15:30:2029/09/2021
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 thực ra là bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm.
Vì vậy cách viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 cho trước cũng sẽ vận dụng tương tự cách viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm, cụ thể:
I. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ tiếp điểm x0 như sau
- Bước 1: Tính y0 = f[x0]
- Bước 2: Tính đạo hàm y' = f'[x] của hàm số f[x] ⇒ f'[x0].
- Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm [x0, y0] có dạng:
y - y0 = f'[x0].[x - x0]
> Lưu ý: Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0.
II. Bài tập minh họa viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0
* Bài tập 1 [Bài 5 trang 156 SGK Giải tích 11]: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 tại điểm có hoành độ bằng 2.
> Lời giải:
Hàm số: y = x3 nên
- Tại: x0 = 2 ⇒ y0 = x03 = 23 = 8;
- Đạo hàm của y là y' = 3x2
⇒ y'[x0] = y'[2] = 3.22 = 12.
Vậy phương trình tiếp tuyến của y = x3 tại điểm có hoành độ bằng 2 có dạng: y - y0 = f'[x0].[x - x0]
⇔ y - 8 = 12[x - 2]
⇔ y = 12x - 16
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 của đường cong y = x3 là: y = 12x - 16
* Bài tập 2 [Bài 6 trang 156 SGK Giải tích 11]: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y = 1/x tại điểm có hoành độ bằng -1.
> Lời giải:
Hàm số: y = 1/x nên
- Tại x0 = -1 ⇒ y0 = 1/x0 = 1/[-1] = -1
- Đạo hàm của y là y' = -1/[x2] nên:
y'[x0] = y'[-1] = -1/[-1]2 = -1
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường hypebol tại điểm có hoành độ -1 là: y - y0 = f'[x0].[x - x0]
⇔ y - [-1] = -1.[x - [-1]]
⇔ y + 1 = -x - 1
⇔ y = -x - 2
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1 của đường hypebol y = -1/x là: y = -x - 2.
Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về cách viết về cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ tiếp điểm x0, hy vọng giúp các em hiểu bài hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.
Tags
Bài viết khác
- Bài tập Định luật ôm đối với toàn mạch, công thức tính suất điện động và hiệu suất của nguồn điện - Vật lý 11 bài 9
- Bài tập Ghép các nguồn điện thành bộ: Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 58 SGK Vật lý 11 bài 10
- Sự điện li: Phân loại chất điện li mạnh, chất điện li yếu - Hóa 11 bài 1
- Điện tích, tương tác điện. Định luật CU-LÔNG, Hằng số điện môi - Vật lý 11 bài 1
- Liên kết đơn, Liên kết đôi, Liên kết ba là gì? Nội dung và ý nghĩa thuyết cấu tạo hóa học trong hợp chất hữu cơ - Hóa 11 bài 22
- Công thức tính suất điện động và điện trở trong của bộ nguồn ghép nối tiếp, song song, hỗn hợp đối xứng - Vật lý 11 bài 10
- Định luật ôm [Ohm] đối với toàn mạch, Công thức tính suất điện động và hiệu suất của nguồn điện - Vật lý 11 bài 9
- Công thức tính công, công suất của nguồn điện, Công thức định luật Jun-len-xơ, Điện năng tiêu thụ, công suất điện - Vật lý 11 bài 8
- Tụ điện, Công thức tính điện dung của tụ điện, Công thức tính năng lượng điện trường trong tụ điện - Vật lý 11 bài 6
- Hệ thức liên hệ giữa Hiệu điện thế và Cường độ Điện trường, định nghĩa điện thế, hiệu điện thế - Vật lí 11 bài 5
§2. VẤN ĐỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG
Trong phần trước, ta đã biết ý nghĩa của đạo hàm : Hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại một điểm thì bằng đạo hàm của hàm số tại điểm đó. Điều này dẫn đến nhiều dạng bài toán ứng dụng và thường xuất hiện trong các bài toán thi vào đại học.
• Trong phần trước ta cũng có kết quả : Tiếp tuyến tại một điểm [$x_{0}$, $y_{0}$] trên đường cong [C]: y = f[x] có phương trình
y = f'[$x_{0}$].[x - $x_{0}$] + f[$x_{0}$].
• Muốn xác định phương trình tiếp tuyến của đường cong [C] mà tiếp tuyến đó đi qua một điểm $M_{1}$[$x_{1}$, $y_{1}$] không nằm trên [C], ta thường tiến hành như sau : Gọi tiếp điểm là $M_{0}$[$x_{0}$, f[$x_{0}$]] thì phương trình của tiếp tuyến phải tìm là
y = f'[$x_{0}$].[x - $x_{0}$] + f[$x_{0}$].
Vì tiếp tuyến đó đi qua điểm $M_{1}$[$x_{1}$, $y_{1}$] cho trước nên $x_{0}$ là nghiệm của phương trình:
$y_{1}$ = f'[$x_{0}$].[$x_{1}$ - $x_{0}$] + f[$x_{0}$].
• Trong một số trường hợp ta sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường cong y = f[x], y = g[x] : Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là f[x] = g[x], điều kiện tiếp xúc là phương trình này có nghiệm kép.
Ví dụ 23.
Chứng minh rằng trong số các tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc ba y = f[x] = a$x^{3}$ + b$x^{2}$ + cx +d, với a > 0, tiếp tuyến tại điểm $x_{0}$ sao cho f”[$x_{0}$] = 0 là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
Giải.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $x_{0}$ này là
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x bất kì là
f'[x] = 3a$x^{2}$ + 2bx + c .
Như vậy, ta cần chứng minh rằng với mọi x, ta phải có
Ví dụ 24. [Trích đề thi vào ĐH Cần Thơ, 1998]
Cho hàm số y = $x^{3}$ – 3$x^{2}$ + 2 có đồ thị [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] đi qua điểm A[-1,-2].
Giải.
Gọi tiếp điểm là $M_{0}$[$x_{0}$, $y_{0}$] với $y_{0}$ = $x_{0}^{3}$ - 3$x_{0}^{2}$ + 2 thì phương trình tiếp tuyến là
Tiếp tuyến đi qua điểm A[-1, -2], suy ra
Phương trình có 2 nghiệm $x_{0}$ = -1 và $x_{0}$ = 2. Thế vào [1] ta có 2 tiếp tuyến với phương trình là y = 9x + 7 và y = - 2.
Ví dụ 25.
Cho hàm số y = $x^{3}$ – 3$x^{2}$ + 4 có đồ thị [C]. Viết phương trình đường thẳng [d] đi qua điểm A[-1, 0] và có hệ số góc k. Tìm các giá trị của k để [C] tiếp xúc với [d].
Giải.
Ta có y' = 3$x^{2}$ – 6x. Phương trình đường thẳng [d]:
y = k[x + 1].
[d] tiếp xúc với [C] ⇔ Tồn tại điểm M[$x_{0}$, $y_{0}$]
Thỏa mãn hệ điều kiện sau:
[Điểm M[$x_{0}$, $y_{0}$] chính là tiếp điểm của [d] và [C]].
Thay [2] lên [1] và rút gọn ta được :
$x^{3}$ - 3x - 2 = 0 ⇔ $x_{0}$ = -1, $x_{0}$ = 2
• $x_{0}$ = -1 ⇒ k = 9
• $x_{0}$ = 2 ⇒ k = 0
Vậy [d] tiếp xúc với [C] khi k = 0 hoặc k = 9.
Ví dụ 26.
Cho điểm A[$x_{0}$, $y_{0}$] thuộc đồ thị [C] của hàm số
y = $x^{3}$ - 3x + 1.
Tiếp tuyến với [C] tại A cắt [C] tại điểm B khác A. Tìm hoành độ điểm B theo $x_{0}$
Giải.
Miền xác định của hàm số:D = R. Ta có: y' = 3$x^{2}$ - 3.
Phương trình tiếp tuyến tại A:
Phương trình hoành độ giao điểm của [D] và [C] là:
Phương trình bậc hai
Vậy B có hoành độ là -2$x_{0}$.
Ví dụ 27. Hãy tìm phương trình của tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số
Giải.
Hàm số đã cho có miền xác định là D = R\{0}.
Ta có
Giả sử A[a,f[a]] là điểm nằm trên đồ thị thỏa mãn điều kiện để bài. Tiếp tuyến [D] tại A có phương trình là:
Từ phương trình này, ta tìm được hai giao điểm B và C của [D] với hai trục tọa độ là:
Diện tích tam giác OBC là
Theo đề bài,
Phương trình [2] vô nghiệm, còn phương trình [1] cho ta
a = 1, a = $\sqrt[3]{5}$.
Tóm lại, có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài, đó là :
• Tiếp tuyến tại điểm [1,2], có phương trình y = x + 1.
• Tiếp tuyến tại điểm
Ví dụ 28. [Trích đề thi vào đại học khối D, 2005]
Cho hàm số:
Giải.
Kí hiệu :
Ta có:
Ta thấy với mọi m $\neq$ 1, x = m luôn thỏa mãn hệ [*]. Vì vậy với mọi m $\neq$ 1, [*] luôn có nghiệm, đồng thời khi m = 1 thì hệ [*] vô nghiệm. Do đó đồ thị hàm số [*] tiếp xúc với đường thẳng y = x khi và chỉ khi m $\neq$ 1.
Ví dụ 29.
Trên đồ thị của hàm số y = $x^{2}$ lấy hai điểm A, B có hoành độ là a, b [a < b]. Hãy tìm điểm C trên cung AB mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng AB.
Giải.
Hệ số góc của đường thẳng AB là
Phương trình tiếp tuyến tại C là
Ví dụ 30.
Cho hàm số
Giải.
Vì phương trình $x^{2}$ + mx - 8 = 0 [*] có $\Delta$ = $m^{2}$ + 8 > 0 nên đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m. Ta có :
Nếu đồ thị cắt trục hoành tại x = $x_{0}$ thì u[$x_{0}$] = 0, do đó, hệ số góc tiếp tuyến tại điểm này là
Giả sử đồ thị hàm số cắt trục hoành tại $x_{1}$, $x_{2}$. Hệ số góc tương ứng là
Để hai tiếp tuyến vuông góc với nhau, ta phải có
Theo định lí Viet ở phương trình [*]: $x_{1}$ + $x_{2}$ = -m và $x_{1}$$x_{2}$ = -8, ta có phương trình:
Vậy, để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau, ta phải có