Lãi kép liên tục là gì

Công thức trên tính toán giá trị tương lai (FV) của giá trị hiện tại của một đầu tư (PV) tích lũy với lãi suất cố định (i) cho n giai đoạn.

P V = F V ( 1 + i ) n {\displaystyle PV={\frac {FV}{\left(1+i\right)^{n}}}\,}

Công thức trên tính toán giá trị hiện tại (PV) sẽ cần là bao nhiêu để tạo ra một giá trị nhất định trong tương lai (FV) nếu lãi suất (i) dồn tích cho n giai đoạn.

i = ( F V P V ) 1 n 1 {\displaystyle i=\left({\frac {FV}{PV}}\right)^{\frac {1}{n}}-1}

Công thức trên tính toán lãi suất kép đạt được nếu đầu tư ban đầu PV cho ra giá trị của FV sau n giai đoạn dồn tích.

n = log ( F V ) log ( P V ) log ( 1 + i ) {\displaystyle n={\frac {\log(FV)-\log(PV)}{\log(1+i)}}}

Công thức trên tính toán số lượng thời kỳ cần thiết để có được FV từ PV đã cho và lãi suất (i). Hàm lô-ga-rít có thể ở bất kỳ cơ số nào, ví dụ lô-ga-rít tự nhiên (ln), miễn là các cơ số phù hợp được sử dụng trong suốt tất cả các tính toán.

Lãi képSửa đổi

Công thức tính lãi kép hàng năm là

A = P ( 1 + r n ) n t {\displaystyle A=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}}

Ở đây,

• A = giá trị tương lai
• P = số tiền gốc (đầu tư ban đầu)
• r = lãi suất danh nghĩa hàng năm
• n = số lần tiền lãi được nhập gốc mỗi năm
• t = số năm tiền được mượn

Ví dụ sử dụng: Số tiền 1500.00 đô-la được gửi tại một nhà băng chi trả lãi suất hàng năm 4.3%, được nhập gốc hàng quý. Tính số dư sau 6 năm.

A. Sử dụng công thức bên trên, với P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 4, và t = 6:

A = 1500 ( 1 + 0.043 4 ) 4 × 6 = 1938.84 {\displaystyle A=1500\left(1+{\frac {0.043}{4}}\right)^{4\times 6}=1938.84}

Như vậy, số dư sau 6 năm xấp xỉ 1,938.84 đô-la. Lãi kép có thể được tính bằng cách trừ số tiền gốc khỏi số dư này.

Tính lãi kép định kỳSửa đổi

Hàm số lượng cho lãi kép là một hàm mũ theo thời gian.

A ( t ) = A 0 ( 1 + r n ) n t {\displaystyle A(t)=A_{0}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{\lfloor nt\rfloor }}

• t {\displaystyle t} = Tổng thời gian theo năm
• n {\displaystyle n} = Số thời kỳ tính lãi kép mỗi năm (lưu ý rằng tổng số thời kỳ tính lãi kép là n t {\displaystyle n\cdot t} )
• r {\displaystyle r} = Lãi suất hàng năm danh nghĩa biểu diễn dưới dạng thập phân. chẳng hạn: 6% = 0.06
• n t {\displaystyle \lfloor nt\rfloor } có nghĩa là nt được làm tròn xuống giá trị nguyên gần nhất.

Khi n tăng lên, tỉ lệ này tiến tới giới hạn trên của er 1. Tỉ lệ này được gọi là lãi kép liên tục, xem bên dưới.

Vì số tiền gốc A(0) chỉ đơn giản là một hệ số, nó thường được bỏ đi cho đơn giản, và hàm tích lũy kết quả được sử dụng trong lý thuyết tiền lãi thay thế. Các hàm tích lũy cho lãi đơn và lãi kép được liệt kê dưới đây:

a ( t ) = 1 + t r {\displaystyle a(t)=1+tr\,} a ( t ) = ( 1 + r n ) n t {\displaystyle a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}}

Lưu ý: A(t) là hàm số lượng và a(t) là hàm tích lũy.

Tính lãi kép liên tụcSửa đổi

Tính lãi kép liên tục có thể được coi như việc làm cho kỳ tính lãi kép cực nhỏ; do đó đạt được bằng cách lấy giới hạn của n tới vô cực. Người ta phải tham khảo ý kiến ​​các định nghĩa của hàm số mũ cho chứng minh toán học của giới hạn này.

A ( t ) = A 0 e r t {\displaystyle A(t)=A_{0}e^{rt}}

or

A = P e r t {\displaystyle A=Pe^{rt}}

Ảnh hưởng của tiền lãiSửa đổi

Trong toán học, các hàm tích lũy thường được biểu diễn trong các thuật ngữ của số e, cơ số của lô-ga-rít tự nhiên. Điều này tạo điều kiện cho việc sử dụng các phương pháp tính toán trong thao tác của công thức lãi vay.

Đối với một hàm tích lũy khả vi liên tục bất kỳ a(t) ảnh hưởng của tiền lãi, hoặc tổng quát hơn là Hoàn vốn kép lô-ga-rít hay hoàn vốn kép liên tục là một hàm theo thời gian được định nghĩa như sau: δ t = a ( t ) a ( t ) {\displaystyle \delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}\,}

nó là tỷ lệ thay đổi theo thời gian của lô-ga-rít tự nhiên của hàm tích lũy.

Đảo lại: a ( n ) = e 0 n δ t d t {\displaystyle a(n)=e^{\int _{0}^{n}\delta _{t}\,dt}\,} (vì a ( 0 ) = 1 {\displaystyle a(0)=1} )

Khi công thức bên trên được viết trong dạng phương trình vi phân, ảnh hưởng của tiền lãi đơn giản là hệ số của số lượng thay đổi: d a ( t ) = δ t a ( t ) d t {\displaystyle da(t)=\delta _{t}a(t)\,dt\,}

Đối với lãi kép với lãi suất hàng năm không đổi r, ảnh hưởng của tiền lãi là một hằng số, và hàm tích lũy của lãi kép về khía cạnh ảnh hưởng của tiền lãi là lũy thừa đơn giản của số e: δ = ln ( 1 + r ) {\displaystyle \delta =\ln(1+r)\,} or a ( t ) = e t δ {\displaystyle a(t)=e^{t\delta }\,}

Ảnh hưởng của tiền lãi là ít hơn so với lãi suất thực hàng năm, nhưng nhiều hơn tỷ lệ chiết khấu hiệu quả hàng năm. Nó là đối ứng của thời gian e-folding. Xem thêm ký hiệu của lãi suất.

Một cách mô hình hóa ảnh hưởng của lạm phát là với công thức của Stoodley: δ t = p + s 1 + r s e s t {\displaystyle \delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}} ở đây p, r và s được ước tính.

Cơ sở tính lãi képSửa đổi

Để chuyển đổi một lãi suất từ một cơ sở lãi kép này sang một cơ sở lãi kép khác, công thức sau đây được áp dụng:

r 2 = [ ( 1 + r 1 n 1 ) n 1 n 2 1 ] n 2 {\displaystyle r_{2}=\left[\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right]n_{2}}

ở đây r1 là lãi suất quy định với tần suất tính lãi kép n1 và r2 là lãi suất quy định với tần suất tính lãi kép n2.

Khi tiền lãi được tính lãi kép liên tục:

R = n ln ( 1 + r / n ) {\displaystyle R=n\ln {\left(1+r/n\right)}}

ở đây R là lãi suất trên một cơ sở tính lãi kép liên tục và r là lãi suất quy định với tần suất tính lãi kép n.

Trả tiền vay thế chấp hàng thángSửa đổi

Tiền lãi cho vay thế chấp thường được tính lãi kép hàng tháng. Công thức cho các trả tiền hàng tháng được tìm thấy từ đối số sau đây.

Ký hiệuSửa đổi

• I = Lãi suất trên giấy tờ (biểu diễn dạng thập phân, như 12% là 0.12)
• i = Lãi suất hàng tháng = I/12 (như vậy APR = (1+i)^12 - 1)
• T = Kỳ hạn vay theo số năm
• Y= IT
• X = ½ IT = ½ Y
• n = 12T = kỳ hạn theo tháng
• L = Số tiền gốc của khoản vay
• P = tiền trả hàng tháng

Công thức chính xác cho PSửa đổi

Một công thức chính xác cho trả tiền hàng tháng là

P = L i 1 1 ( 1 + i ) n {\displaystyle P={\frac {Li}{1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}}}}

hoặc tương đương

P = L i 1 e n ln ( 1 + i ) {\displaystyle P={\frac {Li}{1-e^{-n\ln(1+i)}}}}

Điều này có thể được bắt nguồn bằng cách xem xét bao nhiêu tiền đã được trả để lại được thanh toán sau mỗi tháng. Sau tháng đầu tiên L 1 = ( 1 + i ) L P {\displaystyle L_{1}=(1+i)L-P} is left, i.e. số tiền ban đầu đã gia tăng việc bớt trả tiền. Nếu toàn bộ khoản vay được tái trả tiền sau 1 tháng thì L 1 = 0 {\displaystyle L_{1}=0} nên L = P 1 + i {\displaystyle L={\frac {P}{1+i}}} Sau tháng thứ hai L 2 = ( 1 + i ) L 1 P {\displaystyle L_{2}=(1+i)L_{1}-P} is left, that is L 2 = ( 1 + i ) ( ( 1 + i ) L P ) P {\displaystyle L_{2}=(1+i)((1+i)L-P)-P} . Nếu toàn bộ khoản vay được repaid sau 2 tháng L 2 = 0 {\displaystyle L_{2}=0} this gives phương trình L = P 1 + i + P ( 1 + i ) 2 {\displaystyle L={\frac {P}{1+i}}+{\frac {P}{(1+i)^{2}}}} . Phương trình này generalises cho một kỳ hạn n tháng, L = P j = 1 n 1 ( 1 + i ) j {\displaystyle L=P\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{j}}}} . Đây là tổng dãy số lũy thừa, cụ thể trong toán học là một chuỗi hình học (geometric series) hoặc một cấp số nhân (arithmetic sequence) có tổng

L = P i ( 1 1 ( 1 + i ) n ) {\displaystyle L={\frac {P}{i}}\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right)}

which can be rearranged to give

P = L i 1 1 ( 1 + i ) n = L i 1 e n ln ( 1 + i ) {\displaystyle P={\frac {Li}{1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}}}={\frac {Li}{1-e^{-n\ln(1+i)}}}}

Công thức này cho việc trả tiền hàng tháng trong vay thế chấp tại Hoa Kỳ là chính xác và là cái mà các ngân hàng sử dụng.

Công thức gần đúng cho PSửa đổi

Một công thức mà là chính xác để trong một vài phần trăm có thể được tìm thấy bằng cách lưu ý rằng đối với các lãi suất giấy tờ Hoa Kỳ điển hình ( I < 8 % {\displaystyle I<8\%} và kỳ hạn T=1030 năm), lãi suất giấy tờ hàng tháng là nhỏ so với 1: i 1 {\displaystyle i\ll 1} để ln ( 1 + i ) i {\displaystyle \ln(1+i)\approx i} tạo ra đơn giản hóa đối với P L i 1 e n i = L n n i 1 e n i {\displaystyle P\approx {\frac {Li}{1-e^{-ni}}}={\frac {L}{n}}{\frac {ni}{1-e^{-ni}}}}

điều này cho thấy định nghĩa các biến phụ trợ

Y n i = T I {\displaystyle Y\equiv ni=TI}

P 0 L n {\displaystyle P_{0}\equiv {\frac {L}{n}}} .

P 0 {\displaystyle P_{0}} là trả tiền hàng tháng được yêu cầu đối với trả hết khoản vay lãi vay bằng không trong n {\displaystyle n} trả góp. Trong các điều kiện của các biến này xấp xỉ này có thể được viết

P P 0 Y 1 e Y {\displaystyle P\approx P_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}}}}

Hàm f ( Y ) Y 1 e Y Y 3 {\displaystyle f(Y)\equiv {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}-{\frac {Y}{3}}} thậm chí còn: f ( Y ) = f ( Y ) {\displaystyle f(Y)=f(-Y)} ngụ ý rằng nó có thể được mở rộng ngay cả trong các lũy thừa của Y {\displaystyle Y} .

Nó ngay lập tức sau đó Y 1 e Y {\displaystyle {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}} có thể được mở rộng ngay cả trong các lũy thừa của Y {\displaystyle Y} cộng kỳ hạn đơn: Y / 2 {\displaystyle Y/2}

Nó sẽ chứng minh thuận tiện sau đó để xác định

X = 1 2 Y = 1 2 I T {\displaystyle X={\frac {1}{2}}Y={\frac {1}{2}}IT}

so that P P 0 2 X 1 e 2 X {\displaystyle P\approx P_{0}{\frac {2X}{1-e^{-2X}}}} which can be expanded: P P 0 ( 1 + X + X 2 3 1 45 X 4 + ) {\displaystyle P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}-{\frac {1}{45}}X^{4}+\dots \right)}

khi ellipses cho thấy các điều mà là số mũ cao hơn thậm chí các lũy thừa của X {\displaystyle X} . Biểu thức

P P 0 ( 1 + X + X 2 3 ) {\displaystyle P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}\right)}

là hợp lệ để tốt hơn 1% được cung cấp X 1 {\displaystyle X\leq 1} .

Ví dụSửa đổi

Cho một khoản vay thế chấp với kỳ hạn 30 năm và với lãi suất giấy tờ 4.5% chúng ta tìm được:

T = 30 {\displaystyle T=30}

I = .045 {\displaystyle I=.045}

X = 1 2 I T = 1 2 × .045 × 30 = .675 {\displaystyle X={\frac {1}{2}}IT={\frac {1}{2}}\times .045\times 30=.675}

cho thấy rằng xấp xỉ

P P 0 ( 1 + X + 1 3 X 2 ) {\displaystyle P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)} là chính xác hơn một phần trăm đối với các điều kiện thế chấp điển hình của Mỹ vào tháng 1 năm 2009. Công thức trở nên kém chính xác hơn đối với các lãi suất cao hơn và kỳ hạn dài hơn.

Cho một kỳ hạn vay 30 năm trên một khoản vay 120.000 đô-la và lãi suất giấy tờ 4.5% chúng ta tìm được:

L = 120000 {\displaystyle L=120000}

P 0 = $ 120 , 000 360 = $ 333.33 {\displaystyle P_{0}={\frac {\$120,000}{360}}=\$333.33}

so that

P P 0 ( 1 + X + 1 3 X 2 ) = $ 333.33 ( 1 + .675 + .675 2 / 3 ) = $ 608.96 {\displaystyle P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)=\$333.33(1+.675+.675^{2}/3)=\$608.96}

Số tiền thanh toán chính xác là P = $ 608.02 {\displaystyle P=\$608.02} nên xấp xỉ này là giản ước quá mức khoảng 6%.