Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.
This Paper
A short summary of this paper
7 Full PDFs related to this paper
Download
PDF Pack
Từ toán học có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể của tri thức - ngành nghiên cứu suy luận về lượng, cấu trúc, và sự thay đổi; là ngôn ngữ của vũ trụ. Lĩnh vực của ngành học về Lịch sử Toán học phần lớn là sự nghiên cứu nguồn gốc của những khám phá mới trong toán học, theo nghĩa hẹp hơn là nghiên cứu các phương pháp và ký hiệu toán học chuẩn trong quá khứ. Trước thời kì hiện đại và sự phổ biến rộng rãi tri thức trên toàn thế giới, các ví dụ trên văn bản của các phát triển mới của toán học chỉ tỏa sáng ở những vùng, miền cụ thể. Các văn bản toán học cổ nhất từ Lưỡng Hà cổ đại [Mesopotamia] khoảng 1900 TCN [Plimpton 322], Ai Cập cổ đại khoảng 1800 TCN [Rhind Mathematical Papyrus], Vương quốc Giữa Ai Cập khoảng 1300-1200 TCN [Berlin 6619] và Ấn Độ cổ đại khoảng 800 TCN [Shulba Sutras]. Tất cả các văn tự này có nhắc đến Định lý Pythagore; đây có lẽ là phát triển toán học rộng nhất và cổ nhất sau số học cổ đại và hình học. Những cống hiến của Hy Lạp cổ đại với toán học, nhìn chung được coi là một trong những cống hiến quan trọng nhất, đã phát triển rực rỡ cả về phương pháp và chất liệu chủ đề của toán học. Một đặc điểm đáng chú ý của lịch sử toán học cổ và trung đại là theo sau sự bùng nổ của các phát triển toán học thường là sự ngưng trệ hàng thế kỉ. Bắt đầu vào Thời kì Phục Hưng tại Ý vào thế kỉ 16, các phát triển toán học mới, tương tác với các phát hiện khoa học mới, đã được thực hiện với tốc độ ngày càng tăng, và điều này còn tiếp diễn cho tới hiện tại. *** Giáo sư Nguyễn Cang sinh năm 1930 tại Quy Nhơn. Tốt nghiệp đại học năm 1965. Năm 1971, lấy học vị Tiến sĩ tại Rumani. Năm 1983, bảo vệ thành công học vị tiến sĩ tại Viện hàn lâm Khoa học Ba Lan. Năm 1984, được Nhà nước phong học hàm Phó giáo sư. Năm 1992, được Nhà nước phong học hàm Giáo sư. Giáo sư Nguyễn Cang đã được trao Huy hiệu 45 tuổi Đảng, nhận nhiều huân chương, huy chương cao quý như: Huy chương kháng chiến chống Pháp hạng I, Huân chương kháng chiến chống Mỹ hạng II, Nhà giáo ưu tú [1990], Huy chương Vì sự nghiệp giáo dục 1991-1992, Bằng khen của Bộ trưởng Bộ Đại học [1977], Bằng khen của Thủ tướng [1990]; song, như lời tâm sự của ông: "Tất cả những danh hiệu đó là niềm vinh dự lớn lao của một đời người. Riêng tôi, còn một điều khác lớn lao hơn, xin được mượn câu nói của nhà Toán học Pháp Poisson: ở đời chỉ có hai việc có ý nghĩa là nghiên cứu Toán và dạy Toán". Với Giáo sư Nguyễn Cang, được truyền giảng môn Toán, môn học mà ông đã gieo vào đó rất nhiều tâm huyết và lòng say mê là niềm hạnh phúc lớn lao. Toán học chưa bao là những con số khô khan trong ông. Ông đã dành khá nhiều thời gian nghiên cứu và viết thành sách: Lịch sử Toán học, Vẻ đẹp Toán học, Cuộc đời và sự nghiệp các nhà Toán học, Lý thuyết ổn định...
Về hưu từ năm 1997, giáo sư nói vui rằng: "Chỉ được cái bỏ hẳn công việc quản lý ở trường chứ có nghỉ ngơi ngày nào đâu! Tôi không nỡ từ chối lời mời giảng dạy cho một số trường đại học chỉ vì được tiếp tục dạy môn Toán!". Hiện tại, Giáo sư-Tiến sĩ khoa học Nguyễn Cang vẫn minh mẫn để hoàn thành nốt chuyên đề "Toán học và Triết học trong Toán học", chuyên đề ông rất tâm đắc, dự kiến đưa vào chương trình môn học không bắt buộc cho khóa cao học Toán -ĐH KHTN - Đại học Quốc gia TPHCM.
Sách - Lịch sử Kiến thức Toán học ở trường phổ thông
Sách - Lịch sử Kiến thức Toán học ở trường phổ thông
Shopee Mall Assurance
Ưu đãi miễn phí trả hàng trong 7 ngày để đảm bảo bạn hoàn toàn có thể yên tâm khi mua hàng ở Shopee Mall. Bạn sẽ được hoàn lại 100% số tiền của đơn hàng nếu thỏa quy định về trả hàng/hoàn tiền của Shopee bằng cách gửi yêu cầu đến Shopee trong 7 ngày kể từ ngày nhận được hàng.
Cam kết 100% hàng chính hãng cho tất cả các sản phẩm từ Shopee Mall. Bạn sẽ được hoàn lại gấp đôi số tiền bạn đã thanh toán cho sản phẩm thuộc Shopee Mall và được chứng minh là không chính hãng.
Miễn phí vận chuyển lên tới 40,000đ khi mua từ Shopee Mall với tổng thanh toán từ một Shop là 150,000đ
Chọn loại hàng
[ví dụ: màu sắc, kích thước]
Chi tiết sản phẩm
Nhập khẩu/ trong nước
Gửi từ
Nội dung gồm có: Chương 1. Lịch sử phát triển toán học * Giới thiệu tổng quan về lịch sử toán học * Giai đoạn phát sinh toán học * Giai đoạn toán học sơ cấp * Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển * Giai đoạn toán học hiện đại * Giới thiệu lịch sử văn học Việt Nam Chương 2. Lịch sử một số chủ đề kiến thức môn toán ở trường phổ thông * Lịch sử về phép đếm và các hệ thống số * Lịch sử về các kiến thức đại số * Lịch sử về các kiến thức hình học * Lịch sử về các kiến thức giải thích Chương 3. Chân dung một số nhà toán học có liên quan đến kiến thức môn toán ở trường phổ thông * Chân dung một số nhà toán học Hy Lạp * Chân dung một số nhà toán học châu Âu Tác giả: trần Trung, Nguyễn Chiến Thắng Số trang: 163 Xuất bản: 2016 Nhà xuất bản: Đại học sư phạm Công ty phát hành: Nxb Đại học sư phạm
Xem tất cả
b*****l
Sách xịn luôn.mong tui có thể đạt điểm cao môn này…..:…………..
2021-12-15 15:45
c*****h
Sách đẹp, shop bán đúng với giá bìa, đóng gói rất cẩn thậnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
2021-12-08 10:38
t*****8
Shop giao hàng rất nhanh Sách rất hay và hữu ích Cám ơn shop nhiều
2022-04-11 19:31
Mua ngay
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐOÀN THỊ THÙY LINH LỊCH SỬ CÁC KIẾN THỨC CHỦ ĐỀ TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sơn La, năm 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐOÀN THỊ THÙY LINH LỊCH SỬ CÁC KIẾN THỨC CHỦ ĐỀ TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Đại số và Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: TS. Hoàng Ngọc Anh Sơn La, năm 2014 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Hoàng Ngọc Anh, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Khoa Toán - Lý - Tin những người đã trực tiếp giảng dạy, trang bị cho em những kiến thức quý báu trong thời gian học tập tại trường. Đồng thời em cũng nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số và hình học - Trường Đại học Tây Bắc. Xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp k51 Đại học sư phạm Toán, cũng như gia đình, bạn bè những người luôn quan tâm, động viên và nhiệt tình giúp đỡ em để hoàn thành khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện Đoàn Thị Thùy Linh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2 2.1. Mục đích nghiên cứu 2 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 3. Đối tượng nghiên cứu 2 4. Phương pháp nghiên cứu 2 5. Cấu trúc của đề tài 2 Chƣơng 1. LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN TOÁN HỌC 3 1.1. Giới thiệu tổng quan về lịch sử toán học 3 1.2. Giai đoạn phát sinh toán học 7 1.3. Giai đoạn toán học sơ cấp 8 1.4. Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển 10 1.5. Giai đoạn toán học hiện đại 12 1.6. Giới thiệu lịch sử toán học Việt Nam 16 CHƢƠNG 2. LỊCH SỬ CÁC CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG 21 2.1. Lịch sử về các kiến thức đại số 21 2.1.1. Các bài toán dẫn đến kiến thức đại số 21 2.1.2. Phương trình và các thuật giải 24 2.1.3. Lượng giác 26 2.2. Lịch sử về các kiến thức hình học 30 2.3. Lịch sử về các kiến thức giải tích 36 2.3.1. Sự xuất hiện các khái niệm vô hạn 37 2.3.2. Các nghịch lí của Zênông [khoảng 450 trước Công nguyên] 39 2.3.3 Phương pháp cân bằng của Ácsimét 42 2.3.4. Những bước đầu của phép tính tích phân ở Tây Âu 42 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Tri thức của con người là nhân tố vô cùng quan trọng trong sự phát triển xã hội, trong đó giáo dục góp phần to lớn trong việc trang bị tri thức cho con người. Toán học - một khoa học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn cũng như đối với các ngành khoa học khác. Nó ra đời và ngày càng phát triển thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống. Nghiên cứu lịch sử toán học giúp người giáo viên toán hiểu được mối liên hệ giữa toán học với nhu cầu đời sống và hoạt động thực tiễn của con người. Từ đó sẽ làm nổi bật tầm quan trọng của việc liên hệ nội dung toán học đang giảng dạy với thực tiễn xung quanh học sinh và các ngành khoa học khác như vật lí, hóa học, sinh học… Hiện nay cũng có nhiều tài liệu về lịch sử toán học nhưng chủ yếu giới thiệu về những vấn đề chung trong các giai đoạn phát triển toán học. Trong sách giáo khoa toán ở trường phổ thông có đề cập đến lịch sử toán cũng như tiểu sử của một số nhà toán học nhưng rất sơ lược, điều đó cũng chứng tỏ các tác giả sách giáo khoa cũng có quan tâm đến vấn đề lịch sử toán học nhưng cần có một tài liệu chuyên sâu hơn. Ngoài ra từ trước tới giờ chúng ta nói là học toán nhưng liệu có mấy người biết đến lịch sử toán học ra đời thế nào? Bắt đầu từ đâu và phát triển qua từng giai đoạn ra sao? Xuất phát tư những lý do trên, tôi lựa chọn đề tài nghuên cứu: “Lịch sử các kiến thức chủ đề Toán ở trường phổ thông” nhằm giúp các thầy cô cũng như các em học sinh hiểu biết những sự kiện tiêu biểu trong những giai đoạn phát triển của toán học, qua đó nắm được sự phát sinh các tư tưởng toán học ở từng thời kì. Đồng thời cung cấp một bản tra cứu về lịch sử môn Toán ở trường phổ thông, từ đó có thể vận dụng trong các tình huống gợi vấn đề nhằm nâng cao hiệu quả dạy học toán. 2 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lịch sử toán học giúp người giáo viên và học sinh hiểu thêm về sự ra đời và quá trình hình thành của toán học. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến việc nghiên cứu như: lịch sử phát triển toán học, lịch sử các chủ đề kiến thức toán ở trường phổ thông…. Tìm hiểu thực trạng việc hiểu biết về lịch sử toán học của học sinh phổ thông. Đưa ra một số thông tin nhằm cung cấp thêm cho học sinh về lịch sử phát triển toán học nói chung và lịch sử các chủ đề kiến thức toán ở trường phổ thông nói riêng. 3. Đối tƣợng nghiên cứu - Lịch sử các chủ đề kiến thức môn toán ở trường phổ thông. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp tìm tòi nghiên cứu, tra tìm tài liệu, tham khảo ý kiến của những người có kinh nghiệm, - Phương pháp phân tích các tài liệu, tập trung vào các thông tin liên quan đến chủ điểm. - Phương pháp sắp xếp các tài liệu thông tin thu thập được. 5. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo… nội dung của đề tài gồm 2 chương: Chương 1. Lịch sử phát triển toán học; Chương 2. Lịch sử các chủ đề kiến thức môn Toán ở trường phổ thông. 3 Chƣơng 1. LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN TOÁN HỌC 1.1. Giới thiệu tổng quan về lịch sử toán học Chủ nghĩa Mác – Lenin đã chứng minh được rằng toàn bộ hệ thống logic của mọi khoa học, cấu trúc của nó, mối liên hệ và ngay cả sự tồn tại của các ngành riêng biệt của khoa học, không phải là một cái gì bất biến mà là kết quả của sự phát triển lịch sử. Vì vậy, không có một người nào làm công tác khoa học sáng tạo mà không nắm được đối tượng và nguồn gốc phát sinh và phát triển khoa học của mình. Người thầy dạy toán, trước hết, là người làm công tác toán học, cho nên cần phải có những hiểu biết nhất định về sự phát triển của toán học, để qua đó nắm được đối tượng và nguồn gốc của toán học, giúp hiểu biết thực chất đúng đắn của toán học. Theo Engels, đối tượng của toán học là những quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới hiện thực. Do đó, toán học là khoa học về quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thời gian khách quan, được hình thành và phát triển trên những cơ sở hoạt động thực tiễn của xã hội loài người. Trải qua nhiều giai đoạn phát triển, đối tượng của toán học cũng thay đổi và mở rộng dần: các số và hình của toán sơ cấp, các đại lượng biến thiên và hàm số của giải tích toán học trong các thế kỉ vừa qua và các cấu trúc tổng quát cùng các thuật toán trong toán học hiện đại. Bản thân khái niệm về “quan hệ số lượng” và “hình dạng không gian của thế giới hiện thực” ngày nay không chỉ hiểu theo nghĩa thông thường mà hiểu theo nghĩa tổng quát nhất. Chẳng hạn, hình học ngày nay nghiên cứu nhiều không gian khác nhau [với số chiều hữu hạn hoặc vô hạn] và mối liên hệ giữa các không gian đó: không gian afin, không gian Euclid, không gian xạ ảnh, không gian vector, không gian topo… Ngoài ra, toán học còn nghiên cứu các hình dạng và quan hệ khác tương tự các hình dạng và không gian vật lý [như không gian các màu sắc, không gian các âm thanh,…] nên có thể sử dụng các phương pháp hình học để nghiên cứu các hình dạng và quan hệ ấy. Trong nhiều tập hợp mà các phần tử là các đối tượng thuộc loại tùy ý [như: vector, phép dời hình,…] ta có thể thực hiện các phép toán [như phép 4 cộng vector, phép hợp thành các phép dời hình,…] cũng có những tính chất giống như các tính chất của các phép toán trên các số; từ đó, ta có khái niệm về cấu trúc đại số như khái niệm nhóm [nhóm các số nguyên, nhóm các vector, nhóm các phép dời hình,…] Toán học là ngành khoa học có nhiều ứng dụng nhất, khi nói đến nguồn gốc của toán học ta liên tưởng ngay đến nguồn gốc thực tiễn của nó. Từ xưa đến nay toán học phát sinh và phát triển do những nhu cầu thực tế của đời sống con người và do cả nhu cầu bản thân của nó. Mỗi cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật đều gây ra những biến đổi sâu sắc trong toán học và ngược lại những biến đổi này càng tác động mạnh mẽ đến khoa học kĩ thuật. Toán học cao cấp ra đời để phục vụ cho sản xuất thủ công nghiệp, toán học cao cấp cổ điển là công cụ của kĩ thuật cơ khí hóa, còn toán học hiện đại với tất cả nội dung phong phú và phương pháp trừu tượng cao độ của nó đã ra đời để chuẩn bị cho sản xuất tự động hóa và đang phát triển dưới sự thúc đẩy trực tiếp của nền sản xuất đó. Bên cạnh nguồn gốc thực tiễn, đối tượng của toán học còn mang tính trừu tượng cao. Theo Engels “Toán học là một khoa học rất thực tiễn”. Việc khoa học ấy mang một hình thức cực kì trừu tượng chỉ che đậy bề ngoài nguồn gốc của nó trong thế giới khách quan. Muốn nghiên cứu những hình dạng và quan hệ ấy một cách thuần túy thì phải tách hẳn chúng ra khỏi nội dung này, coi nó như không có bề dày và bề rộng, những a và b, những x và y, những đại lượng không đổi và những đại lượng biến thiên. Cũng như tất cả những môn khoa học khác, toán học phát sinh từ những nhu cầu thực tế của con người, từ việc đo đạc diện tích của các đám đất và dung tích các hình chậu, từ việc tính thời gian, từ cơ học…”. Tính trừu tƣợng của toán học không dừng lại ở một mức độ nhất định mà tiến từ mức này sang mức khác. Có những khái niệm là kết quả của sự trừu tượng hóa trực tiếp từ nhận thức cảm giác, từ kinh nghiệm và khảo sát [như các số tự nhiên], nhưng có những khái niệm là kết quả của sự lí tưởng hóa – tức là sự trừu tượng hóa không xuất phát từ thực tiễn mà từ những kết quả của những trừu tượng hóa trước đó [như số ảo, các không gian nhiều chiều, cấu trúc đại số, topo,…]. 5 Ngoài ra tri thức toán học còn có đặc điểm là tính vƣợt thời đại. Có những lí thuyết mà phải đến hàng chục, thậm chí hàng trăm năm sau mới có ứng dụng kể từ khi nó ra đời. Lịch sử toán học là sự nghiên cứu nguồn gốc của các phát minh trong toán học, ở phạm vi hẹp hơn thì nó là sự nghiên cứu các phương pháp và khái niệm toán học trong quá khứ. Nhiệm vụ nghiên cứu của ngành Lịch sử toán học: Tìm hiểu sự phát sinh của các phương pháp, các khái niệm và các tư tưởng toán học cũng như sự hình thành đến các lí thuyết toán học khác nhau trong lịch sử; Tìm hiểu tính chất và đặc điểm của sự phát triển toán học ở các dân tộc khác nhau trong từng giai đoạn lịch sử; sự cống hiến của các nhà toán học; Nghiên cứu các mối liên hệ giữa toán học với các nhu cầu và hoạt động thực tiễn của con người, và với sự phát triển của các khoa học khác; sự ảnh hưởng của các cơ cấu kinh tế và xã hội, của đấu tranh giai cấp [đặc biệt là trong lĩnh vực tư tưởng] đến nội dung và tính chất của sự phát triển toán học; Nghiên cứu nguyên nhân lịch sử của cấu trúc logic của toán học hiện đại, tính biện chứng của sự phát triển của nó, giúp hiểu rõ mối quan hệ giữa các bộ phận toán học; dự đoán được triển vọng phát triển của toán học. Việc nắm rõ vai trò của Lịch sử toán học đối với người giáo viên dạy Toán ở trường phổ thông là rất quan trọng, muốn dạy tốt môn Toán trước hết người giáo viên cần có những hiểu biết nhất định về khoa học Toán học, bao gồm các nội dung: đối tượng, nguồn gốc, phương pháp của toán học và tiêu chuẩn chân lí của khoa học này. Để có những nhận thức đúng đắn về vấn đề này, người giáo viên cần phải nắm vững lịch sử phát triển của Toán học. Trong chương trình sách giáo khoa ở THPT có cung cấp một số thông tin về lịch sử toán học mà được để trong mục “Em có biết?” để cung cấp thêm thông tin cho học sinh về lịch sử toán học cũng như tiểu sử của một số nhà Toán học và làm cho cuốn sách thêm sinh động tránh tình trạng học sinh nhàm chán với những kiến thức hoặc để cung cấp thêm thông tin giải đáp thắc mắc cho học 6 sinh về sự ra đời của toán học. Điều đó cũng chứng tỏ tác giả sách giáo khoa cũng quan tâm đến lịch sử toán học. Khi biết về lịch sử toán học, người giáo viên sẽ hiểu rõ hơn đối tượng của toán học, thấy được mạch logic của quá trình phát triển toán học, từ đó giúp cho người giáo viên rút ra một số vấn đề về dạy học môn Toán. Do nguồn gốc thực tiễn của toán học nên khi dạy một kiến thức mới [khái niệm, định lí toán học, tiên đề…] giáo viên cần liên hệ với tình huống thực tiễn nhằm giúp học sinh hiểu rõ kiến thức hơn, biết vận dụng kiến thức để giải quyết một số vấn đề thực tiễn; sử dụng tư liệu của lịch sử toán học để gợi động cơ trong dạy học, chẳng hạn sử dụng đạo hàm để tính diện tích, thể tích, vận tốc, gia tốc của một vật… Theo G. Polia: “Toán học có hai hình thái: nó là khoa học chặt chẽ của Euclid nhưng nó cũng là một nghệ thuật vô hạn, không cứng nhắc. Khi được trình bày theo kiểu Eulid, toán học là một khoa học suy diễn và có hệ thống, nhưng toán học do các nhà tìm tòi sáng tạo ra là một khoa học thực nghiệm và quy nạp. Cả hai hình thái đó đều có từ lâu cũng như bản thân toán học vậy”. Do đó, đặc trưng của phương pháp toán học chính là sự kết hợp chặt chẽ giữa cái cụ thể và cái trừu tượng, giữa phương pháp suy diễn và phương pháp quy nạp từ đó người giáo viên dạy Toán cần lựa chọn phương pháp dạy học thích hợp, suy nghĩ cách giáo dục con người sẽ gây được hứng thú cho người học. Ngoài ra có thể đọc thêm, kết hợp vào các bài giảng của mình mà giới thiệu đúng lúc, ngắn gọn những nút lịch sử của vấn đề, những gương lao động của các nhà toán học làm cho giờ học thêm sinh động, khơi dậy thêm nguồn vui học tập, công tác và tu dưỡng trong học sinh. Một tác dụng quan trọng đối với giáo viên khi nắm Lịch sử toán học là hiểu được các lĩnh vực toán học trong chương trình, từ đó thấy được kiến thức nào luôn có mặt trong sự thay đổi của chương trình sách giáo khoa. Ví dụ, phân tích lịch sử sẽ giúp giáo viên thấy được vai trò của hình học giải tích đối với mối quan hệ giữa đại số và hình học. Trước khi các phương pháp đại số được xây dựng thì những phương pháp hình học đã phát triển đến độ mà người ta xem chúng gắn liền với tư duy suy diễn và lập luận logic. Các nhà đại số đầu tiên đã 7 phải tìm trong hình học ý nghĩa những lập luận của họ. Hình học đem đến cho họ một “kho” bài toán; những bài toán ấy dù được giải theo kiểu đại số đi chăng nữa thì cũng cần phải giải thích bằng hình học, về cơ bản các phương trình đại số được xem như là các bài toán hình học. Hình học gắn liền với việc nghiên cứu các không gian vật lí. Đại số thuở ban đầu lại không có những phương tiện hữu hiệu để biểu diễn các đối tượng của mình. Để đại số kí hiệu trở nên hiệu quả, cần phải chuyển sang một cái nhìn trừu tượng, loại bỏ những ý tưởng trực giác và những kinh nghiệm trước kia về các số. Bước chuyển này không chỉ xác nhận sự độc lập hoàn toàn của đại số với hình học mà còn đảm bảo sức mạnh và khả năng phát triển. Vào thế kỉ XIX, nhu cầu xem xét lại tính chính xác của các phương pháp toán học được sử dụng cho đến lúc đó, sự ra đời của hình học phi Euclid không sử dụng đến trực giác, rồi ý muốn thiết lấp một nền toán học có cơ sở vững chắc, v.v… đã kết thúc uy thế của ngôn ngữ họa hình trong giải quyết các vấn đề toán học. Các phương pháp đại số dần dần lấn áp được phương pháp hình học thuần túy. Khuynh hướng đại số toán học ngày càng phát huy ảnh hưởng. Các giai đoạn phát triển của Toán học: có thể chia ra làm nhiều giai đoạn, căn cứ vào một số đặc điểm ví dụ như: chia theo quốc gia, theo chế độ kinh tế và xã hội, theo các phát minh lớn có tính quyết định tính chất của sự phát triển toán học trong thời gian nhất định nào đó,… Theo quan điểm của nhà toán học người Nga A. N. Kolmogorov [1903-1987] có thể chia lịc sử phát triển Toán học làm ba giai đoạn: Giai đoạn Toán học sơ cấp, giai đoạn Toán học cao cấp cổ điển và giai đoạn Toán học hiện đại. 1.2. Giai đoạn phát sinh toán học Giai đoạn này bắt đầu từ thời kì xa xưa nhất của loài người nguyên thủy kéo dài đến thế kỉ thứ VII – V trước Công nguyên, lúc mà toán học trở thành khoa học độc lập có đối tượng và có phương pháp riêng. Đặc điểm của giai đoạn này: - Về tài liệu nghiên cứu: Chủ yếu là tài liệu về lịch sử văn hóa chung của loài người, đặc biệt là tài liệu khảo cổ và những sự kiện về sự phát triển ngôn ngữ. Khi xác định niên biểu cho những khám phá của phương đông cổ đại có rất 8 nhiều khó khăn, khó khăn nhất chính là phương tiện ghi lại những khám phá đó. Người Babylon dùng bản đất sét nung, người Ai Cập dùng giấy và cỏ là những thứ tồn tại được lâu vì có khí hậu khô khác thường; nhưng người Trung Quốc và người Ấn Độ cổ xưa lại dung những phương tiện rất dễ hỏng như vỏ cây hoặc cây tre. Bởi vậy, nền khoa học của người Babylon và người Ai Cập được biết đến nhiều hơn so với người Trung Quốc và người Ấn Độ cổ xưa. - Về toán học thời kì này: Sự tích lũy các sự kiện toán học cụ thể ở trong một khuôn khổ khoa học chung [khoa học tự nhiên], chưa được phân chia. Toán học thời kì này bắt nguồn trực tiếp từ những thực tiễn sản xuất nông nghiệp và kĩ thuật. Các hoạt động thực tế này đòi hỏi phải tính toán niên lịch phát triển hệ thống cân đo phục vụ cho việc thu hoạch, phân chia thực phẩm, tạo ra các phương pháp trắc địa để phục vụ cho việc xây dựng kênh đào, bể chứa cũng như phân chia đất đai và phát triển những thông lệ về tài chính và thương mại nhằm tăng thuế, thu thuế và phục vụ cho mục đích thương mại. Nền toán học sơ khai nhấn mạnh về số học và đo lường thực hành nên các khuynh hướng trừu tượng hóa đều bị hạn chế nên môn đại số đã được phát triển về sau từ môn số học và những bước đầu của hình học lí thuyết là từ phép đo lường mà ra. Có một chú ý đó là không thể tìm thấy trong tất cả các nền toán học phương đông cổ đại một hình mẫu gọi là đơn sơ mà ngày nay người ta gọi là phép chứng mình, thay vì một lập luận thì chỉ thấy sự mô tả quá trình; gần như không có quy tắc chung cho một loại toán nào mà chỉ như để áp dụng cho các trường hợp riêng. 1.3. Giai đoạn toán học sơ cấp Từ thế kỉ VII – V trước Công nguyên đến hết thế kỉ XVI là giai đoạn toán học sơ cấp của sự phát triển Toán học. Giai đoạn này thuộc vào thời kỳ nô lệ ở Hy Lạp, La Mã và thời kì phong kiến ở Ấn Độ, Trung Quốc, Trung Cận Đông và Tây Âu. Giai đoạn toán học sơ cấp kết thúc ở châu Âu khi trọng tâm nghiên cứu của toán học đã chuyển sang phạm vi của các đại lượng biến thiên. Trong thời kì này, toán học chủ yếu nghiên cứu về các đại lượng không đổi. Người ta đã nghiên cứu những hệ thống khái niệm cơ sở của từng ngành 9 toán học riêng biệt. Những hệ thống khái niệm này khái quát hóa thực tiễn toán học và phản ánh những quy luật khách quan của tư duy toán học loài người. Những lí thuyết toán học đầu tiên được trừu tượng hóa từ những bài toán cụ thể hoặc từ tập hợp các bài toán cùng loại đã tạo ra những tiền đề cần thiết và đầy đủ cho việc nhận thức tính độc lập của toán học. Nhận thức đó đã kích thích các nhà toán học cổ đại xu hướng hệ thống hóa các sự kiện toán học và trình bày cơ sở toán học một cách nhất quán và logic. Toán học đến đây đã được xem như một hệ thống suy luận logic, xuất phát từ một mệnh đề cơ bản [tiên đề] được coi là đúng đúng rồi rút ra những kết quả khác bằng đường lối suy luận logic. Logic dùng trong toán học suy diễn là logic hình thức, lấy các quy luật đồng nhất, bài trung, không mâu thuẫn, có căn cứ đầy đủ làm cơ sở, do Aristoteles tổng kết lại những kinh nghiệm lâu đời về suy luận của con người, lặp đi lặp lại hàng nghìn triệu lần nên được xem là những chân lí phổ biến. Nền sản xuất theo kiểu thủ công, với những kĩ thuật thô sơ dưới chế độ phong kiến không đòi hỏi những công cụ toán học tinh vi hơn toán học sơ cấp, tức là phần lớn những kiến thức số học, hình học, tam giác lượng, đại số dạy ở trường phổ thông hiện nay. Bước đầu tiên trong lịch sử phát triển của khoa học toán học được đánh dấu bằng các công trình của các nhà toán học: Talet [639 – 548 trước công nguyên], Pi-ta-go [569 – 470 trước công nguyên], Hypocrat [thế kỉ V trước công nguyên], Apolonius [260 – 170 trước công nguyên], v.v… Nền toán học trong giai đoạn này đạt được kết quả rực rỡ với những tác phẩm của Euclid, Archimedes, Apolonius về hình học, của Diophantine [thế kỉ III], Boramagupta [sinh năm 598] Bkhatskara Akaria [sinh năm 1114] về Số học và Đại số, của Ptolemy về tam giác lượng,… Nền toán học Hy Lạp có những đóng góp căn bản, đặc biệt là về Hình học và về phương tiện logic chặt chẽ với trình độ trừu tượng khá cao so với đươcng thời của nó. Nhưng sau thời kì toàn thịnh [đến thế kỉ thứ II trước công nguyên] Toán học ở Hy Lạp tách rời thực tế [do tính chất ax hội nô lệ và triết lí duy tâm] đã ngừng trệ và bế tắc. Trong lúc đó các dân tộc phương Đông, do nhu cầu phát triển 10 thương mại và nhu cầu giao thông hàng hải đã phát triển nhiều về số học và đại số học, có nhiều ảnh hưởng đến sự phát triển sau này của Toán học ở Châu Âu. 1.4. Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển Giai đoạn này [từ thế kỉ XVII đến giữa thế kỉ XIX] mở đầu với việc đưa đại lượng biến thiên vào hình học giải tích của Descartes và từ đó dẫn đến phép tính tích phân do Newton và Lepsnit đã hoàn thành toàn bộ. Giai đoạn này có nhiều sự kiện phong phú và sôi nổi. Toán học đang dạy ở các trường Cao đẳng và Đại học trong những năm đầu được coi là giải tích cổ điển của Toán học hiện đại. Toán học trong các giai đoạn trước nghiên cứu các số, các đại lượng và hình học, chỉ khảo sát các trường hợp riêng biệt, những quan hệ tĩnh tại và hình dạng cố định. Vì vậy, toán học như thế không phản ánh đầy đủ những quan hệ số lượng và hình dạng không gian trong thế giới khách quan. Do sự phát triển của lực lượng sản xuất và quan hệ xã hội, đến thế kỉ XVII, khoa học kĩ thuật phát triển mạnh mẽ mở ra một giai đoạn mới trong lịch sử toán học, giai đoạn của các đại lượng biến thiên. Đến đây, đối tượng chủ yếu của toán học là các quá trình, chuyển động. Trong lịch sử toán học, thế kỉ XVII chiếm một vị trí đặc biệt cực kì quan trọng. Vào thời kì đầu của thế kỉ đó, Nepe đã phát minh ra logarit, Harirot và Oughtred đã đóng góp các kí hiệu và cách mã hóa cho đại số học. Galile đã đặt nền móng cho khoa học động lực và Keepler đã tuyên bố các định luật chuyển động của hành tinh. Muộn hơn về phía sau của thế kỉ này, Đờ-dác và Paxcan đã mở ra một lĩnh vực mới của hình học thuần túy. Descartes đưa ra hình học giải tích, Fermat thì đặt cơ sở cho lý thuyết số hiện địa và Huyghen có những đóng góp nổi bật cho lý thuyết xác suất và các lĩnh vực khác. Rồi đến cuối thế kỉ, sau khi hành loạt các nhà toán học của thế kỉ XVII đã dọn sẵn đường thì sự sang tạo của tính toán mang màu sắc thế kỉ đã được Newton và Lép-nít thực hiện. Những thành tựu trong việc khám phá và phát biểu về mặt toán học một số lớn các quy luật tự nhiên đã đưa đến việc xây dựng hệ thống các khoa học về 11 thiên nhiên – Khoa học tự nhiên – Toán học. Môn khoa học này được hiểu là một môn khoa học chung, có mục đích giải thích quá trình của các hiện tượng riêng biệt bằng những định luật chung của tự nhiên đã được phát biểu dưới toán học. Tư tưởng triết học về tính vạn năng của phương pháp toán học phản ánh sự lớn mạnh nhanh chóng của kĩ thuật và toán học, đã thống trị khối óc của các nhà bác học và triết học lớn nhất của thế kỉ XVII. Mỗi thành tựu mới của khoa học tự nhiên – toán học đều kích thích mạnh mẽ nhu cầu ứng dụng của kí thuyết toán học. Ở thời kì nào cũng vậy, toán học đều được phát triển dưới ảnh hưởng quyết định của thự tiễn, mà xét cho cùng là của sự tiến bộ về vật chất và kỹ thuật. Ở thế kỉ XVII ảnh hưởng đó có tác dụng trực tiếp, sự sáng tạo toán học của các nhà bác học thế kỉ XVII đã diễn ra dưới áp lực của nhu cầu thực tiễn. Trong thế kỉ này, có nhiều biến đổi trong các hình thức tổ chức nghiên cứu toán học. Thay thế cho các cá nhân riêng lẻ giàu nhiệt tình – những con người đặc biệt đáng quý – đã có những nhóm, hội, những tổ chức khoa học ra đời. Từ năm 1662, hội Hoàng Gia Luân Đôn đã bắt đầu hoạt động, và ngày nay vẫn có chân trong viện Hàn lâm khoa học Quốc gia. Năm 1966, Viện hàn Lâm Pari được thành lập. Thế là bước đầu đã hình thành các hội và các cơ qan khoa học - hình thức thuận tiện cho lao động tập thể của các nhà bác học trước những vấn đề khoa học khó khăn, dưới sự bảo trợ của khoa học Quốc gia. Vào cuối thế kỉ XVIII sang đầu thế kỉ XIX là thời kì mà khoa học công nghiệp cơ khí rất phát đạt ở các nước phương tây thì cũng là lúc toán học đạt được những thành tựu rực rỡ như các công trình của Euler, Lơ-giăng-đơ-rơ, Cauchy,…. Giải tích toán học tuy đã phát triển một cách khá đặc sắc nhưng chưa có nền móng vững vàng [chưa biết định nghĩa chính xác khái niệm vô cùng bé, thạm chí cả khái niệm số thực,…]. Do đó, nảy sinh cuộc khủng hoảng mà nguyên nhân là có mâu thuẫn giữa yêu cầu phải phản ánh cái vận động, biện chứng và đòi hỏi nội tại của toán học là không mâu thuẫn và hình thức. 12 1.5. Giai đoạn toán học hiện đại Giai đoạn này kéo dài từ nửa sau thế kỉ XIX đến nay. Đây là thời kì mà khoa học kĩ thuật chuẩn bị và bước vào cuộc cách mạng lớn về vật liệu, năng lượng và điều khiển để đưa nền sản xuất tiến lên tự động hóa. Đặc điểm của giai đoạn này là đối tượng của toán học đã mở ra rất rộng và vấn đề xây dựng cơ sở của toán học có một ý nghĩa đặc biệt quan trọng, nhiều lí thuyết toán học mới xuất hiện. Toán học đã trở thành một khối thống nhất với những phương pháp chung. Toán học có uy lực chưa từng thấy về phương diện và ứng dụng. Toán học hiện đại đã trở thành một khoa học những quan hệ số lượng và hình dạng không gian tổng quát hơn, mà các số, các đại lượng, và các hình học thông thường chỉ là những trường hợp rất đặc biệt. Nội dung của đối tượng toán học trở nên rất phong phú đến mức cần xây dựng lại và thay đổi toàn bộ vấn đề quan trọng nhất của toán học mà một trong những vấn đề đó là cơ sở của toán học. Đó là hệ thống các vấn đề về lịch sử, về logic, về triết học và các hệ thống lí thuyết toán học. Đặc biệt, người ta nhận định lại một cách có phê phán các hệ thống tiên đề của toán học và toàn bộ các phương tiện logic của các chứng minh toán học. Sự nhận định này nhằm mục đích xây dựng một hệ thống chặt chẽ các cơ sở của toán học, tương ứng với các kinh nghiệm tiên tiến tích lũy được của tư tưởng lòa người làm cho toán học ngày càng tiến lên hơn nữa, nâng cao thêm tư duy toán học của loài người. Các xu hướng phát triển của toán học trong giai đoạn này: - Từ nhu cầu thực tiễn trước mắt hoặc trong tương lai không xa của sản xuất và các khoa học khác đòi hỏi toán học hiện địa gắn chặt với điều kiện học và nêu lên cho nó ba vấn đề chính: khắc phục sự phức tạp, khắc phục tính chất bất định và lựa chọn giải pháp tốt nhất. Bởi vậy, thúc đẩy toán học theo ba hướng chính: Toán học rời rạc nhằm khắc phục sự phức tạp, toán học ngẫu nhiên để khắc phục tính chất bất động, các lý thuyết tối ưu hóa để giải quyết điều kiện tốt nhất. 13 - Từ nhu cầu thực tiễn của việc xây dựng bản thân toán học, nhằm hoàn thiện công cụ để chuẩn bị dự trữ cho lâu dài. Quy luật phát triển của bản thân toán học đòi hỏi không ngừng xây dựng những lý thuyết trừu tượng càng ngày càng thống nhất được nhiều ngành của toán học, phát hiện những quy luật khái quát ngày càng bao trùm được nhiều hiện tượng, sáng tạo những công cụ tổng hợp ngày càng có nhiều hiệu lực trong nhiều lĩnh vực, nhằm tiết kiệm công sức và nâng cao năng suất tư duy toán học nhằm chuẩn bị tiền lực tiến lên làm chủ được mọi tình huống thực tế phức tạp chưa dự đoán được trong tương lai. Những nguyên tắc có tính chất quyết định đối với sự phát triển của toán học: - Không có lí thuyết toán học nào là duy nhất. - Cấu tạo lí thuyết của những ngành toán học mới được xác định trên nguyên tắc thay đổi và tổng quát hóa những quan điểm cơ bản từ thực nghiệm. - Tính chân thực của một lí thuyết toán học có thể được thực nghiệm đúng với thí nghiệm nhưng với trình độ khoa học của tương lai, thí nghiệm cũng có thể tìm thấy sự thiếu chính xác trong quan hệ giữa lí thuyết toán học đó với tính chất thực tế. Toán học hiện đại tập trung vào một số vấn đề lí luận then chốt ở rang giới các ngành topo đại số, logic toán, lấy phạm trù làm ngôn ngữ ngày càng phổ biến, lấy đại số làm công cụ chỉ đạo và lấy nội dung giải tích, số luận, hình học làm xuất phát điểm. Lúc này ranh giới giữa các ngành toán học không còn tách bạch mà đã là một khối thống nhất, không thể gán cho phần lớn tài liệu toán học hiện đại vào một trong các từ Đại số, Giải tích hay Hình học nữa; đồng thời ranh giới giữa lí thuyết và ứng dụng trong nhiều trường hợp đã không còn rõ ràng, dứt khoát như trước nữa. Ba sự kiện toán học lớn có ý nghĩa sâu sắc diễn ra trong thế kỉ XIX là: một sự kiện trong lĩnh vực hình học, một sự kiện trong lĩnh vực đại số và sự kiện còn lại trong lĩnh vực giải tích. Sự kiện đối với hình học là sự kiện khám phá ra hình học phi – Euclid, môn hình học phi mâu thuẫn và tự nhất quán, khác với hình học Euclid. Hệ quả tức thời của sự kiện này là đặt dấu chấm hết cho bài toán cổ xưa về định đề song 14 song, một định đề được chứng minh là sự độc lập với các giả định khác của hình học Euclid. Nhưng còn có một hệ quả sâu sa hơn là hình học đã được giải phóng khỏi cái khuôn mẫu cổ truyền của nó. Tính thuyết phục thâm căn cố đế của những thế kỉ xưa nói rằng chỉ có thể có một hình học là khả hữu đã bị phá vỡ tan tành và một con đường thênh thang đã rộng mở để có thể sáng tạo nhiều hệ thống hình học khác nhau. Sự kiện ngay sau sự kiện trong hình học là sự kiện trong đại số. Đó là sự sáng tạo ra đại số không giao hoán năm 1843. Đầu thế kỉ XIX, đại số học chỉ được coi đơn giản là số học suy rộng. Đó chính là thay vì làm việc với những con số riêng biệt như ta vẫn thường làm trong số học thì trong đại số học ta dùng các chữ làm kí hiệu biểu thị cho những con số bất kì. Ở phần đầu của thế kỉ XIX, người ta dường như không thể tin được lại có thể tồn tại một đại số nhất quán có một cấu trúc khác với cấu trúc của đại số thông thường của số học. Vào năm 1843, nhà toán học Ailen W. R Hamintơn [1805 – 1865] đã phát minh ra đại số quaternion trong đó luật giao hoán của phép nhân không còn đúng nữa. Một năm sau, nhà toán học Đức H. Grassman [1809 – 1877] đã cho xuất bản đầu tiên cuốn Ausdehnungslehre nổi tiếng của mình trong đó đã phát triển toàn bộ các lớp đại số có một cấu trúc khác với cấu trúc của đại số quen thuộc của số học. Năm 1857, nhà toán học Anh A.Caylay [1821 – 1895] đã nghĩ ra đại số ma trận, đó chính là một ví dụ khác của đại số không giao hoán. Bằng cách làm yếu đi hoặc xóa bỏ những định đề khác nhau của đại số thông thường, hoặc bằng cách thay thế một hay nhiều hơn các định đề đó bằng những định đề khác nhất quán với những định đề còn lại thì một số lượng lớn khác nhau những hệ thống có thể được nghiên cứu tới. Chẳng hạn, ta còn có các hệ thống như phỏng nhóm, tựa nhóm, nửa nhóm, nhóm, vành, dàn, vành Bool, đại số Bool,… Đại bộ phận công trình này thuộc về thế kỉ XX và điều đó phản ánh ý thức về ự khái quát hóa và trừu tượng hóa rất thường thấy trong toán học ngày nay. Sự kiện cuối cùng là sự kiện số học hóa giải tích. Một số nhà toán học thế kỉ XVIII đã bắt đầu báo động về sự khủng hoảng sâu đậm về cơ sở của giải tích. Năm 1764, Đa-lăm-be nhận thấy rằng phải cần đến lí thuyết giới hạn vào năm 15 1977 thì Lagrange đã nỗ lực làm cho giải tích được chặt chẽ hơn. Năm 1921, một bước tiến khổng lồ do nhà toán học Pháp A. L. Cauchy đã thực hiện thành công gợi ý của Đa-lăm-be bằng cách phát triển một lí thuyết giới hạn chấp nhận được rồi sau đó định nghĩa sự hội tụ, tính liên tục, tính khả vi và tích phân xác định theo quan niệm về giới hạn. Nhưng yêu cầu cần hiểu sâu hơn nữa về cơ sở giải tích đã được đáp ứng và gây ấn tượng mạnh vào năm 1874 khi nhà toán học Đức K. Vâyơstrat đưa ra một ví dụ về hàm liên tục mà không có đạo hàm hoặc nói cách khác, đó là một đường mà không có tiếp tuyến tại bất kì một điểm nào của nó. G. B. Riemann thì đưa ra một hàm liên tục với mọi giá trị vô tỷ của biến nhưng lại gián đoạn với mọi giá trị hữu tỷ. Nhưng ví dụ đó mâu thuẫn với trực giác của con người và càng làm cho người ta nghĩ rằng Cachy chưa thực sự thấy được cái khó khăn tột cùng trên con đường đi tới một cơ sở vững vàng cho giải tích học. Lí thuyết giới hạn được xây dựng trên một khái niệm trực giác đơn giản về hệ thống số thực. Thật ra, hệ thống số thực ít nhiều được coi như là thực sự đã có và trong các tài liệu về phép tính vi tích phân hiện nay nó vẫn như vậy. Người ta thấy rõ ràng là lí thuyết giới hạn, tính liên tục và tính khả vi phụ thuộc vào những tính chất khó hiểu của hệ thống số thực nhiều hơn là so với những gì chúng cần có. Do vậy, Vâyơstrat ủng hộ một chương trình trong đó trước hết bản thân hệ thống số thực phải được làm cho chặt chẽ rồi tất cả các quan niệm cơ bản về giải tích mới được rút ra tự hệ thống số đó. Chương trình nổi tiếng này được gọi là chương trình số học hóa giải tích. Nó cho thấy quả có khó khăn và rắc rối nhưng sau đó đã được Vâyơstrat và các môn đệ thực hiện được, và ngày nay mọi thứ trong giải tích đều có thể rút gọn được một cách hợp lí từ một tập hợp định đề đặc trưng cho hệ thống số thực. Lí thuyết tập hợp và phương pháp tiên đề mở ra cho toán học khả năng nghiên cứu một cách nhất quán mọi loại phép toán, mọi loại quan hệ và cấu trúc ở mức độ rất khái quát. Sau hàng nghìn năm sang lọc, toán học xem ba cấu trúc cơ bản: tôpô, đại số, thứ tự là những cấu trúc cơ bản. Do bộ môn toán học được tổ hợp từ ba loại cấu trúc này nên được gọi là cấu trúc cơ bản. Tổ hợp này có thể đơn giản hay phức tạp, càng phức tạp thì nằm trên một bậc càng cao trong cái 16 gọi là thang cấu trúc. Tuy chỉ có ba cấu trúc cơ bản nhưng đưa tất cả các bài toán về ba cấu trúc đó lại là một quá trình phức tạp cho nên ở mỗi giai đoạn phát triển, người ta dùng cấu trúc phức tạp hơn gọi là cấu trúc cơ sở thay cho ba cấu trúc cơ bản. Đó là đa tạp khả vi, đa tạp đại số và đa tạp giải tích. Sự phát triển kĩ thuật từ cơ khí hóa lên tự động hóa và sự ra đời một khoa học mới – điều khiển học – cơ sở của kĩ thuật tự động hóa là nguồn gốc cho sự ra đời các lí thuyết thuật toán. Các lí thuyết thuật toán đã góp phần xây dựng các máy tính điện tử, phát triển các ngành toán học tính toán. Lí thuyết toán học lại tạo điều kiện cho việc ra đời và phát triển các hướng toán học kiến thiết. Quan điểm này cho phép đi sâu vào bản chất phức tạp của các đối tượng thông tin của chúng và là cơ sở tốt cho khoa học tính toán. 1.6. Giới thiệu lịch sử toán học Việt Nam Trước Cách mạng tháng Tám, bị sự kìm hãm của chế độ phong kiến và thực dân, nền kinh tế của Việt Nam rất nghèo nàn và lạc hậu, cho nên toán học và khoa học tự nhiên không phát triển được. Các khao thi thời xưa ở nước ta có nội dung toán học là trong thời kì của Hồ Quý Ly. Chúng ta có các nàh khoa học kiêm văn học như Trần Nguyên Đán làm ra bộ sách Bách thế thông kỉ thư nói về lịch sử từ năm 2357 trước công nguyên đến năm 1367 sau Công nguyên, ghi rõ cả những ngày nhật thực, nguyệt thực. Lương Thế Vinh người làng Cao Hương, huyện Vụ Bản, Nam hà đỗ Trạng nguyên năm 1463 với tư tưởng thần cơ diệu toán vạn niên sư, là tác giả cuốn Đại thành toán pháp được coi là sách giáo khao xưa nhất về toán. Vũ Hữu người làng Mộ Trạch, huyện Đường An [nay là Bình Giang], Hải Dương, với cuốn Lập thành Toán pháp. Nguyễn Hữu Thận có Ức trai toán pháp, Nguyễn Cần có sách Bút toán chỉ nam. Từ sau Cách mạng tháng Tám năm 1945, chúng ta xây dựng nền toán học của đất nước hầu như từ con số không trở đi. Mặc dù hoàn cảnh khó khăn của những năm tháng chống Pháp, Đảng và Chính phủ ta đã chú ý xác tiến việc xây dựng các ngành khoa học, trong đó có toán học. Một mặt, do nhu cầu phát triển giáo dục, những lớp đại học toán đã được mở ra ở vùng tự do. Mặt khác, do nhu cầu phục vụ kháng chiến [quân giới], một số nghiên cứu ứng dụng toán học đã 17 bắt đầu được tiến hành. Nhưng chỉ sau khi kết thúc thắng lợi cuộc kháng chiến chống Pháp và bắt đầu xây dựng chủ nghĩa xã hội, ngành toán học ở miền Bắc mới có điều kiện phát triển mạnh. Đội ngũ cán bộ toán được xây dựng. Các hoạt động toán học ngày càng mở rộng, đã phát huy tác dụng nhất định đối với sản xuất và đời sống cũng như đối với công cuộc chống Mĩ cứu nước và xây dựng đất nước của nhân dân ta. Đảng, Chính phủ ta rất coi trọng việc đào tạo cán bộ toán và hết sức giúp đỡ các hoạt động toán học. “Trước hết, chúng ta phải mau chóng đuổi kịp trình độ tiên tiến về toán học” [Thủ tướng Phạm Văn Đồng]. Nhiều biện pháp đã được thực hiện: thành lập Hội toán học Việt Nam [1965], xuất bản tạp chí Toán học và Tuổi trẻ [1964] để khuyến khích học toán, tổ chức các kì thi học sinh giỏi toán [từ năm 1953], mở các lớp chuyên toán [từ năm 1966] , đưa máy tính điện tử về thành lập Trung tâm tính toán, thành lập Viện toán học [vào năm 1969], thành lập bộ phận toán trong các cơ quan quản lí kĩ thuật ở một số Bộ. Với phương thức đào tạo cán bộ toán vừa học vừa làm, vừa học vừa nghiên cứu, đồng thời nhờ sự giúp đỡ của các nước anh em, phạm vi nghiên cứu toán học của ta đã mở rộng ra nhiều. Việc nghiên cứu đã được tiến hành trên hầu hết các lĩnh vực quan trọng của toán học: lí thuyết hàm số [thực và phức], giải tích hàm, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, hình học, tôpô, số luận, đại số hiện đại, lôgic toán, toán học tính toán, phương pháp tính, xác suất thống kê, điều khiển học, toán học kinh tế,… Nội dung nghiên cứu đã có chú ý hướng về những vấn đề mang tính khoa học và thực tiễn đối với nước nhà như các vần đề về phương pháp tính liên quan đến thủy lợi, về vận trù học liên quan tới các ứng dụng kinh tế, về hàm phức liên quan đến hiện tượng thấm, về phương trình vi phân trong các hiện tượng dao động, về xác suất thống kê trong việc kiểm tra chất lượng sản phẩm, dự báo thống kê… Đáng chú ý là bên cạnh những nghiên cứu trong các lĩnh vực kinh điển, ngành toán học Việt Nam, mặc dù còn non trẻ, cũng có một số đóng góp trong lĩnh vực hiện đại, về những vấn đề đang được nhiều người trên thế giới quan tâm. Các hướng trọng điểm mà toán học Việt Nam chú ý phát triển [theo Báo cáo Hội nghị toán học toàn miền Bắc lần thứ III] là: 18 - Toán học tính toán và các hướng toán học rời rạc thuộc phạm vi điều khiển học lí thuyết; - Lí thuyết xác suất, thống kê và các hướng toán học ngẫu nhiên khác; - Toán học kinh tế và các lí thuyết tối ưu hóa; - Những phương hướng hiện đại của các ngành giải tích [bao gồm lí thuyết hàm và giải tích hàm, phương trình vi phân thường và riêng]; - Một số ngành lí cơ bản quan trọng của toán học hiện đại [đại số, tôpô đại số, …] Về số lượng công trình của các nhà toán học Việt Nam: Tính đến cuối năm 2008, có khoảng 5000 bài báo của các tác giả Việt Nam được điểm danh ở Mathematical Reviews [Tạp chí hàng đầu thế giới của Hội toán học Mĩ, giới thiệu về các công trình toán học từ năm 1940 trở lại đây]. Người có công trình được liệt kê đầu tiên trên Mathematical Reviews là cố giáo sư Lê Văn Thiêm với bốn bài báo nổi tiếng công bố vào năm 1947 và 1949. Có thể rút ra một vài nhận xét sơ bộ như sau: - Cho đến ngày thống nhất đất nước, nền toán học của ta còn yếu với tổng cộng chưa đến 300 công trình được công bố. Điều này cũng hoàn toàn phù hợp với thực tế là khi đó tại miền Bắc chủ yếu chỉ có bốn khoa Toán là Đại học Tổng hợp Hà Nội, Đại học Bách khoa Hà Nội, Đại học Sư phạm Hà Nội và Đại học Sư phạm Vinh, còn Viện toán học thì mới thành lập được 5 năm. - Mười năm đầu sau khi thống nhất, Toán học Việt Nam tiến chậm chạp nhưng vững chắc đạt được số công trình chừng 90 bài. - Mười lăm năm tiếp theo, từ 1986 đến 2001, trừ 4 năm đột biến là 1992, 1994-1996, thì số lượng các bài báo dường như không thay đổi, xoay quanh con số 150 với số lượng tác giả cũng ít thay đổi xoay quanh 115 tác giả. - Khoảng thời gian từ 2002-2008, số lượng công trình tăng thêm khoảng 30%, còn số lượng tác giả tăng thêm khoảng 40-50%. Sự biến động số lượng công trình tròn các giai đoạn nêu trên phù hợp với nền kinh tế của nước nhà và sự đầu tư cho toán học ở giai đoạn tương ứng. Đứng đầu danh sách số lượng công trình là giáo sư Hoàng Tụy với 142 công 19 trình. Giáo sư cũng là người duy nhất có trên 100 công trình được liệt kê ở MathSciNet và hiện còn làm việc trong nước. Về vị trí của toán học Việt Nam trên bản đồ toán học thế giới: Vấn đề xếp hạng nền toán học Việt Nam chỉ nhằm xác định vị trí tương đối của toán học Việt Nam, giúp chúng ta có cái nhìn sơ bộ từ một góc cạnh nào đó. Trên cơ sở đó mỗi người sẽ có suy nghĩ và hành động để góp phần đưa toán học nước nhà tiến lên cao hơn. Hiệp hội toán học thế giới [IMU] hiện có 68 nước bao gồm các quốc gia có phát triển toán học. Hội được chia thành 5 nhóm nước. Việt Nam hiện đang ở nhóm thấp nhất [năm 2009] – nhóm 1 gồm 32 nước. Theo cách phân chia của IMU thì Việt Nam đứng sau khoảng 40 nước. Nếu xét công trình công bố trong 5 năm từ 2001-2005 , trong đó có xét tới thành tích công bố của một số nước có nền toán học khá nhưng chưa gia nhập IMU, thì Việt Nam đứng thứ 19; nếu trừ đi năm nước thuộc các nhóm 2-5 của IMU thì Việt Nam đứng thứ 14. Như vậy, với hai tiêu chí này thì toán học Việt Nam đứng ở vị trí thứ 54. Tuy nhiên khi xét như vậy ta có thể có hai nghi ngờ: thứ nhất, một số nước xếp ở trên nước ta [Arập Xêut, Ai Cập, Venezuela, Nam Phi, …] chưa hẳn trình độ toán học đã phát triển hơn ta vì ở đó có nhiều nhà toán học không tên tuổi hoặc ở những nước đó có nhiều nhà toán học châu Âu đến dạy trong thời gian dài, do vậy mặc dù số lượng công trình của họ có vẻ nhiều hơn hẳn của Việt Nam nhưng trong con mắt một số nhà toán học thế giới thì học không đánh giá cao những nước đó; còn toán học Việt Nam có thể ít hơn nhưng lại được nhắc tới nhiều hơn, có lẽ vì có bản sắc hơn: do chính người Việt Nam làm. Thứ hai, có một số nước xếp sau ta [như Acmênia, Kadăcxtan, Udơbekistan,…] chưa chắc đã kém phát triển hơn toán học nước ta vì rất có thể ở đó có một số nhà toán học xuất sắc hay 1-2 trường đại học tốt. Nói tóm lại, mọi sự sắp xếp chỉ là tương đối. Qua phân tích trên có thể cho thấy Toán học Việt Nam đứng khoảng 50-54 trên thế giới. Có thể nói đây là một thứu hạng khá khiêm tốn. Một sự kiện lớn với toán học Việt Nam là ngày 19-8-2010 tại Ấn Độ, giáo sư Ngô Bảo Châu đã được trao tặng giải thưởng Fields [cùng với ba nhà toán học khác]. Đây là lần đầu tiên một nhà toán học từ một nước đang phát triển, 20 một nước lạc hậu về kinh tế và khoa học đạt được giải thưởng cao quý này. Con đường dẫn đến vinh quang này của ông có các cột mốc đàng ghi nhớ sau đây: Năm 2004: Ông được trao giải thưởng Toán học Clay [cùng với giáo sư Laumon]. Đây là một trong những giải thưởng có uy tín trong toán học được trao hàng năm, bắt đầu từ năm 1999. Cho đến nay mới có tất cả 23 người được trao giải thưởng này. Năm 2006: Ông được mời đọc báo cáo mời tiểu ban tại Đại hội Toán học Thế giới [ICM] tại Marid [Tây Ban Nha]. Đây là vinh dự đặc biệt vì ICM chỉ được tổ chức 4 năm một lần, chia làm 20 tiểu ban, mỗi tiểu ban chỉ mời tối đa 10 người đọc báo cáo mời. Chỉ chuyên gia hàng đầu trong chuyên ngành mới được làm báo cáo mời tiểu ban. Giáo sư Ngô Bảo Châu là người Việt Nam đầu tiên có vinh dự này. Năm 2007: Ông được trao giải thưởng Oberwolfach của Đức. Giải thưởng này dành cho các nhà toán học trẻ của châu Âu, 3 năm một lần bắt đầu từ năm 1991. Cho đến nay mới có 8 nhà toán học được vinh dự này. Cũng năm này ông được trao giải thưởng của Viện Hàn lâm Pháp mang tên Sophie Germain. Năm 2009: Công trình “Le lemme fundamental pour les algèbres de Lie” [Bổ đề cơ bản cho đại số Lie] được tạp chí có uy tín Time của Mĩ bình chọn là một trong 10 phát minh khoa học tiêu biểu của năm. Giữa năm này, tên tràng Web chính thức của ICM-2010, đăng tên 20 nhà toán học được mời đọc báo cáo toàn thể, trong đó có Ngô Bảo Châu một trong hai nhà toán học dưới 40 tuổi. Năm 2010: Ông được nhận giải thưởng Fields trong tiếng vỗ tay không dứt của cả hội trường để bày tỏ sự khâm phục và lời chúc mừng. Ngày 23-12-2010 Viện nghiên cứu cao cấp về Toán đã được thành lập trực thuộc Bộ giáo dục và Đào tạo. Giáo sư Ngô bảo Châu được bổ nhiệm làm giám đốc khoa học của Viện. Mục tiêu của Viện nghiên cứu cao cấp về toán là trở thành một trung tâm toán học xuất sắc, có môi trường làm việc tương đương với một số nước phát triển về Toán, để trao đổi học thuật nhằm nâng cao năng lực khoa học của nhà nghiên cứu, giảng dạy và ứng dụng toán học Việt Nam. Đây là mốc quan trọng để đánh dấu sự phát triển của nền toán học ở Việt Nam. 21 CHƢƠNG 2. LỊCH SỬ CÁC CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG 2.1. Lịch sử về các kiến thức đại số 2.1.1. Các bài toán dẫn đến kiến thức đại số Từ trước tới nay, chúng ta thường thấy đại số gặp vấn đề về động cơ thúc đẩy. Trong tất cả các sách giáo khoa viết về môn học này hiện đầy rẫy các ví dụ được tạo ra một cách vô bổ. Chẳng hạn, sau đây là một bài toán từ sách Ars magna của Girolamo Cardano [1545]: “Hai người đàn ông đi kinh doanh với nhau và có một số vốn chưa biết. Tiền lời của họ bằng lập phương của một phần mười vốn của họ. Nếu họ làm ít đi ba đồng đuca họ sẽ tăng lên một lượng bằng chính vốn của họ. Hỏi vốn là lợi nhuận của họ bằng bao nhiêu?”. Nếu đọc bài toán này khiến bạn muốn gợi ý “Chúng ta chỉ cần hỏi họ xem vốn và lợi nhuận của họ bằng bao nhiêu là được” thì bạn được chúc mừng về sự tinh khôn của mình. Đặc biệt câu thứ hai của bài toán biểu thị toàn bộ viễn cảnh tưởng tượng như một sự viển vông. Nguồn thông tin dồi dào về các phép tính của người Ai Cập là Papyrut Rhind. Sau tiêu đề mô tả, Papyrut bắt đầu với bảng các số. Trong thế giới hiện đại, chúng ta xem số học bao gồm bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia thực hiện trên các số tự nhiên [the whole numbers] và các phân số. Chúng ta học các quy tắc để thực hiện các phép toán này khi còn bé và thực hiện chúng một cách tự động mà không cố gắng chứng mỉnh rằng chúng là đúng. Điều này là khác biệt với người Ai Cập. Đối với người Ai Cập, có vẻ như các phép toán cơ bản là phép cộng và nhân đôi [doubling]. Các phép toán này được thực hiện trên các số tự nhiên và các phần [parts]. Phần là khái niệm của người Ai Cập tương đương với một phân số. Chẳng hạn, phân số viết theo kiểu ngày nay là 17thì được viết là “phần thứ bảy” [the seventh part”]. Cụm từ này chuyển tải hình ảnh của một vật được chia thành bảy phần bằng nhau sắp xếp trên một hàng và phần thứ bảy được chọn. Vì lí do này, theo Van der Waerden thì có thể chỉ có một phần thứ bảy, gọi là phần cuối cùng; sẽ không có cách nào