhất. b) y = √(m2-m)x -x +1 = x + √(m2-m) +1 là hàm số bậc nhất với mọi m. Bài 7: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số dưới đây: a) y = x+3 b) y = (1-√2)x+ √5 . Hướng dẫn giải: a) y = x+3 có hệ số a = 1 > 0 nên đồng biến trên R. b) y = (1-√2)x+ √5 có hệ số a = 1-√2 < 0 nên nghịch biến trên R. Bài 8: Cho hàm số bậc nhất y = f(x) = ax + b. Tìm a, b biết f(0) = 1; f(-1) = 0. Hướng dẫn giải: Ta có: f(0) = 1 ⇒ a. 0 + b = 1 hay b = 1 f(-1) = 0 ⇒ a.(-1) + b = 0 hay –a + 1 = 0 ⇒ a = 1. Vậy a = 1; b = 1. Bài 9: Tìm các giá trị của m, n để hàm số: y = (m2 – 5m + 6)x2 + (m2 + mn – 6n)x + 3 là hàm số bậc nhất. Hướng dẫn giải: Hàm số y = (m2 – 5m + 6)x2 + (m2 + mn – 6n)x + 3 là hàm số bậc nhất Từ (1) ⇔ (m – 2)(m – 3) = 0 ⇔ + Với m = 2, thay vào (2) ta có: 22 + 2n - 6n ≠ 0 hay n ≠ 1 . + Với m = 3, thay vào (2) ta có: 32 + 3n – 6n ≠ 0 hay n ≠ 3. Vậy với Bài 10: Chứng minh rằng hàm số y = (-m2 + m - 1)x + m luôn là hàm số bậc nhất. Hàm số này đồng biến hay nghịch biến? Hướng dẫn giải: Ta có: -m2 + m – 1 = -(m2 – m + 1/4) - 3/4 = -(m-1/2)2 - 3/4 . Với mọi m ta có : (m-1/2)2 ≥0 ⇒ -(m-1/2)2 ≤ 0 ⇒ -(m-1/2)2 - 3 < 0 Do đó hàm số y = (-m2 + m - 1)x + m luôn là hàm số bậc nhất và hệ số a = -m2 + m - 1 < 0 với mọi m nên luôn nghịch biến trên R. Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác: Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước
Trang sau
1. Định lí về tính đồng biến nghịch biếnCho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với: - Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm. - Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm. Một số trường hợp cụ thể chúng ta cần phải nhớ về điều kiện đơn điệu trên R: Đối với hàm số đa thức bậc 1: – Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a > 0 – Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a < 0 Đối với hàm số đa thức bậc 3: Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3, hơn 90% các bài viết đều áp dụng cho hàm số bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau: Xét hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d⇒ y’ = 3ax2+ 2bx + c – TH1: a = 0 (nếu có tham số) – TH2: a ≠ 0 Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được. Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³ + 2(m-1)x² + 3x -2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R. Lời giải: Để y = x³ + 2(m-1)x² + 3x - 2 đồng biến trên R thì (m-1)² - 3.3 ≤ 0⇔ -3 ≤ m - 1 ≤3 ⇔ -2 ≤ m ≤ 4. Các bạn cầnlưu ývới hàm đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số bậc cao nhất thì chúng ta cần xét trường hợphàm số suy biến. Ví dụ 2: Cho hàm số y = mx³ -mx² - (m + 4 )x + 2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên R. Lời giải: Ta xét trường hợp hàm số suy biến. Khi m = 0, hàm số trở thành y = -x + 2. Đây là hàm bậc nhất nghịch biến trên R. Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với m ≠ 0, hàm số là hàm đa thức bậc 3. Do đó hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m < 0 đồng thời m² + 3m(m+4) ≤ 0. Giải các điều kiện ra ta được -3 ≤ m <0. Kết hợp 2 trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. |
