Bài tập đại số tuyến tính có đáp án năm 2024

Mục lục

Lời nói đầu

Kí hiệu

Chương 1. ĐỊNH THỨC.

§1. Phép thế

§2. Định nghĩa và tính chất của định thức

§3. Khai triển định thức

§4. Phương pháp tính định thức

§5. Hệ phương trinh Cramer

Chương II. KHÔNG GIAN VECTƠ

§1. Định nghĩa và các tính chất đơn giản..

§2. Không gian con - Không gian thương

§3. Sự độc lập tuyến tính – Sự phụ thuộc tuyến tính.

§4. Cơ sở của không gian vectơ

§5. Số chiếu của không gian vecto.

§6. Toạ độ của một vectơ

§7. Hạng của hệ vectơ – Hạng của ma trận.

Chương III. ÁNH XẠ TUYỂN TÍNH

§1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính – Sự xác định một ánh xạ tuyến tính.

§2. Ảnh, hạt nhân của một ánh xạ tuyến tính

§3. Các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính

§4. Không gian đối ngẫu

Chương IV, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

§1. Hệ phương trình tuyến tính – Phương pháp Gauss.

§2. Điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm

§3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Chương V. MA TRẬN.

§1. Ma trận của một ảnh xa tuyến tính

§2. Các phép toàn trên các ma trận.

§3. Đại số các ma trận vuông cấp n Mat, (K)...

§4. Sự thay đổi của ma trận của một ánh xạ tuyến tính khi thay đổi cơ sở - Ma trận đồng dang.

§5. Vectơ riêng – Giá trị riêng

§6. Chéo hoà ma trận

Chương VI. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TOÀN PHƯƠNG

§1. Dạng tuyến tính và dạng song tuyến tính.

§2. Dạng toàn phương

§3. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.

§4. Không gian vecto Oclit.

§5. Sơ lược về không gian unita

Lời giải – hướng dẫn – trả lời

Dưới đây là tổng hợp các file tài liệu môn đại số các nhóm ngành chuẩn mà mình sưu tầm được. Ngoài ra các bạn chương trình elitech hay CTTT cũng có thể tham khảo nhé. Các bạn nhấn vào nút để tải file về nhé, File trên Scribd chỉ là để xem trước file.

1. Bài giảng Đại số tuyến tính

• Đề cương môn học đại số bạn có thể tải trực tiếp tại viện toán ứng dụng và tin học: http://sami.hust.edu.vn/de-cuong/
• Phần bài giảng đại số thì có 2 file một là file của thầy Diệu, 2 là slide bài giảng thầy Nguyễn Hải Sơn. Mình thấy bài giảng của thầy Diệu có vẻ được mọi người dùng nhiều hơn.

2. Tài liệu lý thuyết + Giải đề cương đại số(CLB HTHT)

Đề cương đại số này được biên soạn bởi CLB Hỗ trợ học tập Bách Khoa Hà Nội, các bạn tham khảo nhé. Bên cạnh đó trong thư mục cũng có tài liệu lý thuyết từng chương cho các bạn ôn những điểm trọng tâm nha

3. Đề trắc nghiệm giữa kỳ mẫu và đáp án

Đề được làm bởi câu lạc bộ Hỗ trợ học tập

4. Đề thi minh họa giữa kỳ – CLB HTHT

Dưới đây là đề thi minh họa giữa kỳ lần 2 của CLB Hỗ trợ học tập Bách Khoa biên soạn, bao gồm form thi thử, đáp án PDF và video chữa chi tiết.

Video live chữa chi tiêt

5. Đề thi thử cuối kỳ NN 1-2-2 – CTTT của CLB HTHT

Dưới đây là đề thi thử và đáp án chi tiết cuối kỳ môn Đại số cho các nhóm ngành 1 – 2 – 3 và chương trình tiên tiến do CLB Hỗ trợ học tập biên soạn. Các bạn tham khảo nhé.

Video chữa:

6. Tài liệu ôn thi cuối kỳ

Dưới đây là tổng hợp các tài liệu và đề thi dành cho ôn tập thi cuối kì môn đại số. Mình sẽ update thêm khi có tài liệu mới

7. Tài liệu ôn thi giữa kỳ (hình thức cũ)

Ở đây mình sẽ chia sẻ cho mọi bao gồm file ôn tập lẫn cả đề thi môn đại số tuyến tính. Chi tiết các bạn xem trong thư mục nhé.

• 1. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 1 Bài 1. Cho các ma trận: 2 4 6 7 1 2 1 34 , , 3 5 7 0 4 3 2 6 A B C                      Hãy thực hiện các phép tính sau: A B , 3A B , 2t t A B , t A B , . ,t A B . t A B C . ĐS: 14 14 5 28 16 23 42 34 9 t A B          , 6 34 . 2 1 t A B        , 62 0 . 0 62 t A B C        Bài 2. Cho hai ma trận: 1 3 2 2 1 1 3 0 2 A          và 2 6 5 1 4 3 3 9 7 B            . 1) Hãy tính các tích AB và BA . Từ đó hãy cho biết ma trận A có khả nghịch không? chỉ ra ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A . ĐS: AB I , BA I , trong đó I là ma trận đơn vị cấp 3. 2) Tìm ma trận X (nếu có) thỏa mãn: XA B . ĐS: 2 ...X B  Bài 3. Thực hiện các phép tính : 1) 4 2 1 3 3 1 2 0 1                ; 2) 3 1 3 1 2 2 0 0 1 1         ĐS: 14 10       ; 1 27 9 18 28 0 0 9 1          . Bài 4. Cho ma trận : 2 1 1 1 1 1 2 1 3 A           . Tính det( )A , det(5 )t A , 4 det( )A . ĐS: det 2A ; 3 det(5 ) 5 .2 250t A   ; 4 4 det( ) 2 16A   . Bài 5. Tính định thức của các ma trận sau: 1) 1 1 1 1 1 1 x x x          ; 2) 0 1 1 1 0 1 0 x x          ; 3) 1 1 2 1 3 2 1 a a          ; 4) 1 0 3 1 2 2 6 0 1 0 3 1 4 1 12 0              ; 5) 4 0 0 1 3 1 0 2 0 1 2 2 1 2 1 0             . ĐS: 1) 2 ( 2)( 1)x x  ; 2) 0 ; 3) 2 3 4 2a a  ; 4) 0 ; 5) -45
• 2. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 2 Bài 6. Tìm hạng của các ma trận sau: 2 7 3 1 6 3 5 2 2 4 9 4 1 7 2 A          ; 3 4 1 2 1 4 7 2 1 10 17 4 4 1 3 3 B             ; 0 1 0 1 0 1 3 1 3 1 3 5 3 5 3 7 9 7 9 7 C             . ĐS:   2r A  ;   3r B  ; ( ) 2r C  Bài 7. Cho ma trận: 1 2 1 0 1 1 1 3 A m          1) Tìm m để ma trận A khả nghịch. 2) Với 1m   , hãy tìm ma trận nghịch đảo của A bằng ba cách (cách 1: sử dụng ma trận phụ hợp; cách 2: sử dụng hệ phương trình tuyến tính, cách 3: sử dụng biến đổi sơ cấp). ĐS: 1) 1 2 m   ; 2) 1 4 5 3 1 2 1 1 1 1 A            Bài 8. Cho ma trận: 1 2 1 1 0 1 1 2 A m          1) Với giá trị nào của m thì hạng của ma trận A bằng 3? Với các giá trị m vừa tìm được thì ma trận A có khả nghịch không? 2) Với 1m   , hãy tìm ma trận nghịch đảo của A bằng hai cách (cách 1: sử dụng ma trận phụ hợp; cách 2: sử dụng hệ phương trình tuyến tính). ĐS: 1) Hạng của mt vuông A bằng cấp của mt khi và chỉ khi det( ) 0A  . ĐS: 3 5 m   2) 1 2 5 1 1 2.5 0.5 1 2 3 1 1 1.5 0.5 2 0 1 1 0 0.5 0.5 A                           Bài 9. Hãy tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau bằng hai cách (cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp; cách 2: sử dụng ma trận phụ hợp): 1) 1 2 ; 2 5 A        2) 0 2 1 3 4 2 1 1 1 B           ; 3) 2 3 ; 4 6 C        ĐS: 1 1 2 3 8 5 2 ; 1 1 3 . 2 1 1 2 6 A B               
• 3. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 3 Bài 10. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau 1) 2 2 2 3 3 2 3 2 1 x y z t x y z t x y z t                  ; 2) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 5 2 4 3 4 2 5 10 13 6 20 x x x x x x x x x x x x               ; ĐS: 1) 5 1 3 2 2 x z y z t z z            ; 2) 1 2 3 4 2 2 12 2 1 x x x x x          . Bài 11. 1) Với giá trị nào của m thì các hệ phương trình sau có nghiệm: a) 2 1 3 2 2 5 4 5 x y z t x y z t x y z mt                ; b) 10 6 3 2 1 2 5 2 x y z t x y mz t x y z mt               . HD: Biến đổi ma trận bổ sung của hệ pttt về dạng bậc thang. Hệ pttt có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( )bs r A r A ĐS: a) 4m  ; b) 3m  2) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất? Có vô số nghiệm? 3 2 0 2 0 2 0 4 0 x y t y z t x z t x y mz                 HD: det( ) 11 5A m  với A là ma trận hệ số của hệ pttt. Hệ vuông thuần nhất có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi det( ) 0A  . Hệ vuông thuần nhất có vô số nghiệm khi và chỉ khi det( ) 0A  Bài 12. Tìm tất cả các ma trận X (nếu có) thỏa mãn: 1) 2 1 2 1 1 3 1 3 X X             ; 2) 1 2 1 2 1 1 1 1 0 1 0 2 1 1 2 X               . ĐS: 1) Các ma trận X thỏa mãn pt có dạng: , , x y X x y y x y       ; 2) 3 7 2 1 1.5 0.5 X      
• 4. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 4 Bài 13. Trong không gian véctơ 3 cho tập hợp:   3 ; ; | 3 0W x y z x y z     a) Véctơ  1;2;3u  có thuộc W không? Chỉ ra một véctơ (khác véc tơ không) thuộc W . b) Chứng minh rằng W là một không gian véctơ con của 3 . c) Tìm một cơ sở, số chiều của không gian W . d) Chứng minh véctơ  1;2;5u  thuộc W và tìm tọa độ của u trong cơ sở của W tìm được ở câu hỏi trên. ĐS: a) không; VD:  1;1;2u W  c) Một cơ sở     1 23;1;0 ; 1;0;1u uS    ; dim 2W  d)  2;5Su  . Bài 14. Trong không gian véctơ 4 cho tập hợp:   4 2 0 ; ; ; | 0 x t V x y z t y z t             . a) Véctơ  1;2;5;4u  có thuộc V không? b) Chứng minh rằng V là một không gian véc tơ con của 4 . c) Tìm một cơ sở và tính số chiều của không gian V . ĐS: a) Không; c) Một cơ sở     1 22;1;1;0 ; 0;1;0;1u uS    ; dim 2V  . Bài 15. Trong không gian véctơ 4 cho tập hợp:   4 ; ; ; | 2 0V x y z t y t    . a) Chứng minh V là một không gian véctơ con của 4 . b) Tìm một cơ sở, số chiều của không gian V . c) Chứng minh véctơ  4;2; 1;1u    thuộc V và tìm tọa độ của u u trong cơ sở tìm được ở trên. ĐS: b) Một cơ sở       1 2 31;0;0;0 ; 0; 2;1;0 ; 0;0;0;1S u u u     ; dim 3V  . c)  4; 2;1Su    Bài 16. Các tập hợp sau có là không gian véctơ con của các không gian tương ứng không? a)   ; ; ; |2 3 1V x y z t x z   trong 4 . b)   ; ; | 2 0V x y z xy z   trong 3 . c)   2 3 0 ; ; ; | 0 x t V x y z t y t z              trong 4 . ĐS: a) không; b) không; c) không. Bài 17. Trong không gian véctơ 3 cho tập hợp:   3 2 0 ; ; | 0 x z V x y z x y z             . a) Chứng minh rằng V là không gian véctơ con của 3 .
• 5. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 5 b) Tìm một cơ sở và tính số chiều của không gian V . c) Chứng minh rằng véctơ 1 1 1; ; 2 2 u        thuộc V và tìm tọa độ của u trong cơ sở tìm được ở trên. ĐS: b) Một cơ sở   2;1;1S v  ; dim 1V  ; c)  2Su  Bài 18. Họ các véc tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: a)       1 2 31; 2;0;4 ; 3; 2;1,1 ; 2;2;1;3S u u u      trong 4 . b)       1 2 31; 2;0;4 ; 3; 2;1,1 ; 2;0;1; 3S u u u       trong 4 . c)         1 2 3 41;2;4 ; 3; 2;2 ; 1;0;3 ; 1;1;1U u u u u       trong 3 . ĐS: a) ĐLTT b) PTTT c) PTTT. Bài 19. 1) Chứng minh họ vectơ sau là một cơ sở của không gian vectơ 3 :       1 2 31;2;4 ; 3; 2;1 ; 2; 1;5v v vV        2) Họ vectơ sau đây có phải là một cơ sở của không gian vectơ 3 không?       1 2 32;3;4 ; 3; 2;5 ; 5;0;23u u uU       ĐS: 2) không Bài 20. Với giá trị nào của m thì họ vectơ sau đây độc lập tuyến tính? Phụ thuộc tuyến tính? a)       1 2 32;1;1; ; 2;1; 1, ; 10;5; 1;5V v m v m v m      trong 4 . b)       1 2 32;1;2 ; 2;1; 1 ; 1 ;2; 3u m u uU m       trong 3 . c)       1 2 3;2;1 ; 1; 2, ; 2;2;3u m u m uV      trong 3 . ĐS: a) PTTT khi 1 2 m   ; ĐLTT khi 1 2 m   b) PTTT khi 1 2 m   hoặc m=3; ĐLTT khi 1 2 m   và 3m  c) PTTT khi 1m   hoặc m=0; ĐLTT khi 1m   và 0m  Bài 21. Trong 3 , véctơ u sau đây có phải là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại không? Tại sao? Với        1 2 31;1;1 ; 0; 1;1 ; 2; 1;3 ; 2; 1;5u u u u        . ĐS: Có vì 1 22 3u uu   . Bài 22. Tìm điều kiện của m để véctơ u trong 3 sau đây là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại với        1 2 30;1; 1 ; 2;1;3 ; ;2; 1 ; 1; ;2u u u m u m       .
• 6. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 6 ĐS: Là THTT khi và chỉ khi 1 2 m   Bài 23. Trong không gian véctơ 2 cho hai tập hợp:     1 21; 1 ; 2;1u uU     và     1 23;1 ; 1; 1 .vV v   a) Chứng minh rằng U và V là hai cơ sở của 2 . b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ U sang V . c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ V sang U . d) Tìm tọa độ của vectơ  3; 1x   trong cơ sở U . e) Tìm vectơ y trong 2 có tọa độ trong cơ sở U là (4; 5)Uy   . f) Biết tọa độ của vectơ z trong cơ sở U là (7;2)Uz  , hãy tìm tọa độ của vectơ z trong cơ sở V . ĐS: b) 1 1 3 4 0 3 A             ; c) 3 0 4 1 1 4 B              ; d) 5 2 ; 3 3 Ux        ; e)  6; 9y    ; f) 3 13 ; 2 2 Vz        Bài 24. Trong không gian vectơ 3 cho hai tập hợp:       1 2 31;1; 1 ; 1;1;0 ; 2;1; 1u u uU       và       1 2 31;1;0 ; 1;0; 1 ; 1;1;1v v vV      . a) Chứng minh U và V là hai cơ sở của 3 . b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ U sang V . c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ V sang U . d) Tìm tọa độ của vectơ  2;3; 1x   trong cơ sở U . e) Tìm vectơ y trong 3 có tọa độ trong cơ sở U là  1;1; 1Uy   . f) Biết tọa độ của vectơ z trong cơ sở V là  1;0;2Vz  , hãy tìm tọa độ của vectơ z trong cơ sở U . ĐS: b) 0 0 1 1 1 2 0 1 0 A         ; c) 2 1 1 0 0 1 1 0 0 B           ; d)  2;2; 1Ux   ; e)  0;1;0y  ; f)  0;2; 1Uz   Bài 25. Tìm hạng của họ các véc tơ sau: a)         2 41 32;1;1 ; 2; 3;1 ; 1;0;1 ; 1; 3;2u u uU u        trong không gian vectơ 3 . b)       1 2 32;1;1 ; 2; 3;1 ; 4;0;1v v vV       trong không gian vectơ 3 .
• 7. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 7 c)       1 2 32;2;0;0; 1 ; 3; 3;1;5;2 ; 1; 1; 1;0;0wW w w       trong không gian vectơ 4 . ĐS: a) 2; b) 3; c) 3. Bài 26. Trong không gian véc tơ 4 hãy tìm hạng của họ các véc tơ sau tùy theo m :       1 2 32;1;1; ; 1;3; 1;2 ; 3;1; 3 ;0u m u u mU       ĐS: 1m  thì hạng của họ vectơ là 2; với 1m  thì hạng của họ vectơ là 3. Bài 27. Cho ánh xạ 3 2 :f  xác định bởi:    3 ; ; , ( ) ;u x y z f u x y y z      1. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính. 2. Tìm ker , Imf f và tính hạng của f . 3. Tìm ma trận của f trong cơ sở  1 2 3(1;1;0); (1;0;1); (1;1;1)U u u u    của 3 và cơ sở  1 2(1;1); (1;2)V v v   của 2 . ĐS:   ker ; ; |f u t t t t    ; 2 Im f  ;  ( ) dim Im 2r f f  ; 3 3 4 1 2 2 A         Bài 28. Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 :f  xác định bởi:    3 ; ; , ( ) 2 ;3 ;3 2u x y z f u x y y z x z       1. Tìm ker , Imf f và chỉ ra cho mỗi không gian này một cơ sở. 2. Tìm hạng của ánh xạ f . 3. Tìm ma trận A của ánh xạ f trong cơ sở  1 2 3(0;1;1); (1;0;1); (1;1;1)U u u u    của 3 . ĐS:     ker 2 ; ;3 | 2; 1;3f u t t t t      ;           Im 1;0;3 , 2;3;0 , 0;1; 2 1;0;3 , 0;1; 2f span    ; ( ) 2r f  ; 4 0 2 6 0 3 8 1 6 A            Bài 29. Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 :f  có ma trận là 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A          trong cơ sở chính tắc  1 2 3(1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)E e e e    của 3 . 1. Tìm công thức xác định ánh xạ tuyến tính f . 2. Tìm ma trận của ánh xạ f trong cơ sở  1 2 3(1;0;0); (1;0;1); (1;1;1)U u u u    của 3 . 3. Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận A . Ma trận A có chéo hóa được không ? nếu có hãy viết ma trận P làm chéo hóa A .
• 8. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 8 HD&ĐS: 1. Giả sử   3 ; ; ,u x y z  có 1 2 3u xe ye ze   suy ra 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )f u xf e yf e zf e   do f là axtt. ĐS:  ( ) ; ;f u y z x z x y    2. 1 0 0 0 1 0 1 2 2 B          3. Mt A có hai giá trị riêng là 1 2  (bội 1) và 2 1   (bội 2). Vectơ riêng ứng với gt riêng 1 2  có dạng   , t v x x x x  . Vectơ riêng ứng với gt riêng 2 1   có dạng   , , t v x y x y x y    . Ma trận 1 1 0 1 0 1 1 1 1 P           làm chéo hóa A và 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 P AP          . Bài 30. Cho ánh xạ tuyến tính 3 2 :f  có ma trận là 1 1 2 2 1 1 A        trong hai cơ sở  1 2 3(1;1;0); (1;0;1); (1;1;1)U u u u    của 3 và cơ sở  1 2(1;1); (1;2)V v v   của 2 . 1. Tính (4;2;1).f 2. Tìm công thức xác định ánh xạ tuyến tính f . 3. Tìm hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính f và chỉ ra cho mỗi không gian con này một cơ sở. ĐS: 1.   1 2 34;2;1 3 2u u u u    1 2 3( ) 3 ( ) 2 ( ) ( )f u f u f u f u    . ĐS: (4;2;1) (10;17)f  2.Với   3 ; ; ,u x y z  có 1 2 3( ) ( ) ( )u x z u x y u x y z u        CT xác định f là:  ( ) 2 ;4f u x y x y z    . 3.     ker ; 2 ;2 , 1; 2;2f u x x x x       một cơ sở:   1 1; 2;2S   Dùng định lý: 3 dim(ker ) dim(Im ) dim( )f f  suy ra 2 Im f  , có 1 cơ sở là V . Bài 31. Cho 2 2 :f  là ánh xạ xác định bởi:    2 ; , ( ) 8 15 ; 6 11u x y f u x y x y        . 1. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính. 2. Tìm ker , Imf f và tính hạng của f . 3. Tìm ma trận A của ánh xạ tuyến tính f trong trong cơ sở  1 2(1;1); (2;1)U u u   của 2 . 4. Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận A . Ma trận A có chéo hóa được không ? nếu có hãy viết ma trận P làm chéo hóa A .
• 9. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 9 HD&ĐS: 2.  ker (0;0)f   2 Im f  ; 3. 3 1 2 0 A        ; 4. A có 2 giá trị riêng là 1 1  và 2 2  . Vectơ riêng ứng với gt riêng 1 1  có dạng , 2 x u x x        Vectơ riêng ứng với gt riêng 2 2  có dạng , x u x x        Ma trận 1 1 2 1 P        làm chéo hóa A và 1 1 0 0 2 P AP        . Bài 32. Cho ánh xạ 3 3 :f  xác định bởi:    3 ; ; , ( ) ; ;u x y z f u x z y x z      . 1. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính. 2. Tìm ker , Imf f và tính hạng của f . Chỉ ra cho mỗi không gian con ker , Imf f một cơ sở. 3. Tìm ma trận A của ánh xạ tuyến tính f trong trong cơ sở chính tắc  1 2 3(1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)E e e e    của 3 . 4. Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận A . Ma trận A có chéo hóa được không ? nếu có hãy viết ma trận P làm chéo hóa A . HD&ĐS: 2.   ker ;0; , (1;0; 1)f x x x     ; Im (1;0;1),(0;1;0)f  ; ( ) 2r f  3. 1 0 1 0 1 0 1 0 1 A          4. A có 3 giá trị riêng là 1 0  , 2 1  và 3 2  . Vectơ riêng ứng với gt riêng 1 0  có dạng  0 , t u x x x   Vectơ riêng ứng với gt riêng 2 1  có dạng  0 0 , t u y y  Vectơ riêng ứng với gt riêng 3 2  có dạng  0 , t u x x x  Ma trận 1 0 1 0 1 0 1 0 1 P          làm chéo hóa A và 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 P AP          . Bài 33. Cho ma trận 1 6 5 2 A        và 6 3 , 5 2 u v              . Hỏi ,u v có phải là những vectơ riêng của ma trận A không ? vì sao ? HD: 4Au u  ; 9 , 11 Av v          
• 10. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 10 Bài 34. Ma trận sau có chéo hóa được không ? nếu được hãy đưa ma trận đó về dạng chéo : 2 4 3 4 6 3 3 3 1 A            HD: Ma trận A có hai giá trị riêng là 1 1  (bội 1) và 2 2   (bội 2). K/g riêng ứng với giá trị riêng 1 1  (bội 1) là không gian 1 chiều sinh bởi  1 1 1 t v   K/g riêng ứng với giá trị riêng 2 2   (bội 2) là không gian 1 chiều sinh bởi  1 1 0 t v   nên mt A vuông cấp 3 không có đủ 3 vectơ riêng độc lập tuyến tính, do đó ma trận A không thể chéo hóa được. ---- HẾT ----