Viết phương trình các cạnh của tam giác abc biết trung điểm

Cách 2:

B1: Tìm tọa độ trọng tâm $G[x_G;y_G]$  của tam giác ABB2: Xác định điểm P đối xứng với điểm A qua G theo công thức trung điểm. Khi đó tứ giác BGCP là hình bình hành. B3: Lập phương trình đường thẳng PC qua P và song song với trung tuyến CN. C là giao điểm của PC với CN. B4: Lập phương trình đường thẳng PB qua P và song song với trung tuyến CN. B là giao điểm của PB với BM.

B5: Viết phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác ABC.

Xem thêm bài giảng:

Bài tập 1:

Cho tam giác ABC có $A[1;3]$ và hai đường trung tuyến BM: x-2y+1=0 và CN: y-1=0. Viết phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác ABC.

Hướng dẫn:

Cách 1:

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}x-2y+1=0\\y-1=0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{ll}x=1\\y=1\end{array}\right.$ =>  $G[1;1]$

Gọi $B[x_B;y_B]$. Vì điểm B thuộc đường trung tuyến BM nên ta có: $x_B-2y_B+1=0$ => $x_B=2y_B-1$ => $B[2y_B-1;y_B]$

Gọi $C[x_C;y_C]$. Vì điểm C thuộc đường trung tuyến CN nên ta có: $y_C-1=0$ => $y_C=1$ => $C[x_C;1]$

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{ll}1=\dfrac{1+2y_B-1+x_C}{3}\\1=\dfrac{3+y_B+1}{3}\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{ll}2y_B+x_C=3\\y_B+4=3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{ll}x_C=5\\y_B=-1\end{array}\right.$

Từ đó ta có tọa độ hai điểm B và C là: $B[-3;-1], C[5;1]$

Khi đó phương trình đường thẳng cạnh AB là: $x-y+2=0$

Phương trình đường thẳng cạnh AC là: $x+2y-7=0$

Phương trình đường thẳng cạnh BC là: $x-4y-1=0$

Cách 2:

Theo cách 1 ta có: $G[1;1]$

Gọi P là điểm đối xứng với A qua G, ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}x_G=\dfrac{x_A+x_P}{2}\\y_G=\dfrac{y_A+y_P}{2}\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{ll}x_P=2x_G-x_A\\y_P=2y_G-y_A\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{ll}x_P=1\\y_P=-1\end{array}\right.$ => $P[1;-1]$

Tứ giác BGCP là hình bình hành nên PC//BM nên phương trình PC có dạng: $x-2y+m=0$

Vì P thuộc đường thẳng PC nên ta có: $1-2[-1]+m=0$ => $m=-3$

Phương trình PC là: $x-2y-3=0$

Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{ll}y-1=0\\x-2y-3=0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{ll}x=5\\y=1\end{array}\right.$ => $C[5;1]$

Mà PB//CN [ vì tứ giác BGCPlà hình bình hành] nên phương trình PB có dạng: $y+n=0$

Vì P thuộc đường thẳng PB nên ta có: $1+n=0$ => $n=1$

Phương trình PB là: $y+1=0$

Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ: : $\left\{\begin{array}{ll}y+1=0\\x-2y+1=0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{ll}x=-3\\y=-1\end{array}\right.$ => $B[-3;-1]$

Khi đó phương trình cạnh AB là: $x-y+2=0$

Phương trình cạnh AC là: $x+2y-7=0$

Phương trình cạnh BC là: $x-4y-1=0$

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Cho tam giác ABC có $A[3;1]$ và hai đường trung tuyến BM: $2x-y-1=0$ và CN: $x-1=0$. Lập phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác ABC.

Bài 2: Cho tam giác ABC có $A[-2;3]$ và hai đường trung tuyến BM: $x-2y+1=0$ và CN: $x+y+4=0$. Tìm tọa độ các đỉnh B, C và viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài giảng này thầy đã hướng dẫn các bạn cách viết phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ một đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến xuất phát từ hai đỉnh còn lại. Các em hãy áp dụng 2 phương pháp này cho những bài toán tương tự nhé. Chúc các em học tập tốt.

Hãy comment những ý kiến của bạn về bài giảng này hoặc muốn trao đổi thêm về bài toán khác ở ngay dưới đây nhé, thầy và các bạn khác có thể sẽ trợ giúp được các bạn.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

BẠN CÓ THỂ XEM THÊM: phương trình đường thẳngphương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đường cao và đường trung tuyến cùng xuất phát từ một đỉnh.

Bài tập:

Cho tam giác ABC biết đỉnh C[4;-1], đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình tưởng ứng là: [d1]: $2x-3y+12=0$ và [d2]: $2x+3y=0$. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Phân tích:

• Viết phương trình đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với d1
• Tìm tọa độ điểm A là giao của d1 và d2
• Tìm tọa độ của điểm M là giao của BC và d2
• Tìm tọa độ của điểm B biết C và M
• Viết phương trình trình đường thẳng AB, BC, AC

Xem thêm bài giảng khác:

Hướng dẫn:

Phương trình cạnh BC:

Vì $BC\bot [d1]$ đường thẳng BC nhận vecto chỉ phương của đường thẳng [d1] làm vecto pháp tuyến.

Vecto chỉ phương của đường thẳng [d1] là: $\vec{u_1}=[3;2]$

Suy ra vecto pháp tuyến của đường thẳng BC chính là vecto $\vec{u_1}=[3;2]$

Phương trình đường thẳng BC là: $3[x-4]+2[y+1]=0$=> $3x+2y-10=0$

Tìm tọa độ của điểm A:

Vì điểm A là giao điểm của hai đường thẳng [d1] và [d2] nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{ll}2x-3y+12=0\\2x+3y=0\end{array}\right.$=>A[-3;2]

Phương trình cạnh AC:

Ta có: $\vec{AC}=[7;-3]$ là chỉ phương của đường thẳng AC => vecto pháp tuyến của đường thẳng AC là $\vec{n_{AC}}=[3;7]$

Đường thẳng AC đi qua A nhận $\vec{n_{AC}}=[3;7]$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là: $3[x+3]+7[y-2]=0$ =>$3x+7y-5=0$

Phương trình cạnh AB:

Gọi M là trung điểm của BC, khi đó M là giao điểm của [d2] và BC

Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin {array}{ll}3x+y-10=0\\2x+3y=0\end{array}\right.$ => M[6;-4]

Vì M là trung điểm của BC nên tọa độ của điểm B thỏa mãn:

$\left\{\begin {array}{ll}x_B+x_C=2x_M\\y_B+y_C=2y_M\end{array}\right.$ $\left\{\begin {array}{ll}x_B=-x_C+2x_M\\y_B=-y_C+2y_M\end{array}\right.$ $\left\{\begin {array}{ll}x_B=8\\y_B=-7 \end{array}\right.$ => B[8;-7]]

Đường thẳng AB đi qua A[-3;2] và nhận $\vec{AB}=[11;-9]$ làm vecto chỉ phương có phương trình là: $\left\{\begin {array}{ll}x=-3+11t\\y=2-9t\end{array}\right.$

Vậy phương trình các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC là:

[AB]: $\left\{\begin {array}{ll}x=-3+11t\\y=2-9t\end{array}\right.$; [AC]: $3x+7y-5=0$; [BC]: $3x+2y-10=0$

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Viết pt các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P với M[-1;-1], N[1,9], P[9,1]

Do M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 2{x_M}\\{x_A} + {x_C} = 2{x_N}\\{x_A} + {x_B} = 2{x_P}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{y_B} + {y_C} = 2{y_M}\\{y_A} + {y_C} = 2{y_N}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_P}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} =  - 2\\{x_A} + {x_C} = 2\\{x_A} + {x_B} = 18\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{y_B} + {y_C} =  - 2\\{y_A} + {y_C} = 18\\{y_A} + {y_B} = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left[ {11;11} \right]\\B\left[ {7; - 9} \right]\\C\left[ { - 9;7} \right]

\end{array} \right.\]

Gọi phương trình đường thẳng AB là \[y = a\,x + b\], đường thẳng này đi qua 2 điểm A, B nên tọa độ điểm A, B thỏa mãn phương trình đường thẳng nên ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}a.11 + b = 11\\a.7 + b =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11a + b = 11\\7a + b =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b =  - 44

\end{array} \right.\]

Suy ra phương trình đường thẳng AB là \[y = 5x - 44\]

Gọi phương trình đường trung trực của AB là \[y = cx + d\]. Đường thẳng này vuông góc với AB và đi qua trung điểm P nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}a.c =  - 1\\c.9 + d = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c.5 =  - 1\\9c + d = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c =  - \frac{1}{5}\\d = \frac{{14}}{5}

\end{array} \right.\]

Vậy phương trình đường trung trực của AB là \[y =  - \frac{1}{5}x + \frac{{14}}{5}\]

Tương tự ta có:

Phương trình đường thẳng BC là \[y =  - x - 2\]

Phương trình đường trung trực của BC đi qua M là:  \[y = x\]

Phương trình đường thẳng AC là: \[y = \frac{1}{5}x + \frac{{44}}{5}\]

Phương trình đường trung trực của AC đi qua N là:  \[y =  - 5x + 14\]