Bài 9 trang 46 sgk toán đại 10 nâng cao năm 2024

Bài 9 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

1. \[y = {{3x + 1} \over {{x^2} - 9}}\]

1. \[y = {x \over {1 - {x^2}}} - \sqrt { - x} \]

1. \[y = {{x - 3\sqrt {2-x} } \over {\sqrt {x + 2} }}\]

1. \[y = {{\sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x} } \over {[x - 2][x - 3]}}\]

Giải

1. y xác định \[ \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}9{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} \ne {\rm{ }} \pm {\rm{ }}3\]

Vậy tập xác định \[D = \mathbb R\backslash \left\{ { \pm {\rm{ }}3} \right\}\]

b]

y xác định

\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 1 - {x^2} \ne 0 \hfill \cr - x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ne \pm 1 \hfill \cr x \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ne - 1 \hfill \cr x \le 0 \hfill \cr} \right.\]

Vậy \[D = [-∞;-1]\cup [-1; 0]\]

c]

y xác định

\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2 - x \ge 0 \hfill \cr x + 2 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le 2 \hfill \cr x > - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - 2 < x \le 2\]

Vậy \[D = [-2, 2]\]

d]

y xác định

\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 1 \ge 0 \hfill \cr 4 - x \ge 0 \hfill \cr [x - 2][x - 3] \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 1 \hfill \cr x \le 4 \hfill \cr x \ne 2;\,x \ne 3 \hfill \cr} \right. \]

\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 1 \le x \le 4 \hfill \cr x \ne 2;x \ne 3 \hfill \cr} \right.\]

Vậy \[ D = [1, 2] ∪[2, 3] ∪ [3, 4]\]

Bài 10 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao

Cho hàm số:

\[f[x] = \left\{ \matrix{ - 2[x - 2];\,\,\, - 1 \le x < 1 \hfill \cr \sqrt {{x^2} - 1} ;\,\,\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\]

1. Cho biết tập xác định của hàm số f

1. Tính \[f[-1]; f[0,5]; f[{{\sqrt 2 } \over 2} ]; f[1]; f[2]\]

Giải

1. Tập xác định của f là \[D = [-1, +∞]\]

1. Ta có:

\[f[-1] = -2[-1 – 2] = 6\]

\[f[0,5] = -2[0,5 – 2] = 3\]

\[f[{{\sqrt 2 } \over 2}] = - 2[{{\sqrt 2 } \over 2} - 2] = - \sqrt 2 + 4\]

\[f[1] = 0\]

\[f[2] =\sqrt 3\]

Bài 11 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao

Trong các điểm \[A[-2, 8]; B[4, 12]; C[2, 8]; D[5, 25 +\sqrt 2 ]\]

Điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số \[f[x] = {x^2} + \sqrt {x - 3} \] ? Vì sao?

Giải

Tập xác định của hàm số \[D = [3; +∞]\]

Ta có:

\[x = -2\] và \[x = 2\] không thuộc tập xác định nên điểm \[A[-2; 8]\] và \[C[2; 8]\] không thuộc đồ thị hàm số.

Ta có:

\[f[4] = {4^2} + \sqrt {4 - 3} = 17\] \[⇒ B[4; 12]\] không thuộc đồ thị hàm số

\[f[5] = {5^2} + \sqrt {5 - 3} = 25 + \sqrt 2 \] \[⇒ D[5; 25 +\sqrt 2 ]\] thuộc đồ thị hàm số

Bài 12 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau

1. \[y = {1 \over {x - 2}}\] trên mỗi khoảng \[[-∞; 2]\] và \[[2; +∞]\]

1. y = x2 – 6x + 5 trên mỗi khoảng \[[-∞; 3]\] và \[[3; +∞]\]

1. y = x2005 + 1 trênn khoảng \[[-∞; +∞]\]

Giải

1. \[f[x] = {1 \over {x - 2}}\]

+ Với x1; x2 ∈ \[[-∞; 2]\] và x1 ≠ x2; ta có:

\[f[{x_2}] - f[{x_1}] = {1 \over {{x_2} - 2}} - {1 \over {{x_1} - 2}} = {{{x_1} - 2 - {x_2} + 2} \over {[{x_1} - 2][{x_2} - 2]}}\]

\[= {{{x_1} - {x_2}} \over {[{x_1} - 2][{x_2} - 2]}}\]

\[ \Rightarrow {{f[{x_2}] - f[{x_1}]} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 < 0\] [vì x1 < 3; x2 < 3]

Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng các điểm S, trọng tâm tam giác ABC và tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thẳng hàng.

Đề bài

Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng các điểm S, trọng tâm tam giác ABC và tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Gọi J là trung điểm của AB và \[l \] là đường thẳng qua J vuông góc với mp[SAB] thì \[l\] là trục của tam giác SAB [mọi điểm trên \[l \] đều cách đều S, A, B].

Gọi I là giao điểm của \[l\] với mặt phẳng trung trực đoạn CS thì I cách đều bốn điểm S, A, B, C.

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC có tâm I và bán kính R = IA. Ta có:

\[{R^2} = I{A^2} = A{J^2} + I{J^2} \] \[= {\left[ {{{AB} \over 2}} \right]^2} + {\left[ {{{SC} \over 2}} \right]^2} \] \[ = \frac{1}{4}\left[ {A{B^2} + S{C^2}} \right] \] \[= \frac{1}{4}\left[ {S{A^2} + S{B^2} + A{C^2}} \right]\] \[= {1 \over 4}\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right]\]

\[ \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}\]

Diện tích mặt cầu là \[S = 4\pi {R^2} = \pi \left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right]\]

Vì \[SC // IJ\] nên các điểm S, C, I, J đồng phẳng.

Trong [SCIJ], gọi G là giao điểm của SI và CJ.

Ta có: \[{{GJ} \over {GC}} = {{IJ} \over {SC}} = {1 \over 2}\] nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Vậy S, G và tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thẳng hàng.

Loigiaihay.com

• Bài 10 trang 46 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Chứng minh rằng một hình trụ lăng trụ có mặt cầu cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng với đáy là đa giác nội tiếp đường tròn. b] Trong số các hình hộp nội tiếp mặt cầu cho trước, hình hộp nào có diện tích toàn phần lớn nhất?
• Bài 8 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a. a] Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b] Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt của hình tứ diện [nó được gọi là mặt cầu nội tiếp tứ diện]
• Bài 7 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. b] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh cùng bằng a. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ cùng thuộc một mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó.
• Bài 6 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Tìm tập hợp các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước. b] Chứng minh rằng nếu có mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của hình tứ diện ABCD
• Bài 5 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? a] Nếu hình đa diện nội tiếp mặt cầu thì mọi mặt của nó là đa giác nội tiếp đường tròn. b] Nếu tất cả các mặt của một hình đa diện nội tiếp đường tròn thì đa diện đó nội tiếp mặt cầu.

\>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

\>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.