Bài 5. Đố. Tính cạnh một hình vuông, biết diện tích của nó bằng diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng 3,5m và chiều dài 14m.. Bài 5 trang 7 sgk Toán 9 – tập 1 – Bài 1. Căn bậc hai
Quảng cáo - Advertisements
Bài 5. Đố. Tính cạnh một hình vuông, biết diện tích của nó bằng diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng 3,5m và chiều dài 14m.
Hướng dẫn giải:
Gọi x là độ dài hình vuông, x > 0.
Diện tích của hình vuông là x2.
Quảng cáo - Advertisements
Diện tích của hình chữ nhật là 3,5. 14 = 49 [m2].
Theo đầu bài diện tích hình vuông = diện tích hình chữ nhật = 49 [m2].
Cạnh của hình vuông bằng \[\sqrt {49} = \pm 7\left[ m \right]\]. Vì x > 0 nên x = 7.
Vậy độ dài cạnh hình vuông là 7m.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH [h.5].
Giải bài toán trong mỗi trường hợp sau:
a] Cho AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC, BC, CH;
b] Cho AB = 12, BH = 6. Tính AH, AC, BC, CH.
Gợi ý làm bài:
a] Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: \[{AH^2} = BH.CH\]
\[ \Rightarrow CH = {{A{H^2}} \over {BH}} = {{{{16}^2}} \over {25}} = 10,24\]
\[BC = BH + CH = 25 + 10,24 = 35,24\]
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[\eqalign{ & A{B^2} = BH.BC \cr & \Rightarrow AB = \sqrt {BH.BC} \cr
& = \sqrt {25.35,24} = \sqrt {881} = 29,68 \cr} \]
\[\eqalign{ & A{C^2} = HC.BC \cr & \Rightarrow AC = \sqrt {CH.BC} \cr
& = \sqrt {10,24.35,24} = \sqrt {360,9} = 18,99 \cr} \]
b] Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[\eqalign{ & A{B^2} = BH.BC \cr
& \Rightarrow BC = {{A{B^2}} \over {BH}} = {{{{12}^2}} \over 6} = 24 \cr} \]
\[CH = BC - BH = 24 - 6 = 18\]
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[\eqalign{ & A{C^2} = HC.BC \cr & \Rightarrow AC = \sqrt {CH.BC} \cr
& = \sqrt {18.24} = \sqrt {432} \approx 20,78 \cr} \]
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông, ta có:
\[\eqalign{ & A{H^2} = HB.HC \cr & \Rightarrow AH = \sqrt {HB.HC} \cr
& = \sqrt {6.18} = \sqrt {108} = 6\sqrt 3 \cr} \]
Sachbaitap.com
Bài tiếp theo
Xem lời giải SGK - Toán 9 - Xem ngay
Báo lỗi - Góp ý
>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Câu 5. Trang 103 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH [h.5].
Giải bài toán trong mỗi trường hợp sau:
a] Cho AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC, BC, CH;
b] Cho AB = 12, BH = 6. Tính AH, AC, BC, CH.
Gợi ý làm bài:
a] Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: \[{H^2} = BH.CH\]
\[ \Rightarrow CH = {{A{H^2}} \over {BH}} = {{{{16}^2}} \over {25}} = 10,24\]
\[BC = BH + CH = 25 + 10,24 = 35,24\]
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[\eqalign{& A{B^2} = BH.BC \cr & \Rightarrow AB = \sqrt {BH.BC} \cr
& = \sqrt {25.35,24} = \sqrt {881} = 29,68 \cr} \]
\[\eqalign{& A{C^2} = HC.BC \cr & \Rightarrow AC = \sqrt {CH.BC} \cr
& = \sqrt {10,24.35,24} = \sqrt {360,9} = 18,99 \cr} \]
b] Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[\eqalign{& A{B^2} = BH.BC \cr
& \Rightarrow BC = {{A{B^2}} \over {BH}} = {{{{12}^2}} \over 6} = 24 \cr} \]
\[CH = BC - BH = 24 - 6 = 18\]
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[\eqalign{& A{C^2} = HC.BC \cr & \Rightarrow AC = \sqrt {CH.BC} \cr
& = \sqrt {18.24} = \sqrt {432} \approx 20,78 \cr} \]
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông, ta có:
\[\eqalign{& A{H^2} = HB.HC \cr & \Rightarrow AH = \sqrt {HB.HC} \cr
& = \sqrt {6.18} = \sqrt {108} = 6\sqrt 3 \cr} \]
Câu 6. Trang 103 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 5 và 7, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng và nó chia ra trên cạnh huyền.
Gợi ý làm bài:
Giả sử tam giác ABC có: \[\widehat {BAC} = 90^\circ \]
\[AB = 5,AC = 7\]
Theo định lý Pi-ta-go, ta có:
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\]
\[\eqalign{& \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \cr
& = \sqrt {{5^2} + {7^2}} = \sqrt {74} \cr} \]
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:
\[\eqalign{& AH.BC = AB.AC \cr & \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} \cr
& = {{5.7} \over {\sqrt {74} }} = {{35} \over {\sqrt {74} }} \cr} \]
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:
\[\eqalign{& A{B^2} = BH.BC \cr & \Rightarrow BH = {{A{B^2}} \over {BC}} \cr
& = {{{5^2}} \over {\sqrt {74} }} = {{25} \over {\sqrt {74} }} \cr} \]
\[\eqalign{& CH = BC - BH \cr
& = \sqrt {74} - {{25} \over {\sqrt {74} }} = {{74 - 25} \over {\sqrt {74} }} = {{49} \over {\sqrt {74} }} \cr} \]
Câu 7. Trang 103 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đường thẳng có độ dài là 3 và 4. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
Gợi ý làm bài:
Giả sử tam giác ABC có: \[\widehat {BAC} = {90^0},AH \bot BC,BH = 3,CH = 4\]
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[\eqalign{& A{B^2} = BH.BC \cr & = 3.[3 + 4] = 3.7 = 21 \cr
& \Rightarrow AB = \sqrt {21} \cr} \]
\[\eqalign{& A{C^2} = CH.BC \cr & = 4.[3 + 4] = 4.7 = 28 \cr
& \Rightarrow AC = \sqrt {28} = 2\sqrt 7 \cr} \]
Câu 8. Trang 103 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm. Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này.
Gợi ý làm bài:
Giả sử tam giác ABC có \[\widehat {BAC} = 90^\circ \]
Theo đề bài, ta có: \[BC - AB = 1[cm]\] [1]
\[AB + AC - BC = 4[cm]\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[BC - AB + AB + AC - BC = 4 + 1 = 5[cm]\]
Theo định lý Pi-ta-go, ta có: \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\] [3]
Từ [1] suy ra: \[BC = AB + 1\] [4]
Thay [4] và [3] ta có:
\[\eqalign{& {\left[ {AB + 1} \right]^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr & \Leftrightarrow A{B^2} + 2AB + 1 = A{B^2} + {5^2} \cr & \Leftrightarrow 2AB = 24 \cr
& \Leftrightarrow AB = 12\left[ {cm} \right] \cr} \]
Thay AB = 12 [cm] vào [1] ta có: \[BC = 12 + 1 = 13[cm]\]
Giaibaitap.me
Page 2
Câu 9 trang 104 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.
Gợi ý làm bài:
Giả sử tam giác ABC có \[\widehat {BAC} = {90^0},AH \bot BC,BC = 5,AH = 2\] và \[BH < CH\]
Ta có: \[BH + CH = 5\] [1]
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh huyền trong tam giác, ta có:
\[BH.CH = A{H^2} = {2^2} = 4\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[BH = 1\] và \[CH = 4\]
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[A{B^2} = BH.BC = 1.5 = 5\]
Suy ra: \[AB = \sqrt 5 \].
Câu 10. Trang 104 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho một tam giác vuông. Biết tỷ số hai cạnh góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền là 125cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Gợi ý làm bài:
Giả sử tam giác ABC có \[\widehat {BAC} = {90^0 },AH \bot BC,BC = 125cm,{{AB} \over {AC}} = {3 \over 4}\]
Từ \[{{AB} \over {AC}} = {3 \over 4}\] suy ra: \[{{AB} \over 3} = {{AC} \over 4} \Rightarrow {{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}}\]
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau,ta có:
\[{{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{A{B^2} + A{C^2}} \over {9 + 16}} = {{A{B^2} + A{C^2}} \over {25}}\] [1]
Theo định lí Pi-ta-go, ta có:
\[\eqalign{& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr
& \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = {125^2} = 15625 \cr} \] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[{{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{15625} \over {25}} = 625\] [3]
Từ [3] suy ra :
\[A{B^2} = 9.625 = 5625 \Rightarrow AB = \sqrt {5625} = 75[cm]\]
\[A{C^2} = 16.625 = 10000 \Rightarrow AB = \sqrt {10000} = 100[cm]\]
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = {{A{B^2}} \over {BC}} = {{{{75}^2}} \over {125}} = 45[cm]\]
\[CH = BC - BH = 125 - 45 = 80[cm]\]
Câu 11. Trang 104 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng \[{{AB} \over {AC}} = {5 \over 6}\], đường cao \[AH = 30cm\]. Tính HB, HC.
Gợi ý làm bài:
Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = {90^0}\]
\[\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\] [hai góc cùng phụ \[\widehat {ACB}\]]
Vậy ∆AHB đồng dạng ∆CHA [g.g]
Suy ra: \[{{AH} \over {HC}} = {{AB} \over {CA}}.\] [1]
Theo đề bài: \[{{AB} \over {AC}} = {5 \over 6}\] và \[AH = 30[cm]\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[{{30} \over {HC}} = {5 \over 6} \Rightarrow HC = {{30.6} \over 5} = 36[cm]\]
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:
\[A{H^2} = HB.HC \Rightarrow HB = {{A{H^2}} \over {HC}} = {{{{30}^2}} \over {36}} = 25[cm]\]
Câu 12. Trang 104 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Hai vệ tinh đang bay ở vị trí A và B cùng cách mặt đất 230km có nhìn thấy nhau hay không nếu khoảng cách giữa chúng theo đường thẳng là 2200km? Biết rằng bán kính R của Trái Đất gần bằng 6370km và hai vệ tinh nhìn thấy nhau nếu OH > R.
Gợi ý làm bài:
Vì hai vệ tinh cùng cách mặt đất 230km nên tam giác AOB cân tại O.
Ta có: \[OA = R + 230\]
\[ = 6370 + 230 = 6600[km]\]
Trong tam giác AOB ta có: \[OA \bot AB\]
Suy ra: \[HA = HB = {{AB} \over 2} = {{2200} \over 2} = 1100[km]\]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHO ta có: \[A{O^2} = A{H^2} + O{H^2}\]
Suy ra: \[O{H^2} = O{A^2} - A{H^2}\]
Suy ra:
\[\eqalign{& OH = \sqrt {O{A^2} - A{H^2}} \cr
& = \sqrt {{{6600}^2} - {{1100}^2}} = \sqrt {42350000} \approx 6508[km] \cr} \]
Vì \[OH > R\] nên hai vệ tinh nhìn thấy nhau.
Giaibaitap.me
Page 3
Câu 13. Trang 104 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng các đoạn thẳng có độ dài tương ứng bằng:
a] \[\sqrt {{a^2} + {b^2}}\] b] \[\sqrt {{a^2} - {b^2}} \,,\,\left[ {a > 0} \right]\]
Gợi ý làm bài:
a] \[\sqrt {{a^2} + {b^2}}\]
* Cách dựng [hình a]:
− Dựng góc vuông xOy.
− Trên tia Ox, dựng đoạn OA = a.
− Trên tia Oy, dựng đoạn OB = b.
− Nối AB ta có đoạn \[AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \] cần dựng.
* Chứng minh:
Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có:
\[A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = {a^2} + {b^2}\]
Suy ra: \[AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
b] \[\sqrt {{a^2} - {b^2}} \,,\,\left[ {a > 0} \right]\]
* Cách dựng [hình b]:
− Dựng góc vuông xOy.
− Trên tia Ox, dựng đoạn OA = b.
− Dựng cung tròn tâm A, bán kính bằng a cắt Oy tại B.
Ta có đoạn \[OB = \sqrt {{a^2} - {b^2}} [a > b]\] cần dựng.
* Chứng minh;
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có:
\[A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} \Rightarrow O{B^2} = A{B^2} - O{A^2} = {a^2} - {b^2}\]
Suy ra: \[OB = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \]
Câu 14. Trang 104 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng đoạn thẳng \[\sqrt {ab} \] như thế nào?
Gợi ý làm bài:
* Cách dựng:
− Dựng đường thẳng t.
− Trên đường thẳng t dựng liên tiếp hai đoạn thẳng AB = a, BC = b.
− Dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AC.
− Từ B dựng đường thẳng vuông góc với AC cắt nửa đường tròn tâm O tại D.
Ta có đoạn \[BD = \sqrt {ab} \] cần dựng.
* Chứng minh:
Nối DA và DC. Ta có tam giác ACD vuông tại D và \[DB \bot AC\].
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:
\[B{D^2} = AB.BC = a.b\]
Suy ra: \[BD = \sqrt {ab} \].
Câu 15. Trang 104 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Giữa hai tòa nhà [ kho và phân xưởng] của một nhà máy, người ta xây dựng một băng chuyền AB để chuyển vật liệu. Khoảng cách giữa hai tòa nhà là 10m, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt ở độ cao 8m và 4m so với mặt đất [h.7]. Tìm độ dài AB của băng chuyền.
Gợi ý làm bài:
Kẻ \[BH \bot AD\] ta được tứ giác BCDH là hình chữ nhật.
Ta có: BC = DH và BH = CD [tính chất hình chữ nhật]
Suy ra: DH = 4 [m]
\[AH = 8 - 4 = 4\][m]
BH = 10 [m]
Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có:
\[A{B^2} = B{H^2} + A{H^2}\]
Suy ra: \[AB = \sqrt {B{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{10}^2} + {4^2}} = \sqrt {116} \approx 10,8[m]\]
Vậy băng chuyền dài khoảng 10,8m.
Câu 16. Trang 104 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5, 12, 13. Tìm góc đối diện với cạnh có độ dài 13 của tam giác.
Gợi ý làm bài:
Ta có: \[{5^2} + {12^2} = 25 + 144 = 169 = {13^2}\]
Vì tam giác có ba cạnh với độ dài các cạnh thỏa mãn định lý Pi-ta-go [bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại] nên nó là tam giác vuông.
Vậy góc đối diện với cạnh 13 [ cạnh dài nhất] là góc vuông.
Giaibaitap.me
Page 4
Câu 17. Trang 104 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác của góc B cắt đường chéo AC thành hai đoạn \[4{2 \over 7}m\] và \[5{5 \over 7}m\]. Tính các kích thước của hình chữ nhật.
Gợi ý làm bài:
Trong tam giác ABC, gọi giao điểm đường phân giác của góc \[\widehat {ABC}\] với cạnh AC là E.
Theo đề bài ta có:
\[AE = 4{2 \over 7}m,\,EC = 5{5 \over 7}m.\]
Theo tính chất của đường phân giác, ta có: \[{{AE} \over {EC}} = {{AB} \over {BC}}\]
Suy ra: \[{{AB} \over {BC}} = {{4{2 \over 7}} \over {5{5 \over 7}}} = {{{{30} \over 7}} \over {{{40} \over 7}}} = {3 \over 4}\]
Suy ra: \[{{AB} \over 3} = {{BC} \over 4} \Rightarrow {{A{B^2}} \over 9} = {{B{C^2}} \over {16}}\]
Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
\[A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\]
Mà \[AC = AE + EC\] nên:
\[\eqalign{& A{B^2} + B{C^2} = {[AE + EC]^2} \cr
& = {\left[ {4{2 \over 7} + 5{5 \over 7}} \right]^2} = {\left[ {{{30} \over 7} + {{40} \over 7}} \right]^2} = {10^2} = 100 \cr} \]
Mà :
\[\eqalign{& {{A{B^2}} \over 9} = {{B{C^2}} \over {16}} = {{A{B^2} + B{C^2}} \over {9 + 16}} \cr
& = {{A{B^2} + B{C^2}} \over {25}} = {{100} \over {25}} = 4 \cr} \]
Suy ra: \[A{B^2} = 9.4 = 36 \Rightarrow AB = \sqrt {36} = 6\left[ m \right]\]
\[B{C^2} = 16.4 = 64 \Rightarrow BC = \sqrt {64} = 8\left[ m \right]\]
Vậy: \[AB = CD = 6m\]
\[BC = AD = 8m\]
Câu 18. Trang 105 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác ACH là 40cm. Tính chu vi của tam giác ABC.
Gợi ý làm bài:
Gọi a, b, c lần lượt là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH.
Ta có: \[b = 30cm,c = 40cm.\]
Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \]
\[\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\] [hai góc cùng phụ \[\widehat {ACB}\]]
Vậy \[\Delta AHB\] đồng dạng \[\Delta CHA\] [g.g]
Suy ra: \[{{HB} \over {HA}} = {{HA} \over {HC}} = {{BA} \over {AC}} = {{HB + HA + BA} \over {HA + HC + AC}} = {b \over c}\]
Suy ra: \[{{BA} \over {AC}} = {b \over c} = {{30} \over {40}} = {3 \over 4}\]
Suy ra: \[{{BA} \over 3} = {{AC} \over 4} \Rightarrow {{B{A^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{B{A^2} + A{C^2}} \over {9 + 16}} = {{B{A^2} + A{C^2}} \over {25}}\]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\]
Suy ra: \[{{B{A^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{B{C^2}} \over {25}} \Rightarrow {{BA} \over 3} = {{AC} \over 4} = {{BC} \over 5}\]
Ta có các tam giác ABH, CAH, CBA đồng dạng với nhau nên:
\[b:c:a = BA:AC:BC = 3:4:5\]
Suy ra: \[{b \over 3} = {c \over 4} = {a \over 5} \Leftrightarrow {{30} \over 3} = {{40} \over 4} = {a \over 5} \Rightarrow a = {{30} \over 3}.5 = 50\left[ {cm} \right]\]
Câu 19. Trang 105 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN.
Gợi ý làm bài:
Vì BM là đường phân giác của góc B nên ta có:
\[{{MA} \over {MC}} = {{AB} \over {BC}} \Rightarrow {{MA} \over {MA + MC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\] [Tính chất tỉ lệ thức]
Suy ra: \[MA = {{AB.[MA + MC]} \over {AB + BC}} = {{6.8} \over {6 + 10}} = {{48} \over {16}} = 3\left[ {cm} \right]\]
Vì BN là đường phân giác của góc ngoài đỉnh B nên ta có: \[BM \bot BN\]
Suy ra tam giác BMN vuông tại B.
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có: \[A{B^2} = AM.AN\]
Suy ra: \[AN = {{A{B^2}} \over {AM}} = {{{6^2}} \over 3} = {{36} \over 3} = 12\left[ {cm} \right]\]
Câu 20. Trang 105 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác vuông ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kể MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng:
\[B{D^2} + C{E^2} + A{F^2} = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2}.\]
Gợi ý làm bài:
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BDM, ta có:
\[B{M^2} = B{D^2} + D{M^2} \Rightarrow B{D^2} = B{M^2} - D{M^2}\] [1]
Áp dụng đinh lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CEM, ta có:
\[C{M^2} = C{E^2} + E{M^2} \Rightarrow C{E^2} = C{M^2} - E{M^2}\] [2]
Áp dụng định lí pi-ta-go vào tam giác vuông AFM, ta có:
\[A{M^2}{\rm{ = A}}{{\rm{F}}^2} + F{M^2} \Rightarrow A{F^2} = A{M^2} - F{M^2}\] [3]
Cộng từng vế của [1], [2] và [3] ta có:
\[B{D^2} + C{E^2} + A{F^2}\]
\[= B{M^2} - D{M^2} + C{M^2} - E{M^2} + A{M^2} - F{M^2}\] [4]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BFM, ta có:
\[B{M^2} = B{F^2} + F{M^2}\] [5]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CDM, ta có:
\[C{M^2} = C{D^2} + D{M^2}\] [6]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AEM, ta có:
\[A{M^2} = A{E^2} + E{M^2}\] [7]
Thay [5], [6], [7] vào [4] ta có:
\[\eqalign{& B{D^2} + C{E^2}{\rm{ + A}}{{\rm{F}}^2} \cr & = B{F^2} + F{M^2} - D{M^2} + C{D^2} + D{M^2} - E{M^2} + A{E^2} + E{M^2} - F{M^2} \cr
& = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2} \cr} \]
Vậy \[B{D^2} + C{E^2}{\rm{ + A}}{{\rm{F}}^2} = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2}.\]
Giaibaitap.me
Page 5
Câu 1.1. Trang 105 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB : AC = 3 : 4 và đường cao AH bằng 9cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng HC bằng:
[A] 6cm ; [B] 9cm ;
[C] 12cm ; [D] 15cm.
Hãy chọn phương án đúng.
Gợi ý làm bài:
∆ABC đồng dạng ∆HAC nên \[{3 \over 4} = {{AB} \over {AC}} = {{HA} \over {HC}}\] suy ra \[HC = {4 \over 3}HA = 12\].
Chọn [C]
Câu 1.2. Trang 105 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB : AC = 4 : 5 và đường cao AH bằng 12cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng HB bằng:
[A] 6cm ; [B] 9,6cm ;
[C] 12cm ; [D] 15cm.
Hãy chọn phương án đúng.
Trong các bài [1.3, 1.4, 1.5] ta sẽ sử dụng các kí hiệu sau đây đối với tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH :
AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, BH = c', CH = b'.
Gợi ý làm bài:
∆ABC đồng dạng ∆HBA nên \[{4 \over 5} = {{AB} \over {AC}} = {{HB} \over {HA}}\] suy ra \[HB = {4 \over 5}HA = {{48} \over 5} = 9,6\] [cm].
Chọn [B]
Câu 1.3. Trang 105 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
a] Tính h, b, c nếu biết b¢ = 36, c¢ = 64.
b] Tính h, b, b¢, c¢ nếu biết a = 9, c = 6.
Gợi ý làm bài:
a] h2 = b'c' kéo theo h = 48 ; a = b' + c' = 100 từ b2 = ab' suy ra b = 60, từ c2 = ac' suy ra c = 80.
b] \[c' = {{{c^2}} \over a} = 4,b' = a - c' = 5,{b^2} = ab' = 45\] nên \[b = 3\sqrt 5 ;{h^2} = b'c' = 20,\] nên \[h = 2\sqrt 5 \].
Câu 1.4. Trang 105 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Hãy biểu thị b', c' qua a, b, c.
Gợi ý làm bài:
Từ \[{b^2} = ab',{c^2} = ac'\] suy ra \[b' = {{{b^2}} \over a},c' = {{{c^2}} \over a}.\]
Giaibaitap.me
Page 6
- Giải bài 36, 37, 38 trang 10, 11 Sách bài tập...
- Giải bài 43, 44, 45 trang 12 Sách bài tập Toán 9...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 9 Sách bài tập Toán...
- Giải bài 30, 31, 32 trang 9, 10 Sách bài tập Toán...
- Giải bài 12, 13, 14 trang 7 Sách bài tập Toán 9...
- Giải bài 18, 19, 20 trang 8 Sách bài tập Toán 9...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 5 Sách bài tập Toán 9 tập 1
- Giải bài 7, 8, 9 trang 6 Sách bài tập Toán 9 tập 1
- Giải bài 103, 104, 105 trang 22, 23 Sách bài tập...
- Giải bài 48, 49, 50, 51 trang 108 Sách bài tập...
Page 7
Câu 1.8. Trang 106 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH bằng 12cm. Hãy tính cạnh huyền BC nếu biết HB : HC = 1 : 3.
Gợi ý làm bài:
\[A{H^2} = HB.HC = {12^2} = 144\] mà HC = 3HB nên \[H{B^2} = {{{{12}^2}} \over 3} = 48\], suy ra \[HB = 4\sqrt 3 \], \[HC = 12\sqrt 3 \] và \[BC = HB + HC = 16\sqrt 3 \left[ {cm} \right]\].
Câu 1.9. Trang 106 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ C đến BM và H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ? Tại sao ?
a] ∆HCD đồng dạng với ∆ABM.
b] AH = 2HD.
Gợi ý làm bài:
a] Hai tam giác vuông HCD và DCM đồng dạng [ có cùng góc nhọn tại C] mà ∆DCM đồng dạng với ∆ABM [ vì là hai tam giác vuông có \[\widehat {DMC} = \widehat {AMB}\], vậy ∆HCD đồng dạng với ∆ABM. Khẳng định a] đúng.
b] Theo câu a], từ AB = 2AM, suy ra HC = 2HD. Ta có HC < MC [ H là chân đường cao hạ từ D của tam giác DCM vuông tại D] nên HC = 2HD < MC = AM < AH [ do M nằm giữa A và H], vì thế 2HD không thể bằng AH. Khẳng định b] là sai.
Câu 1.10. Trang 106 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm, cạnh bên AD bằng 4cm và hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh DC, CB và đường chéo DB.
Gợi ý làm bài:
Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại H. Trong tam giác vuông ABD, ta có:
\[{{HD} \over {HB}} = {{A{D^2}} \over {A{B^2}}} = {{{4^2}} \over {{6^2}}} = {4 \over 9}.\]
Dễ thấy ∆HDC đồng dạng với ∆HBA nên
\[{{DC} \over {AB}} = {{HD} \over {HB}} = {4 \over 9}\] suy ra \[DC = {4 \over 9}.6 = {8 \over 3}\left[ {cm} \right]\]
Kẻ đường cao CK của tam giác ABC, dễ thấy \[KB = AB-DC = 6 - {8 \over 3} = {{10} \over 3}.\]
Từ đó \[B{C^2} = K{B^2} + K{C^2} = K{B^2} + A{D^2} = {{100} \over 9} + 16 = {{244} \over 9}\] suy ra \[BC = {{\sqrt {244} } \over 3} = {{2\sqrt {61} } \over 3}\left[ {cm} \right]\]
Tam giác vuông ABD có \[D{B^2} = A{B^2} + A{D^2} = {6^2} + {4^2} = 52\], từ đó \[DB = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \left[ {cm} \right]\]
Giaibaitap.me
Page 8
Câu 21. Trang 106 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Vẽ một tam giác vuôg có một góc nhon bằng rồi viết các tỉ số lượng giác của góc .
Gợi ý làm bài:
Vẽ tam giác ABC vuông tại A có \[\widehat A = {90^0},\,\widehat B = {40^0}\]
Đặt \[AB = c,AC = b,BC = a.\]
Ta có:
\[\sin 40^\circ = \sin \widehat B = {{AC} \over {BC}} = {b \over a}\]
\[\cos 40^0 = \cos \widehat B = {{AB} \over {BC}} = {c \over a}\]
\[tg{40^0} = tg\widehat B = {{AC} \over {AB}} = {b \over c}\]
\[cotg40^\circ = cotg\widehat B = {{AB} \over {AC}} = {c \over b}\]
Câu 22. Trang 106 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng .
Gợi ý làm bài:
Giả sử tam giác ABC có \[\widehat A = 90^\circ \] .
Ta có: \[\sin \widehat B = {{AC} \over {BC}};\sin \widehat C = {{AB} \over {BC}}\]
Suy ra: \[{{\sin \widehat B} \over {\sin \widehat C}} = {{{{AC} \over {BC}}} \over {{{AB} \over {BC}}}} = {{AC} \over {BC}}.{{BC} \over {AB}} = {{AC} \over {AB}}.\]
Câu 23. Trang 106 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, \[\widehat B = 30^\circ ,BC = 8cm.\] Hãy tính cạnh AB [làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba], biết rằng \[\cos 30^\circ \approx 0,866.\]
Gợi ý làm bài:
Giả sử tam giác ABC có \[\widehat A = 90^\circ ,\widehat B = 30^\circ ,BC = 8cm\].
Ta có: \[\cos \widehat B = {{AB} \over {BC}}\]
Suy ra: \[AB = BC.\cos \widehat B = 8.\cos 30^\circ = 8.0,866 \approx 6,928\left[ {cm} \right]\]
Câu 24. Trang 106 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, \[AB = 6cm,\widehat B = \alpha \].
Biết \[tg\alpha = {5 \over {12}}.\] Hãy tính:
a] Cạnh AC;
b] Cạnh BC.
Gợi ý làm bài:
Giả sử tam giác ABC có \[\widehat A = 90^\circ ,\widehat B = \alpha .\]
a] Ta có: \[tg\alpha = tg\widehat B = {{AC} \over {AB}}\]
Suy ra: \[AC = AB.tg\widehat B = AB.tg\alpha = 6.{5 \over {12}} = 2,5\left[ {cm} \right]\]
b] Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {[2,5]^2} = 42,25\]
Suy ra: \[BC = \sqrt {42,25} = 6,5\left[ {cm} \right]\]
Giaibaitap.me
Page 9
Câu 25. Trang 107 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Tìm giá trị x [làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba] trong mỗi tam giác vuông với kích thước được chỉ ra trên hình 10, biết rằng:
\[tg47^\circ \approx 1,072;\cos 38^\circ \approx 0,788.\]
Gợi ý làm bài:
a] Hình a
Ta có: \[tg47^\circ = {{63} \over x}.\] Suy ra: \[x = {{63} \over {tg47^\circ }} \approx {{63} \over {1,072}} = 58,769\]
b] Hình b
Ta có: \[\cos 38^\circ = {{16} \over x}.\] Suy ra: \[x = {{16} \over {\cos 38^\circ }} \approx {{16} \over {0,788}} = 20,305\]
Câu 26. Trang 107 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, trong đó AB = 6cm, AC = 8cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C.
Gợi ý làm bài:
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\]
Suy ra: BC = 10 [cm]
Ta có:
\[\sin \widehat B = {{AC} \over {BC}} = {8 \over {10}} = 0,8\]
\[\cos \widehat B = {{AB} \over {BC}} = {6 \over {10}} = 0,6\]
\[tg\widehat B = {{AC} \over {AB}} = {8 \over 6} = {4 \over 3}\]
\[cotg\widehat C = tg\widehat B = {4 \over 3}\]
Câu 27. Trang 107 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Tính sinB, sinC trong mỗi trường hợp sau [làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư], biết rằng:
a] AB = 13; BH = 5.
b] BH = 3; CH = 4.
Gợi ý làm bài:
a] Xét tam giác vuông ABH, ta có: \[\cos \widehat B = {{BH} \over {AB}} = {5 \over {13}}\]
Tam giác ABC vuông tại A nên: \[\widehat B + \widehat C = 90^\circ \]
Suy ra: \[\sin \widehat C = c{\rm{os}}\widehat B = {5 \over {13}} = 0,3864.\]
Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có:
\[A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {13^2} - {5^2} = 144\]
Suy ra: AH = 12
Ta có: \[\sin B = {{AH} \over {AB}} = {{12} \over {13}} \approx 0,9231\]
b] Ta có:
\[BC = BH + HC = 3 + 4 = 7\]
Theo hệ thức liên hệ giữa góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[A{B^2} = BH.BC \Rightarrow AB = \sqrt {BH.BC} = \sqrt {3.7} = \sqrt {21} \]
\[\eqalign{& A{C^2} = CH.BC \cr
& \Rightarrow AC = \sqrt {CH.BC} = \sqrt {4.7} = \sqrt {28} = 2\sqrt 7 \cr} \]
Suy ra: \[\sin \widehat B = {{AC} \over {BC}} = {{2\sqrt 7 } \over 7} \approx 0,7559\]
\[\sin \widehat C = {{AB} \over {BC}} = {{\sqrt {21} } \over 7} \approx 0,6547\]
Câu 28. Trang 107 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác sau đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45° ;
\[\sin 75^\circ ,\cos 53^\circ ,\sin 47^\circ 20',,tg62^\circ ,\cot g82^\circ 45'.\]
Gợi ý làm bài:
Vì \[75^\circ + 15^\circ = 90^\circ \] nên \[\sin 75^\circ = \cos 15^\circ \]
Vì \[53^\circ + 37^\circ = 90^\circ \] nên \[\cos 53^\circ = \sin 37^\circ \]
Vì \[47^\circ 20' + 42^\circ 20' = 90^\circ \] nên \[\sin 47^\circ 20' = \cos 42^\circ 40'\]
Vì \[62^\circ + 28^\circ = 90^\circ \] nên \[tg62^\circ = \cot g28^\circ \]
Vì \[82^\circ 45' + 7^\circ 15' = 90^\circ \] nên \[\cot g82^\circ 45' = tg7^\circ 15'\]
Giaibaitap.me
Page 10
Câu 29. Trang 107 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Xét quan hệ giữa hai góc trong mỗi biểu thức rồi tính:
a] \[{{\sin 32^\circ } \over {\cos 58^\circ }};\] b] \[tg76^\circ - \cot g14^\circ \].
Gợi ý bài làm:
a] Ta có: \[32^\circ + 58^\circ = 90^\circ \]
Suy ra: \[\sin 32^\circ = \cos 58^\circ .\] Vậy \[{{\sin 32^\circ } \over {\cos 58^\circ }} = 1.\]
b] Ta có: \[76^\circ + 14^\circ = 90^\circ \]
Suy ra: \[tg76^\circ = \cot g14^\circ .\] Vậy \[tg76^\circ - \cot g14^\circ = 0.\]
Câu 30. Trang 107 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Đường cao MQ của tam giác vuông MNP chia cạnh huyền NP thành hai đoạn NQ = 3, PQ = 6. Hãy so sánh cotgN và cotgP. Tỉ số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần?
Gợi ý làm bài:
Tam giác MNQ vuông tại Q nên ta có:
\[\cot g\widehat N = {{NQ} \over {MQ}} = {3 \over {MQ}}\]
Tam giác MPQ vuông tại Q nên ta có:
\[\cot g\widehat P = {{PQ} \over {MQ}} = {6 \over {MQ}}\]
Ta có: \[{6 \over {MQ}} > {3 \over {MQ}}\] nên \[\cot g\widehat P > \cot g\widehat N\]
\[{{\cot g\widehat P} \over {\cot g\widehat N}} = {{{6 \over {MQ}}} \over {{3 \over {MQ}}}} = {6 \over {MQ}}.{{MQ} \over 3} = {6 \over 3} = 2\]
Vậy \[\cot g\widehat P = 2\cot g\widehat N.\]
Câu 31. Trang 108 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cạnh góc vuông kề với góc của một tam giác vuông bằng 3. Sử dụng bằng lượng giác của các góc đặc biệt, hãy tìm cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại [làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư].
Gợi ý làm bài:
Giả sử tam giác ABC có \[\widehat A = 90^\circ ,\widehat C = 60^\circ ,AC = 3\].
Ta có: \[BC = {{AC} \over {\cos 60^\circ }} = {3 \over {{1 \over 2}}} = 6\]
\[\sin 60^\circ = \sin \widehat C = {{AB} \over {BC}}\]
Suy ra: \[AB = BC.\sin 60^\circ = 6.{{\sqrt 3 } \over 2} = 3\sqrt 3 \]
Câu 32. Trang 108 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Đường cao BD của tam giác nhọn ABC bằng 6, đoạn thẳng AD = 5.
a] Tính diện tích tam giác ABD;
b] Tính AC, dùng các thông tin dưới đây nếu cần:
\[\sin C = {3 \over 5},\cos C = {4 \over 5},tgC = {3 \over 4}.\]
Gợi ý làm bài:
a] Vì tam giác ABD vuông tại D nên ta có:
\[{S_{\Delta ABD}} = {1 \over 2}.BD.AD = {1 \over 2}.6.5 = 15\] [đvdt]
b] Ta có: \[tg\widehat C = {{BD} \over {DC}}\]
Theo giả thiết: \[tg\widehat C = {3 \over 4}\]
Suy ra: \[{{BD} \over {DC}} = {3 \over 4} \Rightarrow DC = {4 \over 3}BD = {{4.6} \over 3} = 8\]
Suy ra: \[AC = AD + DC = 5 + 8 = 13.\]
Giaibaitap.me
Page 11
Câu 33. Trang 108 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho \[\cos \alpha = 0,8\]. Hãy tìm \[\sin \alpha ,tg\alpha ,\cot g\alpha \] [làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư].
Gợi ý làm bài:
Ta có: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]
Suy ra: \[{\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {[0,8]^2} = 1 - 0,64 = 0,36\]
Vì \[\sin \alpha > 0\] nên \[\sin \alpha = \sqrt {0,36} = 0,6\]
Suy ra: \[tg\alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = {{0,6} \over {0,8}} = {3 \over 4} = 0,75\]
\[\cot g\alpha = {1 \over {tg\alpha }} = {1 \over {0,75}} = 1,3333\]
Câu 34. Trang 108 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Hãy tìm \[\sin \alpha ,\cos \alpha \] [làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư] nếu biết:
a] \[tg\alpha = {1 \over 3}\] ; b] \[\cot g\alpha = {3 \over 4}.\]
Gợi ý làm bài:
a] Vì \[tg\alpha = {1 \over 3}\] nên là góc nhọn của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 1 và 3.
Suy ra cạnh huyền của tam giác vuông là: \[\sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} = 3,1623\]
Vậy: \[\sin \alpha = {1 \over {3,1623}} \approx 0,3162\]; \[\cos \alpha = {3 \over {3,1623}} \approx 0,9487\]
b] Vì \[\cot g = {3 \over 4}\] nên là góc nhọn của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 3 và 4.
Suy ra cạnh huyền của tam giác vuông là: \[\sqrt {{3^2} + {4^2}} = \sqrt {25} = 5\]
Vậy: \[\sin \alpha = {3 \over 5} \approx 0,6\]; \[\cos \alpha = {4 \over 5} \approx 0,8\]
Câu 35. Trang 108 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Dựng góc nhọn , biết rằng:
a] \[sin\alpha = 0,25\]; b] \[cos\alpha = 0,75\] ;
c] \[tg\alpha = 1\]; d] \[\cot g\alpha = 2\]
Gợi ý làm bài:
a] \[sin\alpha = 0,25\]
* Cách dựng: hình a
− Dựng góc vuông xOy.
− Trên tia Ox dựng đoạn OA bằng 1 đơn vị dài.
− Dựng cung tròn tâm A bán kính 4 đơn vị dài và cắt Oy tại B.
− Nối AB ta được \[\widehat {OBA} = \alpha \] cần dựng.
* Chứng minh: ta có: \[\sin \alpha = \sin \widehat {OBA} = {{OA} \over {AB}} = {1 \over 4} = 0,25\]
b] \[cos\alpha = 0,75\] ;
* Cách dựng:hình b:
− Dựng góc vuông xOy.
− Trên tia Ox dựng đoạn OA bằng 3 đơn vị dài.
− Dựng cung tròn tâm A bán kính 4 đơn vị dài và cắt Oy tại B.
− Nối AB ta được \[\widehat {OAB} = \alpha \] cần dựng.
* Chứng minh: Ta có: \[\cos \widehat {OAB} = {{OA} \over {AB}} = {3 \over 4} = 0,75\]
c] \[tg\alpha = 1\];
* Cách dựng: hình c
− Dựng góc vuông xOy
− Trên tia Ox dựng đoạn OA bằng 1 đơn vị dài
− Trên tia Oy dựng đoạn OB bằng 1 đơn vị dài
− Nối AB ta được \[\widehat {OAB} = \alpha \] cần dựng
* Chứng minh:Ta có: \[tg\alpha = tg\widehat {OAB} = {{OB} \over {OA}} = {1 \over 1} = 1\]
d] \[\cot g\alpha = 2\]
* Cách dựng: hình d
− Dựng góc vuông xOy
− Trên tia Ox dựng đoạn OA bằng 2 đơn vị dài
− Trên tia Oy dựng đoạn OB bằng 1 đơn vị dài
− Nối AB ta được \[\widehat {OAB} = \alpha \] cần dựng
* Chứng minh:
Ta có: \[\cot g\alpha = \sin \widehat {OAB} = {{OA} \over {OB}} = {2 \over 1} = 2\].
Giaibaitap.me
Page 12
- Giải bài 36, 37, 38 trang 10, 11 Sách bài tập...
- Giải bài 43, 44, 45 trang 12 Sách bài tập Toán 9...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 9 Sách bài tập Toán...
- Giải bài 30, 31, 32 trang 9, 10 Sách bài tập Toán...
- Giải bài 12, 13, 14 trang 7 Sách bài tập Toán 9...
- Giải bài 18, 19, 20 trang 8 Sách bài tập Toán 9...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 5 Sách bài tập Toán 9 tập 1
- Giải bài 7, 8, 9 trang 6 Sách bài tập Toán 9 tập 1
- Giải bài 103, 104, 105 trang 22, 23 Sách bài tập...
- Giải bài 48, 49, 50, 51 trang 108 Sách bài tập...
Page 13
Câu 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11 trang 109 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 1
Xét hình bs. 4. Tìm đẳng thức đúng
Câu 2.1
[A] \[\sin \alpha = {a \over b}\]; [B] \[sin\alpha = {b \over c}\];
[C] \[\sin \alpha = {{b'} \over b}\]; [D] \[\sin \alpha = {h \over a}.\]
Câu 2.2
[A] \[cos\alpha = {a \over b};\] [B] \[cos\alpha = {a \over c}\];
[C] \[cos\alpha = {b \over c}\]; [D] \[cos\alpha = {b \over {b'}}.\]
Câu 2.3
[A] \[tg\alpha = {b \over a}\]; [B] \[tg\alpha = {b \over c}\] ;
[C] \[tg\alpha = {b \over h}\]; [D] \[tg\alpha = {h \over {b'}}\].
Câu 2.4
[A] \[\cot g\alpha = {b \over a}\]; [B] \[\cot g\alpha = {b \over c}\];
[C] \[\cot g\alpha = {a \over c}\]; [D] \[\cot g\alpha = {h \over b}.\]
Câu 2.5
[A] \[\sin \alpha = \sin \beta \]; [B] \[\sin \alpha = \cos \beta\];
[C] \[\sin \alpha = tg\beta \]; [D] \[\sin \alpha = {\mathop{\rm cotg}\nolimits} \beta \].
Câu 2.6
[A] \[\cos \alpha = \cos \beta \]; [B] \[\cos \alpha = tg\beta \];
[C] \[\cos \alpha = {\mathop{\rm cotg}\nolimits} \beta \]; [D] \[\cos \alpha = \sin \beta \].
Câu 2.7
[A] \[tg\alpha = tg\beta \]; [B] \[tg\alpha = cotg\beta \];
[C] \[tg\alpha = \sin \beta \]; [D] \[tg\alpha = \cos \beta \].
Câu 2.8
[A] \[\cot g\alpha = tg\beta \]; [B] \[\cot g\alpha = cotg\beta \];
[C] \[\cot g\alpha = \cos \beta \]; [D] \[\cot g\alpha = \sin \beta \].
Câu 2.9
[A] cos2∝ + sin2β = 1 ; [B] sin2∝ + cos2β = 1 ;
[C]sin2∝ + cos2= 1 ; [D] cos2∝ + cos2β = 2.
Câu 2.10
[A] tg∝ = sin∝ + cos∝ ; [B] tg∝ = sin∝ - cos∝ ;
[C] tg∝ = sin∝ .cos∝ ; [D] tg∝ = \[{{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}.\]
Câu 2.11. Trang 110 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
[A] cotg∝ = 1 + tg∝ ; [B] cotg∝ = 1 − tg∝ ;
[C]cotg∝ = 1.tg∝ ; [D] cotg∝ = \[{1 \over {tg\alpha }}.\]
Gợi ý làm bài:
| 2.1 | 2.2 | 2.3 | 2.4 | 2.5 | 2.6 | 2.7 | 2.8 | 2.9 | 2.10 | 2.11 |
| D | C | D | A | B | D | B | A | C | D | D |
Giaibaitap.me
Page 14
Câu 2.12. Trang 110 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho \[\sin \alpha = {1 \over 2}.\] Hãy tìm cosα, tgα, cotgα [ 0º NM [4]
Từ [1], [2], [3] và [4] suy ra: \[tg\widehat {MBN} < tg\widehat {LAN}\]
Suy ra: \[\widehat {MBN} < tg\widehat {LAN}\] [ vì \[\alpha \] tăng thì tg\[\alpha \] tăng].
Sachbaiatp.com
Câu 45. Trang 112 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Không dùng bảng lượng giác và máy tính bỏ túi, hãy so sánh:
a] \[\sin 25^\circ \] và \[\sin 70^\circ \]; b] \[\cos 40^\circ \] và \[\cos 75^\circ \] ;
c] \[\sin 38^\circ \] và \[\cos 38^\circ \] ; d] \[\sin 50^\circ \] và \[\cos 50^\circ \].
Gợi ý làm bài:
a] Với \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \] ta có \[\alpha\] tăng thì sin\[\alpha\ tăng
Ta có: \[25^\circ < 75^\circ \], suy ra: \[\sin 25^\circ < \sin 75^\circ \]
b] Với \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \] ta có \[\alpha\] tăng thì sin\[\alpha\] giảm
Ta có: \[40^\circ < 75^\circ \], suy ra: \[{\rm{cos40}}^\circ {\rm{ > cos}}75^\circ \]
c] Với \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \] ta có \[\alpha\] tăng thì sin\[\alpha\] tăng
Ta có: \[38^\circ + 52^\circ = 90^\circ \], suy ra: \[\cos 38^\circ = \sin 52^\circ \]
Vì \[38^\circ < 52^\circ \] nên \[\sin 38^\circ < \sin 52^\circ \] hay \[\sin 38^\circ < \cos 38^\circ \]
d] Với \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \] ta có \[\alpha\] tăng thì cos\[\alpha\] giảm
Ta có: \[40^\circ + 50^\circ = 90^\circ ,\] suy ra: \[\sin 50^\circ = \cos 40^\circ \]
Vì \[40^\circ < 50^\circ \] nên \[\cos 40^\circ > \cos 50^\circ \] hay \[\sin 50^\circ > \cos 50^\circ \]
Câu 46. Trang 112 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Không dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi,hãy so sánh:
a] \[tg50^\circ 28'\] và \[tg63^\circ \]; b] \[\cot g14^\circ \] và \[\cot g35^\circ 12'\];
c] \[tg27^\circ \] và \[\cot g27^\circ \]; d] \[tg65^\circ \] và \[\cot g65^\circ \].
Gợi ý làm bài:
a] Với \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \] ta có \[\alpha \] tăng thì tg\[\alpha \] tăng
Ta có: \[50^\circ 28' < 63^\circ ,\] suy ra: \[tg50^\circ 28' < tg63^\circ \]
b] Với \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \] ta có \[\alpha \] tăng thì cotg\[\alpha \] giảm
Ta có: \[14^\circ < 35^\circ 12',\] suy ra: cotg14°> cotg35°12’
c] Với \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \] ta có \[\alpha \] tăng thì tg\[\alpha \] tăng
Ta có: \[27^\circ + 63^\circ = 90^\circ ,\] suy ra: \[\cot g27^\circ = tg63^\circ \]
Vì \[27^\circ < 63^\circ \] nên \[tg27^\circ < tg63^\circ \] hay \[tg27^\circ < \cot g27^\circ \]
d] Với \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \] ta có \[\alpha \] tăng thì cotg\[\alpha \] giảm
Ta có: \[65^\circ + 25^\circ = 90^\circ \] nên tg65° =cotg25°
Vì 25 < 65 nên cotg25 > cotg65 hay tg65° > cotg65°.
Giaibaitap.me
Page 19
Câu 47. Trang 112 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho x là một góc nhọn, biểu thức sau đây có giá trị âm hay dương? Vì sao?
a] \[tg28^\circ \] và \[\sin 28^\circ \]; b] \[\cot g42^\circ \] và \[\cos 42^\circ \];
c] \[\cot g73^\circ \] và \[\sin 17^\circ \]; d] \[tg32^\circ \] và \[\cos 58^\circ \].
Gợi ý làm bài:
a] Ta có: \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \] với thì sinx < 1, suy ra \[{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 1 < 0\]
b] Ta có: \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \] với thì cosx < 1, suy ra \[1 - \cos x > 0\]
c] Ta có:
* Nếu x = 45° thì sinx =cosx, suy ra: \[{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x = 0\]
* Nếu x < 45° thì \[\cos x = \sin [90^\circ - x]\]
Vì x < 45° nên \[90^\circ - x > 45^\circ \], suy ra: \[{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} < \sin [90^\circ - x]\]
Vậy \[{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x < 0\]
* Nếu x > 45° thì \[\cos x = \sin [90^\circ - x]\]
Vì x > 45° nên \[90^\circ - x < 45^\circ \], suy ra: \[{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} > \sin [90^\circ - x]\]
Vậy \[{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - c{\rm{osx > 0}}\].
d] Ta có:
* Nếu x = 45° thì tgx = cotgx, suy ra: tgx = cotgx = 0
* Nếu x < 45° thì \[\cot gx = tg[90^\circ - x]\]
Vì x > 45° nên \[90^\circ - x < 45^\circ \], suy ra: \[tgx > tg[90^\circ - x]\]
Vậy tgx – cotgx >0.
Câu 48. Trang 112 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
a. \[tg28^\circ \] và sin28° b. cotg42° và cos42°
c. cotg73° và sin17° d. tg32° và cos58°
Gợi ý làm bài:
a] \[tg28^\circ = {{\sin 28^\circ } \over {\cos 28^\circ }} = \sin 28^\circ .{1 \over {\cos 28^\circ }}\] [1]
Vì 0 < cos28° < 1 nên \[{1 \over {\cos 28^\circ }} > 1 \Rightarrow \sin 28^\circ .{1 \over {\cos 28^\circ }} > \sin 28^\circ \] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: tg28° > sin28°
b] Ta có: \[\cot g42^\circ = {{\cos 42^\circ } \over {\sin 42^\circ }} = c{\rm{os42}}^\circ .{1 \over {\sin 42^\circ }}\] [1]
Vì 0 < sin42° < 1 nên \[{1 \over {\sin 42^\circ }} > 1 \Rightarrow \cos 42^\circ .{1 \over {\sin 42^\circ }} > \cos 42^\circ \] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: cotg42° > cos42°
c] Ta có: 17° +73° =90° [1]
\[\cot g73^\circ = {{\cos 73^\circ } \over {\sin 73^\circ }} = \cos 73^\circ .{1 \over {\sin 73^\circ }}\] [2]
Vì 0 c{\rm{os73}}^\circ \] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: cotg73° > sin17°
d] Ta có: 32° +58° = 90° [1]
\[tg32^\circ = {{\sin 32^\circ } \over {\cos 32^\circ }} = \sin 32^\circ .{1 \over {\cos 32^\circ }}\] [2]
Vì 0 < cos32° < 1 nên \[{1 \over {{\rm{cos32}}^\circ }} > 1 \Rightarrow \sin 32^\circ .{1 \over {{\rm{cos32}}^\circ }} > \sin 32^\circ \] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: tg32° > cos58°
Câu 49. Trang 112 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Tam giác ABC vuông tại A, có \[AC = {1 \over 2}BC\]. Tính :
\[\sin B,\cos B,tgB,\cot gB.\]
Gợi ý làm bài:
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\]
\[\eqalign{& \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} \cr & = B{C^2} - {{B{C^2}} \over 4} = {{3B{C^2}} \over 4} \cr
& \Rightarrow AB = {{BC\sqrt 3 } \over 2} \cr} \]
Vậy: \[\sin \widehat B = {{AC} \over {BC}} = {{{1 \over 2}BC} \over {BC}} = {1 \over 2}\]
\[{\rm{cos}}\widehat B = {{AB} \over {BC}} = {{{{\sqrt 3 } \over 2}BC} \over {BC}} = {{\sqrt 3 } \over 2}\]
\[tg\widehat B = {{AC} \over {AB}} = {{{1 \over 2}BC} \over {{{\sqrt 3 } \over 2}BC}} = {{\sqrt 3 } \over 3}\]
\[\cot g\widehat B = {1 \over {tgB}} = {1 \over {{{\sqrt 3 } \over 3}}} = \sqrt 3 \]
Giaibaitap.me
Page 20
- Giải bài 36, 37, 38 trang 10, 11 Sách bài tập...
- Giải bài 43, 44, 45 trang 12 Sách bài tập Toán 9...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 9 Sách bài tập Toán...
- Giải bài 30, 31, 32 trang 9, 10 Sách bài tập Toán...
- Giải bài 12, 13, 14 trang 7 Sách bài tập Toán 9...
- Giải bài 18, 19, 20 trang 8 Sách bài tập Toán 9...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 5 Sách bài tập Toán 9 tập 1
- Giải bài 7, 8, 9 trang 6 Sách bài tập Toán 9 tập 1
- Giải bài 103, 104, 105 trang 22, 23 Sách bài tập...
- Giải bài 48, 49, 50, 51 trang 108 Sách bài tập...
Page 21
Câu 3.2. Trang 112 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Không tính giá trị cụ thể, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
a] sin20º, cos20º, sin55º, cos40º, tg70º.
b] tg70º, cotg60º, cotg65º, tg50º, sin25º.
Gợi ý làm bài:
a] Để ý rằng với các góc nhọn, khi góc lớn lên thì sin của nó lớn lên và chú ý rằng
cos20º = sin70º, cos40º = sin50º và sinα < tgα nên từ:
sin20º < sin50º [= cos40º] < sin55º < sin70º [=cos20º] < tg70º
suy ra sin20º < cos40º < sin55º < cos20º < tg70º.
b] Để ý rằng với các góc nhọn, khi góc lớn lên thì tg của góc đó lớn lên và chú ý rằng cotg60º= tg30º, cotg65º = tg25º và do sinα < tgα nên từ:
sin25º < tg25º [ = cotg65º] < tg30º [ = cotg60º] < tg50º < tg70º
suy ra sin25º < cotg65º < cotg60º < tg50º < tg70º.
Câu 3.3. Trang 113 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng b, góc đối diện với nó bằng β.
a] Hãy biểu thị cạnh góc vuông kia, góc đối diện với cạnh này và cạnh huyền qua b và β.
b] Hãy tìm các giá trị của chúng khi b = 10cm, β =50º [ làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba].
Gợi ý làm bài:
Trong tam giác ABC vuông tại A, cạnh AC = b, \[\widehat {ABC} = \beta \] thì:
a] \[AB = c = {b \over {tg\beta }} = b\cot g\beta \],
\[\widehat {ACB} = 90^\circ - \beta ,BC = a = {b \over {\sin \beta }}.\]
b] Khi b = 10 [cm], β = 50º thì
\[c = {{10} \over {tg50^\circ }} \approx 8,391[cm],\] \[\widehat {ACB} = 40^\circ ,a = {{10} \over {\sin 50^\circ }} \approx 13,054[cm].\]
Câu 3.4. Trang 113 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng b, góc nhọn kề với nó bằng α.
a]Hãy biểu thị cạnh góc vuông kia, góc nhọn kề với cạnh này và cạnh huyền đi qua b và α.
b] Hãy tìm các giá trị của chúng khi b = 12cm, α = 42º [ làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba].
Gợi ý làm bài:
Trong tam giác ABC vuông tại A, cạnh AC = b, \[\widehat {ACB} = \alpha \] thì:
a] AB = c = btgα, \[\widehat {ABC} = 90^\circ - \alpha ,BC = a = {b \over {\cos \alpha }}.\]
b] Khi b = 12 [cm], α = 42º thì
\[c = 12tg42^\circ \approx 10,805[cm]\],
\[\widehat {ABC} = 48^\circ ,a = {{12} \over {\cos 42^\circ }} \approx 16,148[cm].\]
Giaibaitap.me
Page 22
Câu 52. Trang 113 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Các cạnh của một tam giác có độ dài 4cm, 6cm và 6cm. Hãy tính góc nhỏ nhất của tam giác đó.
Gợi ý làm bài:
Vì các cạnh của tam giác lần lượt là 4cm, 6cm và 6cm nên tam giác đó là tam giác cân. Góc nhỏ nhất của tam giác là góc đối diện với cạnh 4cm.
Kẻ đường cao từ đỉnh của góc nhỏ nhất. Đường cao chia cạnh đáy thành hai phần bằng nhau mỗi phần 2cm.
Ta có: \[\cos \beta = {2 \over 6} = {1 \over 3} \Rightarrow \beta \approx 70^\circ 32'\]
Suy ra: \[\alpha = 180^\circ - [\beta + \beta ] = 180^\circ - 2.70^\circ 32' = 38^\circ 56'\]
Vậy góc nhỏ nhất của tam giác bằng \[38^\circ 56'\].
Câu 53. Trang 113 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Tam giác ABC vuông tại A có AB = 21cm, \[\widehat C = 40^\circ \]. Hãy tính các độ dài:
a] AC ; b] BC ; c] Phân giác BD.
Gợi ý làm bài:
a] Ta có: \[AC = AB.\cot g\widehat C = 21.\cot g40^\circ \approx 25,0268\left[ {cm} \right]\]
b] Ta có: \[BC = {{AC} \over {\sin \widehat C}} = {{21} \over {\sin 40^\circ }} \approx 32,6702\left[ {cm} \right]\]
c] Vì \[\Delta ABC\] vuông tại A nên \[\widehat B + \widehat C = 90^\circ \]
Suy ra: \[\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \]
Vì BD là phân giác của B nên:
\[\widehat {ABD} = {1 \over 2}\widehat B = {1 \over 2}.50^\circ = 25^\circ \]
Trong tam giác vuông ABD, ta có:
\[BD = {{AB} \over {{\rm{cos}}\widehat {ABD}}} = {{21} \over {\cos 25^\circ }} \approx 23,1709\left[ {cm} \right]\]
Câu 54. Trang 113 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho hình:
Biết:
AB = AC = 8cm, CD = 6cm, \[\widehat {BAC} = 34^\circ \] và \[\widehat {CAD} = 42^\circ .\] Tính
a] Độ dài cạnh BC;
b] \[\widehat {ADC}\];
c] Khoảng cách từ điểm B đến cạnh AD.
Gợi ý làm bài:
a] Kẻ \[AI \bot BC\]
Vì \[\Delta ABC\] cân tại A nên:
\[BI = CI = {1 \over 2}BC\]
và \[\widehat {BAI} = {1 \over 2}\widehat {BAC} = {1 \over 2}.34^\circ = 17^\circ \]
Trong tam giác vuông AIB, ta có:
\[BI = AB.\sin \widehat {BAI} = 8.\sin 17^\circ \approx 2,339\left[ {cm} \right]\]
\[BC = 2.BI = 2.2,339 = 4,678\left[ {cm} \right]\]
b] Kẻ \[CE \bot AD\] \[\left[ {E \in AD} \right]\]
Trong tam giác vuông CEA, ta có:
\[CE = AC.\sin \widehat {CAE} = 8.\sin 42^\circ \approx 5,353\left[ {cm} \right]\]
Trong tam giác vuông CED, ta có:
\[\sin \widehat {ACD} = {{CE} \over {CD}} = {{5,353} \over 6} \approx 0,8922 \Rightarrow \widehat {ADC} \approx 63^\circ 9'\]
c] Kẻ \[BK \bot AD\] \[\left[ {K \in AD} \right]\]
Trong tam giác vuông ABK, ta có:
\[BK = AB.\sin \widehat {BAK} = 8.\sin 75^\circ \approx 7,727\left[ {cm} \right]\]
Câu 55. Trang 114 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC trong đó AB = 5cm, AC = 8cm, \[\widehat {BAC} = 20^\circ \] . Tính diện tích tam giác ABC, có thể dùng các thông tin dưới đây nếu cần:
\[\sin 20^\circ \approx 0,3420,\] \[cos20^\circ \approx 0,9397,\] \[tg20^\circ \approx 0,3640.\]
Gợi ý làm bài:
Kẻ \[BH \bot AC\].
Trong tam giác vuông ABH, ta có:
\[BH = AB.\sin \widehat A = 5.\sin 20^\circ \approx 1,701\left[ {cm} \right]\]
Ta có: \[{S_{\Delta ABC}} = {1 \over 2}BH.AC = {1 \over 2}.8.1,7101 = 6,8404\left[ {c{m^2}} \right]\]
Giaibaitap.me
Page 23
Câu 56. Trang 114 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Từ đỉnh một ngọn đèn biển cao 38m so với mặt nước biển, người ta nhìn thấy một hòn đảo dưới gốc 30° so với đường nằm ngang chân đèn. Hỏi khoảng cách từ đảo đến chân đèn [ở mực nước biển] bằng bao nhiêu?
Gợi ý làm bài:
Khoảng cách từ đảo đến chân cột đèn biển là cạnh kề với góc 30° , chiều cao của cột đèn biển là cạnh đối diện với góc 30° .
Vậy khoảng cách từ đảo đến chân đèn là:
\[38.\cot g30^\circ \approx 65,818\left[ {cm} \right]\]
Câu 57.trang 114 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Trong tam giác ABC có \[AB = 11cm,\widehat {ABC} = 38^\circ ,\widehat {ACB} = 30^\circ \]. N là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Hãy tính AN, AC.
Gợi ý làm bài:
Trong tam giác vuông ABN, ta có:
\[AN = AB.\sin \widehat B = 11.\sin 38^\circ \approx 6,772\left[ {cm} \right]\]
Trong tam giác vuông ACN, ta có:
\[AC = {{AN} \over {\sin \widehat C}} \approx {{6,772} \over {\sin 30^\circ }} = 13,544\left[ {cm} \right]\]
Câu 58.trang 114 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Để nhìn thấy đỉnh A của một vách đá dựng đứng, người ta đã đứng tại điểm P cách chân vách đá một khoảng 45m và nhìn lên một góc 25° so với đường nằm ngang [góc nhìn lên này được gọi là góc “nâng”]. Hãy tính độ cao của vách đá.
Gợi ý làm bài:
Chiều cao vách đá là cạnh góc vuông đối diện với góc 25° . Khi đó chiều cao của vách đá là:
\[45.tg25^\circ \approx 20,984\left[ m \right]\]
Câu 59. Trang 114 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Tìm x và y trong các hình sau:
Gợi ý làm bài:
a] Hình a
Trong tam giác vuông ACP,ta có:
\[x = CP = AC.\sin \widehat A\]
\[ = 8.\sin 30^\circ = 8.{1 \over 2} = 4\]
Trong tam giác vuông BCP, ta có:
\[y = BC = {x \over {\cos \widehat {BCP}}} = {4 \over {{\rm{cos50}}^\circ }} \approx 6,223\]
b] Hình b
Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[x = AC = BC.\sin \widehat B\]
\[ = 7.\sin 40^\circ \approx 4,5\]
Trong tam giác vuông ACD, ta có:
\[y = AD = AC.\cot g\widehat D\]
\[ \approx 4,5\cot g60^\circ = 2,598\]
c] Hình c
Vì tứ giác CDPQ có hai góc vuông và hai cạnh CD = DP = 4 nên nó là hình vuông. Suy ra: CD = DP = PQ = QC = 4
Trong tam giác vuông BCQ, ta có:
\[x = BC = {{CQ} \over {{\rm{cos}}\widehat {BCQ}}} = {4 \over {{\rm{cos50}}^\circ }} \approx 6,223\]
\[BQ = BC.\sin \widehat {BCQ} \approx 6,223.\sin 50^\circ = 4,767\]
Trong tam giác vuông ADP, ta có:
\[AP = DP.\cot gA = 4.\cot g70^\circ \approx 1,456\]
Ta có:
\[y = AB = AP + PQ + QB\]
\[= 1,456 + 4 + 4,767 = 10,223\].
Giaibaitap.me
Page 24
Câu 60. Trang 115 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho hình:
Biết:
\[\widehat {QPT} = 18^\circ \],
\[\widehat {PTQ} = 150^\circ \],
QT = 8cm,
TR = 5cm.
Hãy tính:
a] PT;
b] Diện tích tam giác PQR.
Gợi ý làm bài:
a] Kẻ \[QS \bot PR\]
Ta có: \[\widehat {QTS} = 180^\circ - \widehat {QTP} = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \]
Trong tam giác vuông QST, ta có:
\[QS = QT.\sin \widehat {QTS} = 8.\sin 30^\circ = 4\left[ {cm} \right]\]
\[TS = QT.c{\rm{os}}\widehat {QTS} = 8.c{\rm{os30}}^\circ \approx 6,928\left[ {cm} \right]\]
Trong tam giác vuông QSP, ta có:
\[SP = QS.\cot g\widehat {QPS} = 4.\cot g18^\circ = 12,311\left[ {cm} \right]\]
\[PT = SP - TS \approx 12,311 - 6,928 = 5,383\left[ {cm} \right]\]
b] Ta có:
\[{S_{\Delta QPR}} = {1 \over 2}.QS.PR = {1 \over 2}.QS.[PT + TR]\]
\[ \approx {1 \over 2}.4.[5,383 + 5] = {1 \over 2}.10,383 = 20,766\left[ {c{m^2}} \right]\]
Câu 61. Trang 115 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho BCD là tam giác đều cạnh 5cm và góc DBA bằng 40°.
Hãy tính:
a] AD;
b] AB.
Gợi ý làm bài:
a] Kẻ \[DE \bot BC\]
Suy ra: \[BE = EC = {1 \over 2}BC = 2,5\left[ {cm} \right]\]
Trong tam giác vuông BDE, ta có:
\[DE = BD.\sin \widehat {DBE} = 2,5.\sin 60^\circ = {{5\sqrt 3 } \over 2}\left[ {cm} \right]\]
Trong tam giác vuông ADE, ta có:
\[AD = {{DE} \over {\sin \widehat A}} = {{{{5\sqrt 3 } \over 2}} \over {\sin 40^\circ }} \approx 6,736\left[ {cm} \right]\]
b] Trong tam giác vuông ADE, ta có:
\[AE = AD.\cot g\widehat A \approx 6,736.\cot g40^\circ = 5,16\left[ {cm} \right]\]
Ta có: \[AB = AE - BE = 5,16 - 2,5 = 2,66\left[ {cm} \right]\]
Câu 62 trang 115 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 25cm, HC = 64cm. Tính \[\widehat B,\widehat C\]
Gợi ý làm bài
Theo hệ thức liên hệ giữa đường có và hình chiếu, ta có:
\[A{H^2} = HB.HC\]
Suy ra:
\[AH = \sqrt {HB.HC} = \sqrt {25.64} = \sqrt {1600} = 40\] [cm]
Trong tam giác vuông ABH, ta có:
\[tgB = {{AH} \over {HB}} = {{40} \over {25}} = 1,6\]
Suy ra:
\[\widehat B \approx 57^\circ 59'\]
Vì tam giác ABC vuông nên \[\widehat B + \widehat C = 90^\circ \]
Suy ra:
\[\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 57^\circ 59' = 32^\circ 1'\]
Câu 63 trang 115 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC có BC = 12cm, \[\widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 40^\circ .\] Tính:
a] Đường cao CH và cạnh AC;
b] Diện tích tam giác ABC.
Gợi ý làm bài
a] Trong tam giác vuông BCH, ta có:
\[CH = BC.\sin \widehat B = 12.\sin 60^\circ \approx 10,392\] [cm]
Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[\widehat A = 180^\circ - [60^\circ + 40^\circ ] = 80^\circ \]
Trong tam giác vuông ACH, ta có:
\[AC = {{CH} \over {\sin \widehat A}} \approx {{10,392} \over {\sin 80^\circ }} = 10,552\] [cm]
b] Kẻ \[AK \bot BC\]
Trong tam giác vuông ACK, ta có:
\[AK = AC.\sin \widehat C \approx 10,552.\sin 40^\circ = 6,783\] [cm]
Vậy \[{S_{ABC}} = {1 \over 2}.AK.BC \approx {1 \over 2}.6,783.12 = 40,696\] [cm2]
Giaibaitap.me
Page 25
Câu 64 trang 115 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Tính diên tích của hình bình hành có hai cạnh 12cm và 15cm, góc tạo bởi hai cạnh ấy bằng 100\[^\circ \].
Gợi ý làm bài
Giả sử hình bình hành MNPQ có MN = 12cm, MQ = 15cm, \[\widehat {NMQ} = 110^\circ \]
Ta có: \[\widehat {NMQ} + \widehat {MNP} = 180^\circ \] [hai góc trong cùng phía]
Suy ra: \[\widehat {MNP} = 180^\circ - \widehat {NMQ}\]
\[ = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \]
Kẻ \[MR \bot NP\]
Trong tam giác vuông MNR, ta có:
\[\eqalign{& MR = MN.\sin \widehat {MNP} \cr
& = 12.\sin 70^\circ \approx 11,276\,[cm] \cr} \]
Vậy \[{S_{MNPQ}} = MN.NP \approx 11,276.15 = 169,14\] [cm2].
Câu 65 trang 115 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Tính diện tích hình thang cân, biết hai cạnh đáy là 12cm và 18cm, góc ở đáy bằng 75\[^\circ \]
Gợi ý làm bài
Giả sử hình thang cân ABCD có AB = 12cm, CD = 18cm, \[\widehat D = 75^\circ \]
Kẻ \[AH \bot CD,BK \bot CD\]
Vì tứ giác ABKH là hình chữ nhật nên: AB = HK = 12 [cm]
Ta có: tam giác ADH = tam giác BCK [cạnh huyền, góc nhọn]
Suy ra: DH = CK
Suy ra:
\[DH = {{CD - HK} \over 2} = {{18 - 12} \over 2} = 3\,[cm]\]
Trong tam giác vuông ADH, ta có:
\[AH = DH.tgD = 3.tg75^\circ \approx 11,196\,[cm]\]
Vậy:
\[\eqalign{& {S_{ABCD}} = {{AB + CD} \over 2}.AH \cr
& \approx {{12 + 18} \over 2}.11,196 = 167,94 \cr} \] [cm2].
Câu 66 trang 115 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Một cột cờ cao 3,5m có bóng trên mặt đất dài 4,8m. Hỏi góc giữa tia sáng mặt trời và bóng cột cờ là bao nhiêu?
Gợi ý làm bài
Chiều cao cột cờ là cạnh đối diên với góc giữa tia sang mặt trời và bóng cột cờ, chiều dài bóng là cạnh kề góc nhọn.
Ta có: \[tg\beta = {{3,5} \over {4,8}} = {{35} \over {48}}\]
Suy ra: \[\beta = 36^\circ 6'\]
Câu 67 trang 115 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Từ đỉnh một tòa nhà cao 60m, người ta nhìn thấy một chiếc ô tô đang đỗ dưới một góc 28\[^\circ \] so với đường nằm ngang. Hỏi chiếc ô tô đang đỗ cách tòa nhà đó bao nhiêu mét?
Gợi ý làm bài
Khoảng cách từ xe ô tô đến tòa nhà là cạnh kề với góc 28\[^\circ \], chiều cao tòa nhà là cạnh đối với góc nhọn.
Vậy chiếc ô tô đang đỗ cách tòa nhà:
\[60.\cot g28^\circ \approx 112,844\,[m]\]
Giaibaitap.me
Page 26
Câu 68 trang 116 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Một em học sinh đứng ở mặt đất cách tòa tháp ăng-ten 150m. Biết rằng em nhìn thấy đỉnh tháp ở góc 20\[^\circ \] so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất bằng 1,5m. Hãy tính chiều cao của tháp.
Gợi ý làm bài
Phần còn lại của cột ăng-ten là cạnh đối của góc 20\[^\circ \], khoảng cách từ chỗ em đứng đến chân cột ăng-ten là cạnh kề với góc 20\[^\circ \].
Phần còn lại của cột ăng-ten cao là:
\[150.tg20^\circ \approx 54,596\,[m]\]
Chiều cao của cột ăng-ten là:
54,596 + 1,5 = 56,096 [m].
Câu 69 trang 116 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Hai cột thẳng của hai trại A và B, của lớp 9A và lớp 9B, cách nhau 8m. Từ một cái cọc ở chính giữa hai cột, người ta đo được góc giữa các dây căng từ đỉnh hai cột của hai trại A và B đến cọc tạo với mặt đất lần lượt là 35\[^\circ \] và 30\[^\circ \] [h.23]. Hỏi trại nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu mét?
Gợi ý làm bài
Chiều cao trại A là cạnh góc vuông đối diện với góc nhọn 35\[^\circ \], chiều cao trại B là cạnh góc vuông đối diện với góc nhọn 30\[^\circ \], cạnh kề với hai góc nhọn bằng nhau bằng 4m.
Chiều cao trại A là: \[4.tg35^\circ \approx 2,801\,[m]\]
Chiều cao trại B là: \[4.tg30^\circ \approx 2,309\,[m]\]
Trại A cao hơn trại B là: \[2,801 - 2,309 = 0,492\,[m]\]
Câu 70 trang 116 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Một người trinh sát đứng cách một tòa nhà một khoảng 10m. Góc “nâng” từ chỗ anh ta đứng đến nóc nhà là 40\[^\circ \] [h.24].
a] Tính chiều cao của tòa nhà.
b] Nếu anh ta dịch chuyển sao cho góc “nâng” là 35\[^\circ \] thì anh ta cách tòa nhà bao nhiêu mét? Khi đó anh ta tiến lại gần hay ra xa ngôi nhà?
Gợi ý làm bài
a] Chiều cao tòa nhà là cạnh góc vuông đối diện với góc 40\[^\circ \] , khoảng cách từ chỗ người trinh sát đứng đến ngôi nhà là cạnh kề.
Chiều cao của tòa nhà là:
\[10.tg40^\circ \approx 8,391\,[m]\]
b] Nếu dịch chuyển sao cho góc “nâng” là 35\[^\circ \] thì anh ta cách tòa nhà:
\[8,391.\cot g35^\circ \approx 11,934\,[m]\]
Câu 71 trang 116 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Một chiếc diều ABCD có AB = BC, AD = DC. Biết \[AB = 12cm,\widehat {ADC} = 40^\circ \]
\[\widehat {ABC} = 90^\circ \] [h.25]
Hãy tính:
a] Chiều dài cạnh AD;
b] Diện tích của chiếc diều.
Gợi ý làm bài
a] Nối AC và kẻ \[DH \bot AC\]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
\[\eqalign{& A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \cr
& = {12^2} + {12^2} = 144 + 144 = 288 \cr} \]
Suy ra: \[AC = 12\sqrt 2 \,[cm]\]
Ta có: tam giác ACD cân tại D
\[DH \bot AC\]
Suy ra: \[HA = HC = {{AC} \over 2} = 6\sqrt 2 \,[cm]\]
\[\widehat {ADH} = {1 \over 2}\widehat {ADC} = 20^\circ \]
Trong tam giác vuông ADH, ta có:
\[\eqalign{& {\rm{AD = }}{{AH} \over {\sin \widehat {ADH}}} \cr
& = {{6\sqrt 2 } \over {\sin 20^\circ }} \approx 24,809\,[cm] \cr} \]
b] Ta có:
\[{S_{ABC}} = {1 \over 2}.AB.BC = {1 \over 2}.12.12 = 72\,\] [cm2]
Trong tam giác vuông ADH, ta có:
\[\eqalign{& DH = AH.\cot g\widehat {ADH} \cr
& = 6\sqrt 2 .\cot g20^\circ \approx 23,313\,[cm] \cr} \]
Mặt khác:
\[\eqalign{& {S_{ADC}} = {1 \over 2}.DH.AC \cr
& \approx {1 \over 2}.23,313.12\sqrt 2 = 197,817 \cr} \] [cm2]
Vậy Sdiều \[\eqalign{& = {S_{ABC}} + {S_{ADC}} \cr
& = 72 + 197,817 = 269,817 \cr} \] [cm2]
Giaibaitap.me