X(x+1)2 x 23 có bao nhiêu cực trị
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=1$ hoặc $x=2$. $y=f(f(x^2-1))\Rightarrow y'=2xf'(x^2-1)f'(f(x^2-1))$ Đặt $u(x)=f'(x^2-1)$ ; $v(x)=f'(f(x^2-1))$ $\Rightarrow y'=2x.u(x).v(x)$ $u(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x^2-1=-1\\x^2-1=1\\x^2-1=2 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=\pm \sqrt2\\x=\pm \sqrt3 \end{array}\right.$ Gọi giao điểm của đường thẳng $y=-1$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $A,B,C$ ($x_A< -1< x_B< x_C=2$) giao điểm của đường thẳng $y=1$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $D,E,F,G$ ($x_D< -1< x_E< x_F giao điểm của đường thẳng $y=2$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $H,I,K$ ($x_H< -1< x_I=1< x_K$) Đặt $x_A+1=a$ ; $x_B+1=b$ ; $x_C+1=c$ ; ... Ta có $y'=2x.u(x).v(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=\pm \sqrt b\\x=\pm \sqrt{e}\\x=\pm \sqrt2\\x=\pm \sqrt f\\x=\pm \sqrt 3\\x=\pm \sqrt g\\x=\pm \sqrt k \end{array}\right.$ (tất cả là $15$ giá trị của $x$) Chú ý rằng mỗi khi $x$ đi qua bất kỳ giá trị nào trong $15$ giá trị kể trên thì chỉ có $x$ hoặc $u(x)$ hoặc $v(x)$ (một trong ba) đổi dấu mà thôi. Suy ra hàm số $y=f(f(x^2-1))$ có đúng $15$ điểm cực trị.
----------------------------------------------------------------------------- Tìm đa thức $f(x)$ ? (Theo đồ thị, đa thức $f(x)$ là bậc chẵn) Giả sử đa thức là bậc $6$, tức là $f(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx$ (vì $f(0)=0$) và $f'(x)=6ax^5+5bx^4+4cx^3+3dx^2+2ex+f$ Ta có $\left\{\begin{matrix}f(1)=2\\f(2)=-1\\f'(1)=0\\f'(-1)=0\\f'(2)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a+b+c+d+e+f=2\\64a+32b+16c+8d+4e+2f=-1\\6a+5b+4c+3d+2e+f=0\\-6a+5b-4c+3d-2e+f=0\\192a+80b+32c+12d+4e+f=0 \end{matrix}\right.$ Hệ này có vô số nghiệm. Nếu chọn $b=0$, ta có $f(x)=\frac{29}{148}\ x^6-\frac{93}{74}\ x^4-\frac{21}{37}\ x^3+\frac{285}{148}\ x^2+\frac{63}{37}\ x$. Cho hàm số y=x4-2x2+1. Xét các mệnh đề sau đây 1) Hàm số có 3 điểm cực trị; 2) Hàm số đồng biến trên các khoảng -1;0 ;1;+∞ 3) Hàm số có 1 điểm cực trị; 4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng -∞;-1; 0;1 Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên? Chọn B Ta có [f3(x)]'=3.f2(f).f'(x) nên số điểm cực trị của hàm số y= f3(x) bằng số điểm cực trị của hàm số y=f(x) . 3f'(x)=0⇔x(x-1)2(x-2)3(x-3)4=0⇔x=0x=1x=2. Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số y=f3(x) có 2 điểm cực trị. |
