- LG a
- LG b
- LG c
Chứng minh rằng:
LG a
Nếu vec tơ \[\overrightarrow u \] của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ \[\overrightarrow u \] là \[\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|\], và từ đó nếu các điểm \[{A_1},{A_2}\] theo thứ tự biểu diễn các số phức \[{z_1},{z_2}\] thì \[\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|;\]
Phương pháp giải:
Độ dài véc tơ\[\overrightarrow u = \left[ {a;b} \right]\] là \[\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
Mô đun số phức \[z = a + bi\] là \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
Lời giải chi tiết:
Nếu \[z=a+bi\;[a,b\in\mathbb R]\] thì \[|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
\[\overrightarrow u \] biểu diễn số phức z thì \[\overrightarrow u = \left[ {a;b} \right]\] và \[|\overrightarrow u | = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
Do đó\[\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|\].
Gọi A1là điểm biểu diễn số phức z1=a1+b1i=>A1[a1;b1]
A2là điểm biểu diễn số phức z2=a2+b2i=>A2[a2;b2]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \left[ {{a_2} - {a_1};{b_2} - {b_1}} \right]\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \sqrt {{{\left[ {{a_2} - {a_1}} \right]}^2} + {{\left[ {{b_2} - {b_1}} \right]}^2}} \\{z_2} - {z_1} = \left[ {{a_2} + {b_2}i} \right] - \left[ {{a_1} + {b_1}i} \right]\\ = \left[ {{a_2} - {a_1}} \right] + \left[ {{b_2} - {b_1}} \right]i\\ \Rightarrow \left| {{z_2} - {z_1}} \right| = \sqrt {{{\left[ {{a_2} - {a_1}} \right]}^2} + {{\left[ {{b_2} - {b_1}} \right]}^2}} \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \left| {{z_2} - {z_1}} \right|\end{array}\]
LG b
Với mọi số phức z, z', ta có \[\left| {zz'} \right| = \left| z \right|\left| {z'} \right|\] và khi \[z \ne 0\] thì \[\left| {{{z'} \over z}} \right| = {{|z'|} \over {|z|}};\]
Lời giải chi tiết:
\[z=a+bi;\;z'=a'+b'i\] thì \[|z{|^2} = {a^2} + {b^2};|z'{|^2} = a{'^2} + b{'^2}\] và \[z.z' = [aa' - bb'] + [ab' + a'b]i\] nên
\[\eqalign{
& |z.z'{|^2} = {[aa' - bb']^2} + {[ab' + a'b]^2} \cr &= \left[ {aa'} \right] + {\left[ {bb'} \right]^2} - 2aa'bb' \cr & + {\left[ {ab'} \right]^2} + {\left[ {a'b} \right]^2} + 2ab'a'b\cr &= {[aa']^2} + {[bb']^2} + {[ab']^2} + {[a'b]^2} \cr
&|z{|^2}.|z'{|^2} = \left[ {{a^2} + {b^2}} \right]\left[ {a{'^2} + b{'^2}} \right]\cr
&= {a^2}a{'^2} + {a^2}b{'^2} + a{'^2}{b^2} + {b^2}b{'^2}\cr &= {[aa']^2} + {[bb']^2} + {[ab']^2} + {[a'b]^2} \cr
& \Rightarrow |zz'|^2 = |z|^2.|z'|^2\cr &\Rightarrow |zz'| = |z|.|z'| \cr} \]
Khi\[z \ne 0\] ta có:
\[\left| {{{z'} \over z}} \right| \] \[= \left| {{{z'\overline z } \over {|z{|^2}}}} \right| \] \[= {1 \over {|z{|^2}}}|z'.\overline z | \] \[= {1 \over {|z{|^2}}}.\left| {z'} \right|.\left| {\overline z } \right| \] \[= {1 \over {|z{|^2}}}.|z'|.|z| \] \[ = {{|z'|} \over {|z|}}\]
LG c
Với mọi số phức z, z', ta có \[|z + z'| \le |z| + |z'|.\]
Phương pháp giải:
Đưa về véc tơ biểu diễn số phức và áp dụng bất đẳng thức véc tơ suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết:
Giả sử\[\overrightarrow u \] biểu diễn z và\[\overrightarrow {u'} \] biểu diễn z' thì\[\overrightarrow u+\overrightarrow {u'} \] biểu diễn z+z'. Ta có:
\[\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} } \right| = \left| {z + z'} \right|;\,\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|;\] \[\left| {\overrightarrow {u'} } \right| = \left| {z'} \right|\]
Mà \[\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow {u'} } \right|\] nên \[\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|\]
Dấu "=" xảy ra khi \[z=0\] hoặc \[z'=0\].
Cách khác:
Với mọi số phức z, z, ta có: z + z = [a +a] + [b +b]i
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {z + z'} \right| = \sqrt {{{\left[ {a + a'} \right]}^2} + {{\left[ {b + b'} \right]}^2}} \\\left| z \right| + \left| {z'} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} \end{array}\]
Theo yêu cầu bài toán ta cần chứng minh:
Theo Bu-nhi-cốp-xki ta có bất đẳng thức [*] đúng với a,b,a',b'R nên |z+z'| |z|+|z'| [đpcm]