Sơ đồ tư duy toán 12 nguyên hàm

Bài viết mới

• Giữa biến dị tổ hợp và đột biến gen có điểm nào khác nhau nào?
• Khi phân tử acridin chèn vào vị trí mạch ADN đang tổng hợp thì gây nên đột biến
• Loại đột biến không di truyền được cho thế hệ sau qua sinh sản hữu tính là
• Điểm giống nhau cơ bản giữa đột biến và biến dị tổ hợp là:
• Đột biến gen bị ảnh hưởng bởi những yếu tố nào ?

Chuyên mục

Chuyên mục

Phương pháp học Nguyên hàm - Tích phân bằng sơ đồ tư duy

Nhiều học sinh cho rằng toán học là một môn rất khó và khô khan, đặc biệt trong việc tiếp thu các kiến thức lý thuyết về phần “ nguyên hàm- tích phân ” trong chương trình giải tích lớp 12. Có một phương pháp khá đơn giản và hiệu quả giúp học sinh học “nguyên hàm- tích phân ” dễ dàng hơn và đang được áp dụng đó là vẽ sơ đồ tư duy.

Với việc học sinh cần nhớ định nghĩa về tích phần và những tính chất cơ bản, thì học sinh cần có cái nhìn tổng quan về các phương giải một số dạng tích phân thường gặp. Sơ đồ tư duy tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến dạng 1, cách tính tích phân dạng 1 cũng đặt tương tự. Sơ đồ cho học sinh khái quát về các dạng toán đổi biến dạng 1.

Bài tập 1:

Tìm các nguyên hàm sau:

1. \[I = \int\limits {\left[ {3x + 1} \right]\left[ {x - 2} \right]} \,dx\].

1. \[J = \int\limits {\left[ {5{{\sin }^2}x - \sin x + 2} \right]\cos x} \,dx\].

Lời giải:

1. \[I = \int\limits {\left[ {3x + 1} \right]\left[ {x - 2} \right]} \,dx\]

\[I = \int\limits {\left[ {3{x^2} - 5x - 2} \right]} \,dx = {x^3} - \frac{{5{x^2}}}{2} - 2x + C.\]

1. \[J = \int\limits {\left[ {5{{\sin }^2}x - \sin x + 2} \right]\cos x} \,dx\]

Đặt: \[t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\]

Khi đó: \[J = \int\limits {\left[ {5{t^2} - t + 2} \right]} \,dt = \frac{{5{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} + 2t + C = \frac{5}{3}{\sin ^3}x - \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + 2\sin x + C.\]

Bài tập 2:

Tính các tích phân sau:

1. \[I=\int_{1}^{3}x[3x+2lnx]dx.\]

1. \[I=\int_{1}^{2}\frac{x^2+ln^2x}{x}dx.\]

1. \[I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\]

Lời giải:

1. \[I=\int_{1}{2}3x^2dx+\int_{1}{2}2xlnxdx\] Đặt \[I_1=\int_{1}{2}3x^2dx; I_2=\int_{1}{2}2xlnxdx\] \[I_1=\int_{1}{2}3x^2dx=x^3\bigg |^2_1=7.\] \[I_2=\int_{1}{2}lnxd[x^2]=[x^2lnx]\bigg|2_1-\int_{1}{2}xdx=4ln2- \frac{x^2}{2}\bigg|^2_1=4ln2-\frac{3}{2}.\] Vậy \[I=I_1+I_2=4ln2-\frac{11}{2}.\]

1. Ta tách tích phân I như sau: \[I=\int_{1}{2}\frac{x^2+ln^2x}{x}dx=\int_{1}{2}xdx+\int_{1}{2}\frac{ln^2x}{x}dx\] \[I_1=\int_{1}{2}xdx=\frac{x^2}{2}\bigg|2_1=\frac{3}{2}\] \[I_2=\int_{1}{2}\frac{ln^2x}{x}dx\] Đặt \[t=lnx\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx\] Đổi cận: \[x=2\Rightarrow t=ln2;x=1\Rightarrow t=0\] \[I_2=\int_{0}{ln2}t^2dt=\frac{t^3}{3}\bigg |{ln2}_0=\frac{ln^32}{3}\] Vậy \[I=I_1+I_2=\frac{3}{2}+\frac{ln^32}{3}.\]

1. \[I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\]

Đặt \[x = \cos t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = - \sin tdt\]

Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\]

Khi đó:

\[\begin{array}{l} I = - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}0 {\frac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}t} .\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt} = \int\limits_0{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left| {\sin t} \right|.\sin t}}{{{{\cos }2}t}}dt} \\ = \int\limits_0{\frac{\pi }{4}} {\left[ {\frac{1}{{{{\cos }2}t}} - 1} \right]dt} = \left. {\left[ {\tan t - t} \right]} \right|_0{\frac{\pi }{4}} = 1 - \frac{\pi }{4}. \end{array}\]

Bài tập 3:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 + x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là: \[S=\int_{0}{1}\left | x^2+x \right |dx\] Với \[x\in [0;1]\Rightarrow S=\int_{0}{1}[x^2+x]dx\] Suy ra \[S=[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}]\bigg |^1_0=\frac{5}{6}.\] Vậy \[S=\frac{5}{6}\].

Bài tập 4:

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = \frac{1}{{1 + \sqrt {4 - 3{\rm{x}}} }},y = 0,x = 0,x = 1\] quay quanh trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.

Lời giải:

Thể tích cần tìm: \[V = \pi \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{{\left[ {1 + \sqrt {4 - 3x} } \right]}^2}}}}\]

Đặt:\[t = \sqrt {4 - 3x} \Rightarrow dt = - \frac{3}{{2\sqrt {4 - 3x} }}dx \Leftrightarrow dx = - \frac{2}{3}tdt\left[ {x = 0 \Rightarrow t = 2;x = 1 \Rightarrow t = 1} \right]\]

Khi đó:

\[\begin{array}{l} V = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\frac{t}{{{{\left[ {1 + t} \right]}^2}}}dt} = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\left[ {\frac{1}{{1 + t}} - \frac{1}{{{{\left[ {1 + t} \right]}^2}}}} \right]dt} \\ = \left. {\frac{{2\pi }}{3}\left[ {\ln \left| {1 + t} \right| + \frac{1}{{1 + t}}} \right]} \right|_1^2 = \frac{\pi }{9}\left[ {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right]. \end{array}\]