Phương pháp cô lập m trong bài toán Bất Phương trình

Không ít các bạn học sinh THPT bày tỏ rằng mình thường hay gặp khó khăn với các dạng toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm. Hãy cùng Vuihoc điểm nhanh lý thuyết cũng như một số cách giải dạng toán “khó nhằn” này nhé!

Trước khi tìm hiểu lý thuyết và bài tập tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, các em tham khảo bảng tổng quan kiến thức dưới đây để khái quát về dạng toán này nhé!

1. Ôn tập lý thuyết về bất phương trình mũ

1.1. Công thức bất phương trình mũ cơ bản

Trước khi vào chi tiết bài toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, ta cần hiểu lý thuyết cơ bản về bất phương trình mũ.

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^{x}>b$ (hoặc $a^{x} 0, a ≠1 Ta xét bất phương trình có dạng $a^{x}>b$.

• Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$, vì $a^{x}>b$, ∀x ∈ $\mathbb{R}$.

• Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với $a^{x}>b$.

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là $x>log_{a}b$

Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là $x

1.2. Công thức khái quát cách tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm

Để giải bài tập tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, các em cần nắm vững công thức tổng quát về phương pháp này:

Bài toán: Tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm trên D: 

  ?

Bước 1: Cô lập tham số m và đưa về dạng $A(m)>f(x)$ hoặc $A(m)\geq f(x)$ hoặc $A(m)\leq f(x)$ hoặc $A(m)< f(x)$

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ trên D.

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m.

Lưu ý: Nếu hàm số $y=f(x)$ có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì:

• Bất phương trình $A(m)\leq f(x)$ có nghiệm trên $D\Leftrightarrow A(m)\leq \max_{D}f(x)$
• Bất phương trình $A(m)\leq f(x)$ nghiệm đúng $\forall x\in D\Leftrightarrow A(m)\leq \min_{D}f(x)$
• Bất phương trình $A(m)\geq f(x)$ có nghiệm trên $D\Leftrightarrow A(m)\geq \min_{D}f(x)$
• Bất phương trình $A(m)\geq f(x)$ nghiệm đúng $\forall x\in D\Leftrightarrow A(m)\geq \max_{D}f(x)$

Để hiểu hơn về cách tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, chúng ta cùng đi chi tiết vào các dạng bài sau đây nhé!

2. Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm

2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số để hạ mũ và biện luận

Với a>1: $a^{f(x)}>b^{f(x)}>log_ab$

Với 0b^{f(x)}

Cùng theo dõi ví dụ sau để hiểu hơn về phương pháp đưa về cùng cơ số để tìm m để bất phương trình có nghiệm:

Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình $(\frac{2}{e})^{x^2+2mx+1}\leq (\frac{2}{e})^{2x-3m}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$?

2.2. Tìm m để bất phương trình có nghiệm bằng cách đặt ẩn phụ

Đặt ẩn phụ là cách tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm hiệu quả với những bất phương trình khó, phức tạp. Mục đích của đặt ẩn phụ là đưa những bất phương trình phức tạp trở về dạng cơ bản như bất phương trình bậc hai để dễ dàng hơn trong việc xử lý bài toán. Cụ thể hơn, chúng ta cùng xem xét ví dụ sau để hiểu rõ hơn về phương pháp giải này:

2.3. Phương pháp đánh giá trong bài toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm

Trước khi áp dụng phương pháp đánh giá vào bài toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, ta cần nắm chắc kiến thức về tính đơn điệu của hàm số:

Theo định nghĩa: 

Một hàm số (C): y = f(x) có tập xác định là M. Nếu:

• Hàm số (C) gọi là đồng biến trên M khi x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2) với ∀x1, x2 ∈ M

• Hàm số (C) gọi là nghịch biến trên M khi x1 > x2 ⇒ f(x1) < f(x2) với ∀x1, x2 ∈ M

Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử I là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số f liên tục và có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó hàm số f:

• Đồng biến trên $I\Leftrightarrow f'(x)\geq 0,\forall x\in I$
• Nghịch biến trên $I\Leftrightarrow f'(x)\leq 0,\forall x\in I$

Cụ thể hơn, chúng ta cùng xét ví dụ sau đây:

3. Bài tập áp dụng

Để hiểu sâu hơn và nắm vững lý thuyết, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu đầy đủ các dạng toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm dễ gặp nhất trong chương trình học và các đề thi. Tải về ngay nhé!

Tải xuống bộ tài liệu toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm

Các em đã cùng Vuihoc điểm lại lý thuyết cùng những phương pháp giải bài toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm. Hy vọng rằng sau bài viết này, các em sẽ dễ dàng xử lý các bài toán bất phương trình mũ có tham số.

Toán 12 | Ôn thi THPTQG môn Toán

180 clip bài giảng theo từng chủ đề, hơn 6700 bài tập bám sát chương trình ôn thi THPT QG, 20 đề ôn tập có video chữa cụ thể, 30 đề tự luyện, cùng với khóa livestream. Giúp học sinh nắm vững kiến thức, tâm thế vững vàng trước kì thi.

1.500.000₫

Chỉ còn 900.000 ₫

Chỉ còn 2 ngày

Xem 156,717

Cập nhật thông tin chi tiết về Phương Pháp Cô Lập M Trong Khảo Sát Tính Đơn Điệu Của Hàm Số mới nhất ngày 22/05/2022 trên website Sansangdethanhcong.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Cho đến thời điểm hiện tại, bài viết này đã đạt được 156,717 lượt xem.

--- Bài mới hơn ---

Chủ Đề 3: Phương Pháp Cô Lập M Trong Khảo Sát Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

Một Số Phương Pháp Chọn Mẫu Trong Nghiên Cứu Khoa Học

Phương Pháp Cấy Que Tránh Thai Là Gì?

Cấy Que Tránh Thai Implanon

Phương Pháp Chuyên Gia (Professional Solution) Sử Dụng Trong Quá Trình Quyết Định Là Gì?

Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm y’

Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi y’ ≥ 0 ∀ x ∈ K

Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi y’ ≤ 0 ∀x ∈ K

Bước 2: Cô lập tham số m đưa về dạng m≥g(x) hoặc m ≤ g(x)

Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của g(x)

Bước 4: Kết luận

m ≥ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≥

m ≤ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≤

Một số hàm số thường gặp

⇒ f'(x) = 3ax 2 + 2bx + c

Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi β ≤ xc hoặc α ≥ x 2

Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi x 1 ≤ α < β ≤ x 2

Với a <0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x 1 < x 2

Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi x 1 ≤ α < β ≤ x 2

Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi β≤x 1 hoặc α ≥ x 2

Hàm phân thức bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d) ⇒ y’= (ad – bc)/(cx + d) 2

Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad – bc < 0 và -d/c ∉ K

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x 3/3 – mx 2+(1 – 2m)x- 1 đồng biến trên (1; +∞)

Hướng dẫn

TXĐ: D = R

Ta có y’ = x 2 – 2mx + 1 – 2m

Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞)⇔ ∀ x ∈(1; +∞),y’ ≥ 0

⇔ ∀ x ∈ (1; +∞), x 2 -2mx + 1 – 2m ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈(1; +∞), x 2 + 1 ≥ 2m(x + 1)

Xét hàm số f(x) = (x 2 + 1)/(x + 1), x ∈ (1; +∞)

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên để 2m ≤ f(x),∀ x ∈(1; +∞) thì 2m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1/2

Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = (2x – 1)/(x – m) nghịch biến trên khoảng (2; 3)

Hướng dẫn

TXĐ: D=R{m}.

Ta có y’= (-2m + 1)/(x – m) 2 . Để hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3) thì hàm só phải xác định trên khoảng (2; 3) và y’ < 0 ∀ x ∈ (2; 3).

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là

Ví dụ 3: Tìm các giá trị m để hàm số y = mx 3 – x 2 + 3x + m – 2 đồng biến trên (-3 ; 0)

Hướng dẫn

TXĐ: D = R

Ta có y’= 3mx 2 – 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 0) khi và chỉ khi:

y’ ≥ 0,∀ x ∈(-3; 0) (Dấu ” = ” xảy ra tại hữu hạn điểm trên (-3; 0))

⇔ 3mx 2 – 2x + 3 ≥ 0, ∀ x ∈(-3; 0)

⇔ m ≥(2x-3)/(3x 2 ) = g(x) ∀ x ∈(-3;0)

Ta có: g'(x) = (-2x + 6)/(3x 3 ); g'(x) = 0 ⇔ x = 3

Bảng biến thiên

Vậy m ≥ = -1/3.

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = mx 2 – (m + 6)x nghịch biến trên khoảng (-1; +∞)

Hiển thị đáp án

Ta có:

⇒ 2mx – (m + 6) ≤ 0 ⇔ m ≤ .

Xét hàm số g(x) = với x ∈ (-1;+∞).

Bảng biến thiên

Câu 2: Cho hàm số y = x 3-3mx 2+3(m 2 – 1)x – 2m + 3. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Hiển thị đáp án

Tập xác định: D = R

Đạo hàm y’=3x 2-6mx+3(m 2-1)

Do đó y’ ≤ 0 ∀ x ∈(1;2) ⇔ x 1 ≤ 1 < 2 < x 2 ⇔

Hiển thị đáp án

Bảng biến thiên

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Hiển thị đáp án

TXĐ: D = R{m}

Ta có: y’= .

Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞)

Câu 5: Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (4; +∞)

Hiển thị đáp án

Trường hợp 1: Khi m = -1, hàm số trở thành với mọi x

Trường hợp 2: Khi m ≠ -1, ta có

⇔ ∀ x ∈(4; +∞), g(x) ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈ (4; +∞), ≤ m.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên của h(x) suy ra,∀ x ∈(4; +∞),h(x) ≤ m m ≥-1.

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (π/4; π/2).

Hiển thị đáp án

Ta có: .

Câu 7: Tìm m để hàm số đồng biến trên [1; +∞).

Hiển thị đáp án

Ta có:

có tập xác định là D = R{-m} và .

Hàm số đã cho đồng biến trên [1; +∞) ⇔

x 2 + 2mx – 4m ≥ 0,∀ x ∈[1; +∞)⇔

Câu 8: Với giá trị nào của m thì hàm số y=√(x 2+2mx+m 2+1) đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Hiển thị đáp án

Ta có

Bảng biến thiên

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

tinh-don-dieu-cua-ham-so.jsp

--- Bài cũ hơn ---

Phương Pháp Cơ Bản Trong Nghiên Cứu Di Truyền Học Của Menden Là Gì?

Cấy Chỉ Là Gì? Tác Dụng Của Phương Pháp Cấy Chỉ & Lưu Ý

Cấy Chỉ Là Gì? Những Tác Dụng Của Phương Pháp Cấy Chỉ

Phương Pháp Bảo Toàn Nguyên Tố

Khái Quát Chung Về Phương Pháp Bảo Toàn Electron

Bạn đang xem bài viết Phương Pháp Cô Lập M Trong Khảo Sát Tính Đơn Điệu Của Hàm Số trên website Sansangdethanhcong.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!