Phương pháp tách hạng tử nâng cao

CHUYÊN ĐỀ

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ NÂNG CAO

– PHẦN II

I/ LÍ THUYẾT:

1/ Các phương pháp đã học lớp 8: (Đặt nhân tử chung, Hằng đẳng thức, Nhóm hạng tử) 2/ Phương pháp tách hạng tử:

a/ Phân tích đa thức ax2 _{+ bx + c ta tách bx thành b}

1x + b2x sao cho b1b2 = ac.

+ Tìm tích ac

+Phân tích ac ra tích 2 số nguyên b1, b2 bất kỳ

+ Chọn cặp thừa số sao cho: b1 + b2 = ac.

Ví dụ: Phân tích 3x2 _{– 8x + 4 có a = 3; b = -8; c = 4}

ac = 12 = 1.12 = 3.4 = 2.6 = (-1).(-12) = (-3).(-4) = (-2).(-6) ta chọn cặp số -2 và -6 vì (-2) + (-6) = (-8)

Nên: 3x2 _{– 8x + 4 = 3x}2 _{– 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)}

Lưu ý: Nếu a = 1 thì x2 _{+ bx + c = (x + b}

1)(x + b2) với b1 + b2 = b và b1.b2 = c

b/ Tách hạng tử để xuất hiện hiệu của 2 bình phương:

Ví dụ: 4x2 _{– 4x – 3 = 4x}2 _{– 4x + 1 – 4 = (2x – 1)}2 _{– 2}2 _{= (2x – 1 – 2)(2x – 1 + 2) = (2x –}

3)(2x + 1)

c/ Đa thức từ bậc 3 trở lên ta thường sử dung theo cách tìm nghiệm của đa thức : “a gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0” và khi a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chứa thừa số x – a; tức là ta tách các hạng tử sao cho cho có thừa số chung x – a.

+ Nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hạng tử tự do (hạng tử không chứa x)

+ Trường hợp đặc biệt nếu f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + ax + a

* có tổng các hệ số: an + an-n + … + a = 0 thì x = 1 là nghiệm của f(x)

* Tổng hệ số cùa các số hạng bậc chẵn bằng tổng hệ số của các số hạng bậc lẻ thì x = -1 là nghiệm của f(x).

Ta thấy f(3) = 0 nên x = 3 là nghiệp của đa thức đã cho. Hay đa thức trên chứa thừ số x – 3. Do đó ta có cách tách như sau:

4x3 _{– 13x}2 _{+ 9x – 18 = 4x}3 _{– 12x}2 _{– x}2 _{+ 3x + 6x – 18 = 4x}2_{(x – 3) – x(x – 3) + 6(x – 3)}

= (x – 3)(4x2 – x + 6) 3/ Phương pháp thêm bớt cùng một số hạng: a/ Thêm bớt để xuất hiện hiệu của 2 bình phương:

Ví dụ: x4 _{+ 81 = (2x}2₎2 _{+ 9}2 _{+ 36x}2 _{– 36x}2 _{= (2x}2 _{+ 9)}2 _{– (6x)}2 _{= (2x}2 _{– 6x +9)(2x}2 _{+ 6x + 9)}

b/ Thên bớt cùng một số hạng đề xuất hiện thừa số chung: Ví dụ: x7 _{+ x}2 _{+ 1 = x}7 _{– x + x}2 _{+ x + 1}

= x(x6 _{– 1) + (x}2 _{+ x + 1) = x(x}3 _{– 1)(x}3 _{+ 1) + (x}2 _{+ x + 1)}

= x(x3 _{+ 1)(x – 1) (x}2 _{+ x + 1) + (x}2 _{+ x + 1) = (x}2 _{+ x + 1)[ x(x}3 _{+ 1)(x – 1) + 1]}

= (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1)

* Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+2 _{+ x}3n+1 _{+ 1 luôn chứa thừa số x}2 _{+ x + 1}

4/ Phương pháp đổi biến: Ví dụ: Phân tích:

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128

Đặt y = x2 _{+10x + 12 thì biểu thức đã cho trở thành :}

(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 _{– 12}2 _{+ 128 = y}2 _{– 16 = (y – 4)(y + 4)}

= (x2 _{+10x + 12 – 4)( x}2 _{+10x + 12 + 4) = (x}2 _{+10x + 8)( x}2 _{+10x + 16)}

= (x + 2)(x + 8) (x2 +10x + 8) 5/ Phương pháp hệ số bất định:

Sử dụng khi không tìm được nghiệm ngun hoặc nghiệm hữu tỉ Ví dụ: x4 _{– 6x}3 _{+ 12x}2 _{– 14x + 3 (1)}

Đồng nhất thức với (1) ta được hệ điều kiện: =−=+=++−=+314126bdbdaddbacca

Xét bd = 3 với b,d  Z từ đó ta chọn b = 3 => d = 1; hệ điều kiện trở thành:

−=+=−=+14386caacca

=> 2c = -14 –(-6) = -8; Do đó c = -4; a = -2. Vậy đa thức đã cho là: (x2 _{– 2x + 3)(x}2 _{– 4x + 1)}

II/ BÀI TẬP:

Phân tích thành nhân tử: 1/

a/ a3 _{+ 4a}2 _{– 7a – 10}

b/ x3 – 6x2 + 11x – 6 c/ x3 _{+ x}2 _{– x + 2}

d/ x3 _{+ 5x}2 _{+ 8x + 4}

e/ x3 _{– 9x}2 _{+ 6x + 16}

f/ x4 – 4x2 – 5 2/

a/ 6x2 _{– 11x + 3}

b/ 2x2 _{– 5xy – 3y}2

c/ 2x2 _{+ 3x – 27}

d/ 2x2 – 5xy + 3y2 e/ x3 _{+ 2x – 3}

f/ x3 _{– 7x + 6}

g/ x2 _{+ 8x – 20}

h/ x3 – x2 – 4 3/

b/ x2 _{+ 13x + 36}

c/ x2 _{– 8x + 15}

d/ t2 _{– 9x + 20}

e/ x2 + 9x + 8 f/ y2 + 11y + 28 g/ b2 _{+ 5b + 4}

h/ 2t + 99 – t2

i/ m2 – 2m – 15 4/

a/ 3x2 _{– 10x – 8}

b/ 2x2 _{– 7x – 4}

c/ 3x2 – x – 4 d/ 5x2 + x – 18 e/ 3x2 – 4x – 15 f/ 6x2 _{+ 23x + 7}

5/

a/ (x2 – 1 + x)(x2 – 1 + 3x) + x2 b/ (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1 c/ (x2 _{– 4x)}2 _{+ (x – 2)}2 _{– 10}

d/ (2x2 _{+ 3x – 1) – 5(2x}2 _{+ 3x + 3) + 24}

e/ (x2 + x) – 2(x2 + x) – 15 f/ (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) – 12 g/ x2 _{+ 2xy + y}2 _{– x – y – 12}

h/ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) – 24 6/

a/ a3 + 9a2 + 11a – 21 b/ x3 – 6x2 – x + 30 c/ 9x3 _{– 15x}2 _{– 32x -12}

e/ 2x4 _{- x}3 _{– 9x}2 _{+ 13x - 5}

7/

a/ 4x4 _{– 5x}2 _{+ 1}

b/ a4 + 4 c/ a4 + a2 + 1 d/ a8 _{+ a}4 _{+ 1}

e/ x5 _{+ x}4 _{+ 1}

f/ x4 + 2x3 + 1 g/ x7 + x5 + 1 h/ 2x4 _{– x}2 _-1

8/

a/ ab(a + b) – bc(b + c) + ca(c + a) + abc b/ a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc c/ (a – x)y3 _{– (a – y)x}3 _{+ (x – y)a}3

d/ x(x2 _–z2_{) + y(z}2 _{– x}2_{) + z(x}2 _{– y}2₎

e/ (x + y + z)3 – x3 – v3 – z3

f/ xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

9/ CMR: A = (n + 1)4 _{+ n}4 _{+ 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với n nguyên}

dương.

10/ CMR tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương. 11/ Tìm các số nguyên a, b, c sao cho: (x + a)(x – 4) – 7 = (x + b)(x + c)

12/ Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho x3 _{+ ax}2 _{+ bx + c phân tích thành nhân tử được (x +}

a)(x + b)(x + c)

13/ Cho đa thức P(x) = 2x4 _{– 7x}3 _{– 2x}2 _{+ 13 x + 6}

a/ Phân tích P(x) thành nhân tử

b/ CMR: P(x) chia hết cho 6 với mọi x  Z 14/ Cho đa thức P(x) = x4 _{– 3x}3 _{+ 5x}2 _{- 9x + 6}

b/ Tìm giá trị của x để P(x) = 0 15/ Cho a + b + c = 1 và a2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{= 1}

a/ Nếu

czb

yax _{= =}

; CMR xy + yz + zc = 0 b/ Nếu a3 _{+ b}3 _{+ c}3 _{= 1 Tìm giá trị của a, b, c.} Gợi ý: a/ áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau và HĐT

b/ Ap dụng kết quả câu 8e

16/ Cho 3 số phân biệt a,b, c. CMR: A = a4_{(b – c) + b}4_{(c –a) + c}4_{(a –b) ln khác 0} Gợi ý: Phân tích A = ½(a – b)(a – c)(b – c)[(a + b)2 _{+ (a + c)}2 _{+ (b + c)}2_{] nên khác 0}

17/ Phân tích thành nhân tử: A = 2a2_b2 _{+ 2b}2_c2 _{+ 2a}2_c2 _{– a}4 _{– b}4 _{– c}4

CMR nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì A > 0

Gợi ý: A = ( a + b + c)(a + b – c)( c + a – b)(c – a + b) chứng minh A>0