Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A.\] Trên tia đối của \[BC\] lấy điểm \[M\], trên tia đối của tia \[CB\] lấy điểm \[N\] sao cho \[BM = CN.\]
- Chứng minh rằng tam giác \[AMN\] là tam giác cân.
- Kẻ \[BH ⊥ AM\] [\[H \in AM\]], kẻ \[CK ⊥ AN\; [K \in AN].\] Chứng minh rằng \[BH = CK.\]
- Chứng minh rằng \[AH = AK.\]
- Gọi \[O\] là giao điểm của \[HB\] và \[KC.\] Tam giác \[OBC\] là tam giác gì? Vì sao?
- Khi \[\widehat {BAC} = {60^o}\] và \[BM = CN = BC,\] hãy tính số đo các góc của tam giác \[AMN\] và xác định dạng của tam giác \[OBC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh một tam giác là tam giác cân bằng cách chứng minh hai góc ở đáy bằng nhau.
- Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau bằng cách chứng minh các tam giác bằng nhau.
- Chứng minh tam giác là đều bằng cách chứng minh tam giác cân có một góc bằng \[60^o\].
Lời giải chi tiết
- \[∆ABC\] cân tại \[A\], suy ra \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\] [1]
\[\widehat {{B_1}} + \widehat {ABM} = {180^0}\] [hai góc kề bù] [2]
\[\widehat {{C_1}} + \widehat {ACN} = {180^0}\] [hai góc kề bù] [3]
Từ [1], [2], [3] \[\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\]
Xét \[∆ABM \] và \[∆ACN \] có:
\[AB = AC\] [\[∆ABC\] cân tại \[A\]]
\[\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\] [chứng minh trên]
\[BM = CN\] [gt]
\[ \Rightarrow ∆ABM = ∆ACN\] [c.g.c]
\[\Rightarrow \widehat M = \widehat N\] [hai góc tương ứng]
Vậy \[∆AMN\] là tam giác cân tại \[A.\]
- Xét hai tam giác vuông \[BHM\] và \[CKN\] có :
\[BM = CN\] [gt]
\[\widehat M = \widehat N\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow ∆BHM = ∆CKN\] [cạnh huyền - góc nhọn]
\[\Rightarrow BH = CK\] [hai cạnh tương ứng]
- Theo câu a] ta có tam giác \[AMN\] cân ở \[A\] nên \[AM = AN\] [*]
Theo câu b ta có \[∆BHM = ∆CKN\] nên suy ra \[HM = KN\] [2*].
Từ [*] và [2*] ta có: \[AH = AM – HM = AN – KN = AK\]
Vậy \[AH = AK.\]
- \[∆BHM = ∆CKN\] suy ra \[\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\] [hai góc tương ứng]
Mà \[\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}\] [2 góc đối đỉnh]; \[\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}\] [2 góc đối đỉnh]
Nên \[\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}\] .
Vậy \[∆OBC\] là tam giác cân tại \[O.\]
- Khi \[\widehat {BAC} = {60^o}\] và \[BM = CN = BC\] hình được vẽ lại như sau:
+ Tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] có \[\widehat {BAC} = {60^o}\] nên là tam giác đều hay \[AB = BC = AC\].
Mặt khác: \[BM = CN = BC\] [gt]
Do đó: \[AB = BC = AC = BM = CN\].
Ta có: \[\widehat {ABM} = \widehat {ACN} = {120^o}\] [cùng bù với góc \[{60^o}\]]
Vì \[AB = BM\] [chứng minh trên] nên \[∆ABM\] cân tại \[B\] suy ra \[\widehat M = \widehat {BAM} = \dfrac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2}= {30^o}\] .
Suy ra \[\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = {30^o}\] .
Và \[\widehat {MAN} = {180^o} - \left[ {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right]\]
\[ = {180^o} - {2.30^o} = {120^o}\]
Vậy \[∆AMN\] có \[\widehat M = \widehat N = {30^o};\widehat A = {120^o}.\]
+ \[∆BHM\] vuông tại \[H\] có: \[\widehat M = {30^o}\] nên \[\widehat {{B_2}} = {60^o}\] [trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau]
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.
- Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân.
- Kẻ BH ⊥ AM [H AM], kẻ CK ⊥ AN [K. Chứng minh rằng BH = CK.
- Chứng minh rằng AH = AK.
- Gọi O là giao điểm của HB và KC. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao ?
- Khi \[\widehat {BAC} = {60^0}\] và BM = CN = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định dạnh của tam giác OBC.
Hướng dẫn làm bài:
- ∆ABC cân, suy ra \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\] [1]
\[\widehat {{B_1}} + \widehat {ABM} = {180^0}\] [hai góc kề bù] [2]
\[\widehat {{C_1}} + \widehat {ACN} = {180^0}\] [hai góc kề bù] [3]
Từ [1], [2], [3] \[\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\]
Xét ∆ABM và ∆CAN có:
+] AB = AC [gt]
+] \[\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\] [cmt]
+] BM = CN [gt]
\[\Rightarrow\] ∆ABM = ∆CAN [c-g-c]
Suy ra \[\widehat M = \widehat N\]
Vậy ∆AMN là tam giác cân ở A.
- Hai tam giác vuông ∆BHM và ∆CKN có :
BM = CN [gt]
\[\widehat M = \widehat N\] [CM từ câu a]
Nên ∆BHM = ∆CHN [cạnh huyền, góc nhọn]
Suy ra BH = CK.
- Theo câu [a] ta có tam giác AMN cân ở A nên AM = AN [*]
Theo câu b ta có ∆BHM = ∆CKN nên suy ra HM = KN [**].
Do đó AH = AM – HM = AN – KN [theo [*] và [**]] = AK
Vậy AH = AK.
- ∆BHM = ∆CKN suy ra \[\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\]
Mà \[\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}\] [đối đỉnh]; \[\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}\] [đối đỉnh]
Nên \[\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}\] .
Vậy ∆OBC là tam giác cân.
- Khi \[\widehat {BAC} = {60^0}\] và BM = CN = BC hình được vẽ lại như sau:
+Tam giác cân ABC có \[\widehat {BAC} = {60^0}\] nên là tam giác đều hay AB = BC = AC
Mặt khác: BM = CN = BC [gt]
Do đó: AB = BC = AC = BM = CN
Ta có: \[\widehat {ABM} = \widehat {ACN} = {120^0}\] [cùng bù với 600]
Vì AB = BM [cmt] nên ∆ABM cân ở B suy ra \[\widehat M = \widehat {BAM} = {{{{180}^0} - {{120}^0}} \over 2} = {30^0}\] .