Miền tần số là gì

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
54




Thông thường ta giả sử hệ thống là tuyến tính và bất biến theo thời gian
[Linear Time-Invariant Systems] LTI để thuận lợi trong việc phân tích và thiết kế.
Hệ thống cũng thường xét là hệ thống nhân quả và đã thư giãn [nghĩa là khi chưa có
tín hiệu vào thì tín hiệu ra bằng 0].

5.1.1 của hệ thống h[n] là tín hiệu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là
xung lực đơn vị [n]



IIR
- [Finite duration Impulse Response] là hệ thống có đáp ứng xung
hữu hạn, nó hiện hữu trong một khoảng thời gian hữu hạn. Hệ thống này chỉ
đòi hỏi bộ nhớ hữu hạn để lưu trữ tín hiệu và thời gian xử lý cũng hữu hạn.
Ví dụ: h[n] = [0 ,2 ,3 ,0.5 ,3, 2, 1, 0]
- [ Infinite duration Impulse Response] là hệ thống có đáp ứng
xung vô hạn, nó hiện hữu ở mọi thời gian từ n = - đến n = + . Hệ thống này
cần bộ nhớ lớn vô hạn để lưu trữ tín hiệu và thời gian xử lý cũng rất lớn.
Ví dụ: h[n] = [ ,2 ,3 ,0.5 ,3, 2, 1, .]

Tín hiệu vào
x[n]=[n]
Hệ thống
tuyến tính và
bất biến thời

gian [LTI]
Tín hiệu ra
y[n]=h[n]
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
55

Từ phương trình vào ra của hệ thống ta có thể tính đáp ứng xung bằng cách cho
tín hiệu vào là xung lực đơn vị [n].
Ví dụ: Hệ thống mô tả bởi phương trình hiệu số tín hiệu vào ra:
y[n]= 1.5 y[n-1] 0.85 y[n-2] + 2 x[n]
Thế x[n] = [n] thì y[n] chính là đáp ứng xung h[n]
h[n]= 1.5 h[n-1] 0.85 h[n-2] + 2 [n]
ở n = 0: h[0] = 1.5 h[-1] 0.85 h[-2] + 2 [0]
Nếu hệ thống phi nhân quả ta cần biết h[-1], h[-2] mới tính được h[0]. Nếu hệ
thống nhân quả, h[n] = 0 ở n -1 ta có thể tính đáp ứng
h[0] = 1.5 h[-1] 0.85 h[-2] + 2 [0] = 2
h[1] = 1.5 h[0] 0.85 h[-1] + 2 [1] = 3
h[2] = 1.5 h[1] 0.85 h[0] + 2 [2] = 2.8

h[n] có vô hạn số hạng hệ thống IIR
5.2 []
5.2.1





Ký hiệu: y[n] = H[x[n]]
Hay:
]n[y]n[x

H


Tín hiệu vào
x[n]=[n]


x[n] bất kỳ
Hệ thống
tuyến tính và
bất biến thời
gian [LTI]
Tín hiệu ra
y[n]=h[n]


y[n]=x[n]*h[n]

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
56
Ví dụ: Xét tín hiệu rời rạc: x[n] = [0,1,4,-1,2,3,0]
Khi đó: x[0] = x[0]δ[n-0] = -1
x[1] = x[1]δ[n-1] = 2
x[-1] = x[-1]δ[n+1] = 4
.
x[n] = x[-2]δ[n+2] + x[-1]δ[n+1] + x[0]δ[n-0] + x[1]δ[n-1] + x[2]δ[n-2]

sau:
x[n] = .+ x[-1]δ[n+1] + x[0]δ[n-0] + x[1]δ[n-1] + x[2]δ[n-2] +
hay





k
]kn[]k[x]n[x

Tín hiệu ra của hệ thống là:











k
]kn[]k[xH]n[xH]n[y

Hệ thống thì đáp ứng đối với tín hiệu x[n] bằng tổng đáp ứng với các thành
phần δ[n-k] với trọng số x[k] của x[n] nên:















kk
]kn[H]k[x]kn[]k[xH]n[xH]n[y

Hệ thống là n thì:
H[δ[n-k]] = h[n-k]
Vậy đáp ứng đối với tín hiệu vào bất kỳ x[n] của hệ thống tuyến tính và bất biến thời
gian [LTI] có đáp ứng xung h[n] là:




k
]kn[h]k[x]n[h*]n[x]n[y

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
57
Đây là công thức tính tích chập của tín hiệu rời rạc gọi là tổng nhân chập.
Khi biết đáp ứng xung của hệ thống ta có thể tính đáp ứng thời gian của hệ thống với
bất cứ tín hiệu vào x[n] nào nên đáp ứng xung là đặc tính thời gian của hệ thống.

Các bước tính tổng chập:
1. Đổi biến số n thành biến tạm k, x[k], h[k].

2. Tạo ảnh gương [gấp ảnh] h[-k] của h[k] .
Ở n = 0 tính




k
]k[h]k[x]0[y

3. Dịch chuyển h[-k] bằng cách thêm thông số trượt n h[n-k]. Cho n=1,2,3
để h[n-k] dịch chuyển phải [về tương lai], ở mỗi giá trị của n tính tổng nhân chập.
Tăng n lên cho đến khi thấy tổng nhân chập tiếp tục bằng 0 [tức h[n-k] đã trượt khỏi
x[k]].
4. Cho n = -1,-2,-3 để h[n-k] dịch chuyển trái [về quá khứ], ở mỗi giá trị của n
tính tổng nhân chập cho đến khi thấy tổng nhân chập tiếp tục bằng 0 [tức h[n-k] đã
trượt khỏi x[k]].

y
= N
x
+ N
h
-
i

Ví dụ:
Tín hiệu vào và đáp ứng xung lần lượt là :
x[n] = [ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 0]
h[n] = [ 0 , 2 , 0 , 2 , 0]
Tìm tín hiệu ra.

Giải:
Tiến hành các bước như trên, có 2 cách thực hiện: dựa vào đồ thị hoặc biểu thức
chuỗi. Ta có N
y
= N
x
+ N
h
-1 = 4+3-1=6
* Tính tín :
Thực hiện tổng nhân chập:
Đổi biến số n thành biến số tạm k, viết x[k], h[k
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
58












n = 0:









n = 1 :









n = 2 :
















1
1
2
2
3
4
3
4
k
x[k]
0
-1
1
2

0
2
2
k
h[k]
-1
h[-k]
-1
0
-2
2
2
k
-3

1
x[k]h[-k]
-1
0
-2
2
k
-3
1


k
2

h[1-k]
0
1
-1
2
2
k
-2
2
x[k]h[1-k]
0
1
4
-2
2
-1

k


k
4

h[2-k]
1
2
0
2
2
k
-1
3
x[k]h[2-k]
1
2
0
2
6
k
-1
3


k
8

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số

59
n = 3 :











n = 4 :













n = 5 :













n = 6:







h[3-k]
2
3
1
2
2
k
0
4
-1



k
12

4
k
3
x[k]h[3-k]
2
1
8
0
4
-1
h[4-k]
k
4
2
2
2
5
0
3
1
-1


k
6

2

x[k]h[4-k]
1
0
6
k
-1
3
4
5
h[5-k]
5
1
k
3
2
2
6
4
2
0
-1
h[6-k]
6
2
k
4
2
2
7
5

3
1
0
-1
1


k
0

x[k]h[6-k]
k
4
3
2
5
0
6
7
-1


k
8

x[k]h[5-k]
k
3
2
1

8
0
4
-1
5
6
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
60


n = -1:











n = -2:










Vậy tín hiệu ra :

y[n] = [0 , 2 , 4 , 8 , 12 , 6 , 8 , 0]

*
Đổi biến số n thành biến số tạm k , viết x[k] , h[k]:
x[k] = [0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 0 ,]
h[k] = [0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 ,]
n = 0 :
h[-k] = [0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 0 ,]
x[k]h[-k] = [0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 0 ,]


k
2

n = 1 :
h[1-k] = [0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 ,]
x[k]h[1-k] = [0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 0 , 0 , 0 ,]


k
4

n = 2 :
h[2-k] = [0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 ,]
h[-1-k]
-2

-1
-3
2
2
k
-4
0
1
2
3
4


k
0

-2
x[k]h[-1-k]
k
1
0
-1
2
-3
3
4
-4
h[-2-k]
-3
-2

-4
2
2
k
3
-1
0
1
2
4


k
0

-2
x[k]h[-2-k]
k
1
0
-1
2
-3
3
4
-4
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
61
x[k]h[2-k] = [0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 6 , 0 , 0 ,]



k
8

n = 3 :
h[3-k] = [0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 ,]
x[k]h[3-k] = [0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 0 , 8 , 0 ,]


k
12

n = 4 :
h[4-k] = [0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 ,]
x[k]h[4-k] = [0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 6 , 0 , 0 ,]


k
6

n = 5 :
h[5-k] = [0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 ,]
x[k]h[5-k] = [0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 8 , 0 , 0 , 0 ,]


k
8

n = 6 :
h[6-k] = [0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0]

x[k]h[6-k] = [0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0]


k
0

n = -1 :
h[-1-k] = [0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,]
x[k]h[-1-k] = [0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,]


k
0

n = -2:
h[-1-k] = [0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,]
x[k]h[-2-k] = [0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,]


k
0

Vậy tín hiệu ra :
y[n] = [0 , 2 , 4 , 8 , 12 , 6 , 8 , 0]
Ví dụ:
Đáp ứng xung của hệ thống h[n]=[0,1,2,1,-1,0] và tín hiệu vào là
x[n]=[0,1,2,3,1,0]. Tìm tín hiệu ra y[n].
Giải:
Ta có N
y

= N
x
+ N
h
-1 = 4+4-1=7
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
62














Tiếp tục đến n = 6 ta thấy tổng nhân chập bằng 0. Sau đó thực hiện với n= -1, -2,
Kết quả là:
y[n] = [0, 1, 4, 8, 8, 3 , -2, -1, 0]
i :
x[k] = [0, 0, 0, 1, 2, 3, 1, 0]
h[k] = [0, 0, 1, 2, 1,-1, 0]
n = 0: h[-k] = [0,-1, 1, 2, 1, 0]
x[k] h[-k] = [ 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0]





k
4]0[y

n = 1: h[1- k] = [0, 0,-1, 1, 2, 1, 0]
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
1
2
-1
h[k]
k
k
-2 -1 0 1 2 3 4
1
1
2
3
x[k]
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
1
2
-1
h[-k]
k
k
-2 -1 0 1 2 3 4

2
2
x[k]h[-k]
n = 0
4
k



-2 -1 0 1 2 3 4
1
1
2
-1
h[1-k]
k
k
-2 -1 0 1 2 3 4
1
4
x[k]h[1-k]
n = 1
8
k



3
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
63

x[k] h[-k] = [0 , 0, 0, 1, 4, 3, 0]




k
8]1[y

n = 2: h[2- k] = [0, 0, 0, -1, 1, 2, 1, 0]
x[k] h[-k] = [0 , 0, 0,-1, 2, 6, 1, 0]




k
8]2[y

Tương tự tính với các giá trị n khác ta cũng được kết quả như trên.
Ví dụ:
Tìm y[n]= x[n]*h[n]
a. x[n] = [0,1,2,3,0], h[n] = [0,1,2,1,0]
b. x[n] = [0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 0], h[n] = [0, 1, 2, -1, 1, 0]
Giải:
a. y[n] = [0, 1, 4, 8, 8, 3, 0]
b. y[n] = [0, 1, 3, 3, 5, 3, 7, 4, 3, 3, 0, 1, 0]

1. Tính chất giao hoán
x[n]*h[n] = h[n]*x[n]
2. Tính kết hợp
[x[n]*h

1
[n]]*h
2
[n] = x[n]*[h
1
[n]*h
2
[n]]

Ví dụ:
Cho hệ thống như hình trên.Tìm y[n] biết: x[n] = [0,1,2,3,0], h
1
[n]= [0,1,2,1,0],
h
2
[n] = [0, 1, 1, 0]
Giải:
Cách 1: y[n] = [x[n]*h
1
[n]]*h
2
[n]
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
64
x[n]*h
1
[n] = [0, 1, 4, 8, 8, 3, 0]
[x[n]*h
1
[n]]*h

2
[n] = [0, 1, 5, 12, 16, 11, 3, 0]
Cách 2: y[n] = x[n]*[h
1
[n]*h
2
[n]]
h
1
[n]*h
2
[n] = [0, 1, 3, 3, 1, 0]
x[n]*[h
1
[n]*h
2
[n]] = [0, 1, 5, 12, 16, 11, 3, 0]
Hai cách tính cho kết quả giống nhau
3. Tính phân phối
x[n]* [h
1
[n] + h
2
[n]] = x[n]*h
1
[n] + x[n]*h
2
[n]

Ví dụ:

Cho hệ thống như hình trên. Tìm y[n] biết: x[n] = [0,1,2,3,0], h
1
[n]=[0,1,2,1,0],
h
2
[n] = [0, 1, 1, 0]
Giải:
Cách 1: y[n] = [x[n]* [h
1
[n] + h
2
[n]]
h
1
[n] + h
2
[n] = [0,1,3,2,0]
[x[n]* [h
1
[n] + h
2
[n]] = [0, 1, 5, 11, 13, 6, 0]
Cách 2: y[n] = x[n]*h
1
[n] + x[n]*h
2
[n]
x[n]*h
1
[n] = [0, 1, 4, 8, 8, 3, 0]

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
65
x[n]*h
2
[n] = [0, 1, 3, 5, 3, 0]
x[n]*h
1
[n] + x[n]*h
2
[n] = [0, 1, 5, 11, 13, 6, 0]
Hai cách tính cho kết quả giống nhau
*
x1
x1
xx xx1
1n
n
0n
nn2







*
x1
1
x1

x1
limxx xx1
1n
n
0n
n2











|x| 1 chuỗi phân kỳ [tiến về vô cực]
5.2.4
Hệ LTI nhân quả là hệ chỉ phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống tại thời điểm
hiện tại và quá khứ mà không phụ thuộc vào thời điểm tương lai. Do đó, tại n = n
0
:









1
k
0
0k
0
k
00
]kn[x]k[h]kn[x]k[h]kn[x]k[h]n[y

không phụ thuộc vào các trạng thái n > n
0
nghĩa là các hệ số h[k] = 0 với k < 0.
Nghĩa là: h[n] = 0 khi n < 0
Như vậy, hệ thống LTI là nhân quả nếu và chỉ nếu đáp ứng xung cũng là nhân quả. Từ
đó, ngõ ra của hệ thống nhân quả là:




0k
]kn[x]k[h]n[y
hệ thống nhân quả
Hay



n
k

]kn[h]k[x]n[y
hệ thống nhân quả
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
66
Trong trường hợp tín hiệu ngõ vào là nhân quả, nghĩa là x[n]=0 khi n < 0 thì:



n
0k
]kn[x]k[h]n[y
hệ thống và tín hiệu nhân quả
Hay



n
0k
]kn[h]k[x]n[y
hệ thống và tín hiệu nhân quả
5.2.5
Khi biết đáp ứng xung của hệ thống ta có thể suy ra phương trình tín hiệu vào
ra bằng cách dùng nhân chập.
Ví dụ:
Đáp ứng xung của hệ thống nhân quả là:
h[n] = ah[n-1] + [n] a: hằng số
Tìm phương trình hiệu số của tín hiệu.
Giải:
Vì hệ thống nhân quả nên ta bắt đầu từ h[0]:
h[0] = ah[-1] + [0] = a.0 + 1 = 1

h[1] = ah[0] + [1] = a.1 + 0 = a
h[2] = ah[1] + [2] = a.a + 0 = a
2
h[3] = ah[2] + [3] = a.a
2
+ 0 = a
3



0n
0n
0
a
h[n]
n






hay h[n] = a
n
u[n]
Đáp ứng xung lâu vô hạn [IIR]
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
67
y[n] = x[n] + ax[n-1] + a
2

x[n-2] + a
3
x[n-3] +
= x[n] + a[x[n-1] + ax[n-2] + a
2
x[n-3] + ]
= x[n] + ay[n-1]
Vậy phương trình hiệu số vào ra của tín hiệu là:
y[n]= ay[n-1] + x[n]
Ví dụ:
Đáp ứng xung tuần hoàn ở chu kỳ 4 mẫu là:
h[n] = [0,2,3,4,5,2,3,4,5,2,3,.]
Tìm phương trình hiệu số vào ra.
Giải:
Nếu ta trì hoãn một chu kỳ thì đáp ứng xung là:
h[n-4] = [0,0,0,0,2,3,4,5,2,3,4,5,2,3,.]
lấy hiệu số:
h[n] - h[n-4] = [0,2,3,4,5,0,0,0,0,]
= 2[n] + 3[n-1] +4 [n-2] + 5[n-3]
phương trình hiệu số của đáp ứng xung:
h[n] = h[n-4] + 2[n] + 3[n-1] +4[n-2] + 5[n-3]
Làm tương tự như ví dụ trên ta được phương trình hiệu số vào ra:
y[n] = y[n-4] + 2x[n] + 3x[n-1] +4x[n-2] + 5x[n-3]

Sự ổn định là một tính chất quan trọng của mọi hệ thống thực tế. Khi hệ thống
không ổn định, một số thông số hoạt động của hệ thống sẽ thay đổi tùy tiện vượt khỏi
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
68
vòng kiểm soát, và có thể trở nên quá lớn [tiến về vô hạn] làm bão hòa các mạch điện
tử hoặc vượt khả năng bộ nhớ.

Hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc thời gian là ổn định khi tín hiệu vào có biên độ
hữu hạn thì tín hiệu ra có biên độ cũng hữu hạn [bounded input bounded output -
BIBO]. Nghĩa là: nếu tồn tại số M
x
sao cho: |x[n]| M
x
< thì tồn tại số M
y
sao cho:
|y[n]| M
y
< .
Bắt đầu từ nhân chập:





k
]kn[x]k[h]n[x*]n[h]n[y

Lấy trị tuyệt đối :









k
x
kk
]k[hM]kn[x]k[h]kn[x]k[h]n[y

Để |y[n]| hữu hạn thì:



k
]k[h
hữu hạn
hay


n
]n[h
hữu hạn


Ví dụ: Đáp ứng xung của hệ thống LTI là:
h[n] = a
n
u[n]
Tìm điều kiện của thông số a để hệ thống ổn định.
Giải:
Vì hệ thống nhân quả nên điều kiện của h[n] là:
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
69
a

a
aaanh
n
n
n
n









1
1
1][
1
2
00

Khi |a|