Bài 1.28 trang 38 sbt đại số và giải tích 11
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =-\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\\x=\arctan\dfrac{1}{3}+k\pi,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Giải các phương trình sau LG a \({\cos}^2 x+2\sin x\cos x+5{\sin}^2 x=2\) Phương pháp giải: Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với \(\sin\) và \(\cos\):\(a{\sin}^2 x+b\sin x\cos x+c{\cos}^2 x=d\) Bước 1: Xét\(\cos x=0\) có là nghiệm của phương trình hay không? Bước 2: Khi\(\cos x\ne0\) - Chia cả 2 vế của phương trình cho\({\cos}^2 x\) ta được:\(a\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+b\dfrac{\sin x}{\cos x}+c=\dfrac{d}{{\cos}^2 x}\) - Sử dụng công thức\(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\); \(\dfrac{1}{{\cos}^2 x}={\tan}^2 x+1\) đưa phương trình về dạng: \(a{\tan}^2 x+b\tan x+c=d(1+{\tan}^2 x)\)\(\Leftrightarrow (ad){\tan}^2 x+b\tan x+cd=0\) - Giải phương trình lượng giác cơ bản của \(\tan\): \(\tan x=\tan \alpha\) \(\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi ,\in\mathbb{Z}\) và đối chiếu với điều kiện. Lời giải chi tiết: Ta có \({\cos}^2 x+2\sin x\cos x+5{\sin}^2 x=2\) Thấy rằng \(\cos x=0\) không thỏa mãn phương trình. Với \(\cos x\ne 0\), chia hai vế của phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được \(1+2\dfrac{\sin x}{\cos x} +5\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}=\dfrac{2}{{\cos}^2 x}\) \(\Leftrightarrow 1+2\tan x+5{\tan}^2 x=2(1+{\tan}^2 x)\) \(\Leftrightarrow 3{\tan}^2 x+2\tan x-1=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = -1\\\tan x=\dfrac{1}{3}\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =-\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\\x=\arctan\dfrac{1}{3}+k\pi,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \) LG b \(3{\cos}^2 x-2\sin 2x+{\sin}^2 x=1\) Phương pháp giải: Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với \(\sin\) và \(\cos\):\(a{\sin}^2 x+b\sin x\cos x+c{\cos}^2 x=d\) Bước 1: Xét\(\cos x=0\) có là nghiệm của phương trình hay không? Bước 2: Khi\(\cos x\ne0\) - Chia cả 2 vế của phương trình cho\({\cos}^2 x\) ta được:\(a\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+b\dfrac{\sin x}{\cos x}+c=\dfrac{d}{{\cos}^2 x}\) - Sử dụng công thức\(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\); \(\dfrac{1}{{\cos}^2 x}={\tan}^2 x+1\) đưa phương trình về dạng: \(a{\tan}^2 x+b\tan x+c=d(1+{\tan}^2 x)\)\(\Leftrightarrow (ad){\tan}^2 x+b\tan x+cd=0\) - Giải phương trình lượng giác cơ bản của \(\tan\): \(\tan x=\tan \alpha\) \(\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi ,\in\mathbb{Z}\) và đối chiếu với điều kiện. Lời giải chi tiết: Ta có\(3{\cos}^2 x-2\sin 2x+{\sin}^2 x=1\) Với \(\cos x=0\) ta thấy \(VT=VP=1\). Vậy phương trình có nghiệm \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\) TH \(\cos x\ne 0\), chia hai vế của phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được \(3-4\dfrac{\sin x}{\cos x} +\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}=\dfrac{1}{{\cos}^2 x}\) \(\Leftrightarrow 3-4\tan x+{\tan}^2 x=1+{\tan}^2 x\) \(\Leftrightarrow 4\tan x=2\) \(\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow x=\arctan\dfrac{1}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\) Vậy nghiệm của phương trình là\(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\arctan\dfrac{1}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\). LG c \( 4{\cos}^2 x-3\sin x\cos x+3{\sin}^2 x=1\) Phương pháp giải: Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với \(\sin\) và \(\cos\):\(a{\sin}^2 x+b\sin x\cos x+c{\cos}^2 x=d\) Bước 1: Xét\(\cos x=0\) có là nghiệm của phương trình hay không? Bước 2: Khi\(\cos x\ne0\) - Chia cả 2 vế của phương trình cho\({\cos}^2 x\) ta được:\(a\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+b\dfrac{\sin x}{\cos x}+c=\dfrac{d}{{\cos}^2 x}\) - Sử dụng công thức\(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\); \(\dfrac{1}{{\cos}^2 x}={\tan}^2 x+1\) đưa phương trình về dạng: \(a{\tan}^2 x+b\tan x+c=d(1+{\tan}^2 x)\)\(\Leftrightarrow (ad){\tan}^2 x+b\tan x+cd=0\) - Giải phương trình lượng giác cơ bản của \(\tan\): \(\tan x=\tan \alpha\) \(\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi ,\in\mathbb{Z}\) và đối chiếu với điều kiện. Lời giải chi tiết: Ta có\( 4{\cos}^2 x-3\sin x\cos x+3{\sin}^2 x=1\) Thấy rằng \(\cos x=0\) không thỏa mãn phương trình. Với \(\cos x\ne 0\), chia hai vế của phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được \(4-3\dfrac{\sin x}{\cos x}+3\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}=\dfrac{1}{{\cos}^2 x}\) \(\Leftrightarrow 4-3\tan x+3{\tan}^2 x=1+{\tan}^2 x\) \(\Leftrightarrow 2{\tan}^2 x-3\tan x+3=0 \text{(Vô nghiệm)}\) Vậy phương trình vô nghiệm.
|