Bài 70 trang 141 sgk toán 7 tập 2

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Trên tia đối của \(BC\) lấy điểm \(M\), trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(BM = CN.\)

1. Chứng minh rằng tam giác \(AMN\) là tam giác cân.

2. Kẻ \(BH ⊥ AM\) (\(H \in AM\)), kẻ \(CK ⊥ AN\; (K \in AN).\) Chứng minh rằng \(BH = CK.\)

3. Chứng minh rằng \(AH = AK.\)

4. Gọi \(O\) là giao điểm của \(HB\) và \(KC.\) Tam giác \(OBC\) là tam giác gì? Vì sao?

5. Khi \(\widehat {BAC} = {60^o}\) và \(BM = CN = BC,\) hãy tính số đo các góc của tam giác \(AMN\) và xác định dạng của tam giác \(OBC.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh một tam giác là tam giác cân bằng cách chứng minh hai góc ở đáy bằng nhau.

- Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau bằng cách chứng minh các tam giác bằng nhau.

- Chứng minh tam giác là đều bằng cách chứng minh tam giác cân có một góc bằng \(60^o\).

Lời giải chi tiết

1. \(∆ABC\) cân tại \(A\), suy ra \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (1)

\(\widehat {{B_1}} + \widehat {ABM} = {180^0}\) (hai góc kề bù) (2)

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {ACN} = {180^0}\) (hai góc kề bù) (3)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)

Xét \(∆ABM \) và \(∆ACN \) có:

\(AB = AC\) (\(∆ABC\) cân tại \(A\))

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (chứng minh trên)

\(BM = CN\) (gt)

\( \Rightarrow ∆ABM = ∆ACN\) (c.g.c)

\(\Rightarrow \widehat M = \widehat N\) (hai góc tương ứng)

Vậy \(∆AMN\) là tam giác cân tại \(A.\)

2. Xét hai tam giác vuông \(BHM\) và \(CKN\) có :

\(BM = CN\) (gt)

\(\widehat M = \widehat N\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow ∆BHM = ∆CKN\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow BH = CK\) (hai cạnh tương ứng)

3. Theo câu a) ta có tam giác \(AMN\) cân ở \(A\) nên \(AM = AN\) (*)

Theo câu b ta có \(∆BHM = ∆CKN\) nên suy ra \(HM = KN\) (2*).

Từ (*) và (2*) ta có: \(AH = AM – HM = AN – KN = AK\)

Vậy \(AH = AK.\)

4. \(∆BHM = ∆CKN\) suy ra \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}\) (2 góc đối đỉnh); \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}\) (2 góc đối đỉnh)

Nên \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}\) .

Vậy \(∆OBC\) là tam giác cân tại \(O.\)

5. Khi \(\widehat {BAC} = {60^o}\) và \(BM = CN = BC\) hình được vẽ lại như sau:

+ Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat {BAC} = {60^o}\) nên là tam giác đều hay \(AB = BC = AC\).

Mặt khác: \(BM = CN = BC\) (gt)

Do đó: \(AB = BC = AC = BM = CN\).

Ta có: \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN} = {120^o}\) (cùng bù với góc \({60^o}\))

Vì \(AB = BM\) (chứng minh trên) nên \(∆ABM\) cân tại \(B\) suy ra \(\widehat M = \widehat {BAM} = \dfrac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2}= {30^o}\) .

Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = {30^o}\) .

Và \(\widehat {MAN} = {180^o} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right)\)

\( = {180^o} - {2.30^o} = {120^o}\)

Vậy \(∆AMN\) có \(\widehat M = \widehat N = {30^o};\widehat A = {120^o}.\)

+ \(∆BHM\) vuông tại \(H\) có: \(\widehat M = {30^o}\) nên \(\widehat {{B_2}} = {60^o}\) (trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau)

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.

1. Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân.

2. Kẻ BH ⊥ AM (H AM), kẻ CK ⊥ AN (K. Chứng minh rằng BH = CK.

3. Chứng minh rằng AH = AK.

4. Gọi O là giao điểm của HB và KC. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao ?

5. Khi \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và BM = CN = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định dạnh của tam giác OBC.

Hướng dẫn làm bài:

1. ∆ABC cân, suy ra \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (1)

\(\widehat {{B_1}} + \widehat {ABM} = {180^0}\) (hai góc kề bù) (2)

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {ACN} = {180^0}\) (hai góc kề bù) (3)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)

Xét ∆ABM và ∆CAN có:

+) AB = AC (gt)

+) \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (cmt)

+) BM = CN (gt)

\(\Rightarrow\) ∆ABM = ∆CAN (c-g-c)

Suy ra \(\widehat M = \widehat N\)

Vậy ∆AMN là tam giác cân ở A.

2. Hai tam giác vuông ∆BHM và ∆CKN có :

BM = CN (gt)

\(\widehat M = \widehat N\) (CM từ câu a)

Nên ∆BHM = ∆CHN (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra BH = CK.

3. Theo câu (a) ta có tam giác AMN cân ở A nên AM = AN (*)

Theo câu b ta có ∆BHM = ∆CKN nên suy ra HM = KN (**).

Do đó AH = AM – HM = AN – KN (theo (*) và (**)) = AK

Vậy AH = AK.

4. ∆BHM = ∆CKN suy ra \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\)

Mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}\) (đối đỉnh); \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}\) (đối đỉnh)

Nên \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}\) .

Vậy ∆OBC là tam giác cân.

5. Khi \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và BM = CN = BC hình được vẽ lại như sau:

+Tam giác cân ABC có \(\widehat {BAC} = {60^0}\) nên là tam giác đều hay AB = BC = AC

Mặt khác: BM = CN = BC (gt)

Do đó: AB = BC = AC = BM = CN

Ta có: \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN} = {120^0}\) (cùng bù với 600)

Vì AB = BM (cmt) nên ∆ABM cân ở B suy ra \(\widehat M = \widehat {BAM} = {{{{180}^0} - {{120}^0}} \over 2} = {30^0}\) .